振动理论多自由度系统.ppt

1、多自由度系统的振动,特征值问题,特征方程的三种表达形式,若质量矩阵正定，方程两边左乘 M - 1 :,设,若刚度矩阵正定方程两边左乘 K - 1 :,设,方程,设,代入方程,代入方程,代入方程,刚度动力矩阵,柔度动力矩阵,特征方程：,特征方程：,特征方程：,特征值和特征向量,从任意一个特征方程出发，获得n个特征值l i ( i = 1, 2, , n ),将每一个特征值代入相应的线性代数方程组，获得对应的特征向量Xi:,或从下列伴随矩阵的某一列得到特征向量Xi:,n个固有圆频率w i 2 ( i = 1, 2, , n ),主振型,已知三自由度系统的质量m1= m2= m3 = m ，弹簧刚度

2、k1= k2= k3= k4= k 。求系统的特征值和特征向量。,解：建立广义坐标如图，观察可得方程,特征方程为,三自由度系统,展开为,特征值为,特征向量,特征向量,节点,特征向量,节点,无阻尼系统的固有特性,n自由度系统 ，质量阵和刚度阵是nn矩阵，有n个特征值和特征向量,固有圆频率,主振型和振型矩阵,第i个主振型有i-1个节点,节点,n自由度系统 ，有n个固有圆频率w i 2 ( i = 1, 2, , n ),n自由度系统 ，有n个主振型 x i ( i = 1, 2, , n )，振型矩阵为,刚度动力矩阵,特征值,特征值之和等于刚度动力矩阵对角元素之和,特征值之积等于刚度动力矩阵对应的

3、行列式的值乘(-1)n,特征值倒数之和等于柔度动力矩阵对角元素之和,特征值,特征向量的正交性,对于第i个特征值和第j个特征向量 ，有,两边左乘X T 得,两式相减 得,第i阶主刚度,第i阶主质量,主振型关于质量矩阵和刚度矩阵正交,无阻尼系统的固有特性,特征向量的正交性,振型矩阵,则有,正则化的振型矩阵,正则化振型矩阵的正交性,特征向量的正交性,例 验证前面例子中三自由度系统的特征向量的正交性。,三自由度系统,基频估算方法,Rayleigh原理,即使假设振型 X 与系统第 i 个特征向量 Xi 有些差别，也可以把上式近似地作为系统第i 阶固有圆频率的估计值，这就是Rayleigh原理。,特征值问

4、题,或,两边左乘X T 得,移项 得Rayleigh商,若假设振型 X 的每一个元素都非零且同号，即它与系统的第1 个特征向量 X1 接近，就可以Rayleigh商近似地作为系统基频的估计值。估算值高于精确解 。,低频情况下，位移、变形、应力相对较大,基频估算方法,Rayleigh原理,从系统柔度动力矩阵出发，特征值问题为,或,两边左乘X T M 得,移项 得第二种Rayleigh商,若假设振型 X 的每一个元素都非零且同号，即它与系统的第1 个特征向量 X1 接近，也可用第二种Rayleigh商近似地作为系统基频的估计值。当假设振型 X 相同时，估算值高于精确解，但低于第一种Rayleigh

5、商的估算值。,基频估算方法,Dunkerley公式,根据系统特征值的的特性，特征值倒数之和等于系统柔度动力矩阵对角线元素的和（即矩阵 D 的迹），即,当系统质量矩阵为对角阵，,当 时,从系统柔度动力矩阵出发，特征值问题为,估算值低于精确解,基频估算方法,例 用三种公式估算前面例子中三自由度系统的基频。,三自由度系统,Rayleigh原理,基频估算方法,例 用三种公式估算前面例子中三自由度系统的基频。,三自由度系统,Rayleigh原理,基频估算方法,例 用三种公式估算前面例子中三自由度系统的基频。,三自由度系统,Dunkerley公式,复特征值（系统具有粘性阻尼）,n个自由度阻尼系统,设,代入

