2012年高考文科数学(湖南卷)

1、2012年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学 （文史类）一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设集合M=，N=，则MN=A B C D2复数（为虚数单位）的共轭复数是AB C D3命题“若，则”的逆否命题是A若，则 B 若，则C若，则 D 若，则4某几何体的正视图和侧视图均如图1所示，则该几何体的俯视图不可能是5设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（xi，yi）（=1，2，n），用最小二乘法建立的回归方程为=0.85x-85.71，则下列结论中不正确的是Ay与x具有正的线

2、性相关关系B回归直线过样本点的中心C若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kgD若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg6已知双曲线C ：的焦距为10 ，点P （2,1）在C 的渐近线上，则C的方程为A B C D7设 ab1 ，给出下列三个结论： 其中所有的正确结论的序号是A B C D 8在ABC中，AC=，BC=2，B =60，则BC边上的高等于A B C D9设定义在R上的函数是最小正周期为2的偶函数，是的导函数当x0, 时，01； 当x（0，） 且时 ，0 则函数在-2，2 上的零点个数为A 2 B 4 C 5 D 8 二 、填空题：本大题共7小

3、题，考生作答6小题。每小题5分，共30分把答案填在答题卡中对应题号后的横线上（一）选做题（请考生在第10,11两题中任选一题作答，如果全做 ，则按前一题记分）10在极坐标系中，曲线：与曲线：的一个交点在极轴上，则a= 11某制药企业为了对某种药用液体进行生物测定，需要优选培养温度，实验范围定为2963，精确度要求用分数法进行优选时，能保证找到最佳培养温度需要的最少实验次数为 (二)必做题（1216题）12不等式的解集为 13图2是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则该运动员在这五场比赛中得分的方差为 (注：方差，其中为x1，x2，xn的平均数)14如果执行如图3所示的程序框图，

4、输入，则输出的数 15如图4，在平行四边形ABCD中，APBD，垂足为