6、方程,由于,一元2n次代数方程，,对振动问题，解一般为,系统无阻尼,系统不振动,系统不稳定,系统稳定,方程,要使 X 有非零解的充要条件为,讨论,振动微分方程,例 已知二自由度系统的质量m1= m2 = m ，弹簧刚度k1= k3=2 k， k2=1. 5 k, 粘性阻尼系数 c1= c2= 2 c。求系统的特征值。,二自由度系统,设,代入方程，得到频率方程,一般来说，对振动系统 4 c 2 8 m k,或,复特征值（系统具有粘性阻尼）,解耦与主坐标,坐标的耦合,动力耦合和静力耦合,汽车车体简化成作平面运动的刚性杆，c是质心。,广义坐标：x，q,弹性恢复力和惯性力如图。（重力与弹簧初变形的力已

7、抵消）,矩阵形式：,力和力矩平衡方程为,动力耦合或惯性耦合,静力耦合或弹性耦合,坐标的耦合,动力耦合和静力耦合,广义坐标：x1，q 1,力和力矩平衡方程为,矩阵形式：,无动力耦合或惯性耦合,有静力耦合或弹性耦合,若使k2l2 = k1l1, 则既无动力耦合又无静力耦合,结论,耦合与否完全取决于坐标的选取。,解耦,n个自由度无阻尼系统,方程,设,两边分别左乘uT 得,由振型矩阵正交性:,代入方程：,或:,主坐标,使振动微分方程解耦的坐标,例 使前面例子中的三自由度系统振动微分方程解耦，并求主坐标。,振动微分方程为,三自由度系统,设,两边分别左乘uT 得,由振型矩阵正交性:,代入方程：,主坐标,自

8、由振动,位形,展开定理,系统振动过程中，广义位移的图式称为系统的位形。,系统任一位形能用系统主振型的线性组合表示。,n个自由度无阻尼系统,方程,主振型,设位形 u 可用下式表示,如果 X i 线性相关，必有,其中c i 有为非零常数。,两边同时左乘 X rTM 得：,由矩阵的正交性：,展开定理,系统任一位形能用系统主振型的线性组合表示。,由矩阵的正交性：,因此只有当c r =0 时，等式才成立。取r 1, 2, , n，重复n次，可得结论，只有当c 1 =c 2 = c n =0 时，等式才成立，与前面的假设矛盾，因此系统的振型矢量是线性独立的。,c i 的计算可对展开式两边左乘 X rTM

9、得到,例 前面例子中的三自由度系统质量m1= m2= m3 = m ，弹簧刚度k1= k2= k3= k4= k 。当系统的位移比为1, 2 ,3T、 1, 2 ,3 T和1, 2 ,3 T时，各阶主振型的贡献如何？,三自由度系统,设,例 前面例子中的三自由度系统质量m1= m2= m3 = m ，弹簧刚度k1= k2= k3= k4= k 。当系统的位移比为1, 2 ,3、 1, 2 ,3和1, 2 ,3时，各阶主振型的贡献如何？,三自由度系统,设,例 前面例子中的三自由度系统质量m1= m2= m3 = m ，弹簧刚度k1= k2= k3= k4= k 。当系统的位移比为1, 2 ,3、

10、1, 2 ,3和1, 2 ,3时，各阶主振型的贡献如何？,三自由度系统,设,方程,n个自由度无阻尼系统,设,两边分别左乘 得,代入方程,或:,解耦后方程的解,原方程的解,无阻尼系统对初始扰动的响应,振型分析（模态分析）: 把多自由度系统的振动微分方程组变换成互不相关的方程来求得系统响应的分析过程称为振型分析或模态分析。,例 当前面例子中的三自由度系统初始速度为零，初始位移为x1 4mm，x2 x3 0，求系统自由振动的规律。,振动微分方程为,三自由度系统,响应为,初始速度为零,初始位移：x1 4mm，x2 x3 0,例 当前面例子中的三自由度系统初始速度为零，初始位移为x1 4mm，x2 x3

11、 0，求系统自由振动的规律。,三自由度系统,无阻尼自由振动特性,无阻尼的多自由度系统受初始扰动后 一般不作简谐运动,三自由度系统,例 当前面例子中的三自由度系统初始速度为零，初始位移为x1 4mm，x2 x3 0，求系统自由振动的规律。,无阻尼自由振动特性,三自由度系统,例 当前面例子中的三自由度系统初始速度为零，初始位移为x2 1. 4142 mm，x2 x3 1. 0 mm ，求系统自由振动的规律。,无阻尼自由振动特性,三自由度系统,例 当前面例子中的三自由度系统初始速度为零，初始位移为x2 1. 4142 mm，x2 x3 1. 0 mm ，求系统自由振动的规律。,无阻尼的多自由度系统受

12、初始扰动后, 只在某些特殊的初始条件下作简谐运动。,具有粘性阻尼的系统对初始扰动的响应,n个自由度无阻尼系统,方程,解耦的方程,比例阻尼,阻尼矩阵,设,即,特征方程为,则有,具有粘性阻尼的系统对初始扰动的响应,n个自由度无阻尼系统,比例阻尼,响应,方程,阻尼矩阵,2n个常数由初始位移和初始速度求得。,或满足,设,具有粘性阻尼的系统对初始扰动的响应,n个自由度无阻尼系统,一般阻尼,方程,设,质量矩阵和刚度矩阵可以解耦，阻尼矩阵经坐标变换后为,一般,当阻尼较小，或,可置非对角元为零。,具有粘性阻尼的系统对初始扰动的响应,n个自由度无阻尼系统,一般阻尼，状态空间法,方程,设,方程降阶为,一般矩阵A非

13、奇异，逆矩阵存在,或,方程可改写为,其中，,解为,z0由初始条件确定。,具有粘性阻尼的系统对初始扰动的响应,一般阻尼，状态空间法,降阶的方程为,则有,设,设矩阵N的特征值矩阵和正则化的特征向量矩阵分别为,或,解为,y的解,具有粘性阻尼的系统对初始扰动的响应,一般阻尼，状态空间法,例 已知,求系统的响应,解,特征值问题为,或,展开,解得,具有粘性阻尼的系统对初始扰动的响应,一般阻尼，状态空间法,例,无阻尼系统简谐激励,稳态响应,方程,n个自由度无阻尼系统,设,代入方程,消去不恒等于零的项sin w t,两边左乘,n 维向量可以用一组正交基（正则化的主振型,离散系统振型阶数有限）的线性组合表示,无

14、阻尼系统受简谐激励,全响应,方程,n个自由度无阻尼系统,其中,R i 与j i 由初始条件决定。,粘性阻尼系统受简谐激励,n个自由度无阻尼系统,方程,稳态响应,设 代入方程并消去 项得：,定义 为阻抗矩阵，则有:,振动微分方程,例 已知二自由度系统的质量m1= m2 = m ，弹簧刚度k1= k3=2 k， k2=1. 5 k, 粘性阻尼系数 c1= c2= 2 c，F1= F0ei w t 。求系统的稳态响应。,二自由度系统,粘性阻尼系统受简谐激励,阻抗矩阵的逆为：,例 已知二自由度系统的质量m1= m2 = m ，弹簧刚度k1= k3=2 k， k2=1. 5 k, 粘性阻尼系数 c1=

15、c2= 2 c，F1= F0ei w t 。求系统的稳态响应。,二自由度系统,粘性阻尼系统受简谐激励,阻抗矩阵的逆为：,系统的稳态响应为：,例 已知二自由度系统的质量m1= m2 = m ，弹簧刚度k1= k3=2 k， k2=1. 5 k, 粘性阻尼系数 c1= c2= 2 c， F1= F10 sin w t ， F2= F20 cos w t 。求系统的稳态响应。,二自由度系统,粘性阻尼系统受简谐激励,动力吸振器,振动微分方程,设方程的一组特解为,代入方程, 消去不恒等于零的简谐项后得,当单自由度系统在简谐激励下，振动幅值很大，可附加一个系统减小原系统的振动，附加系统称为动力吸振器。,无阻尼动力吸振器,动力吸振器,无阻尼动力吸振器设计原则：附加系统固有圆频率与系统激励力频率相等。,无阻尼动力吸振器适用范围：系统受单频激励。,无阻尼动力吸振器,动力吸振器,振动微分方程,设方程的一组特解为,代入方程, 消去不恒等于零的简谐项后得,有阻尼动力吸振器,动力吸振器,有阻尼动力吸振器,动力吸振器,有阻尼动力吸振器,设,无量纲化,动力吸振器,有阻尼动力吸振器,动力吸振器,有阻尼动力吸振器,动力吸振器,有阻尼动力吸振器,动力吸振器,有阻尼动力吸振器,当 时,如果 为最大值阻尼比是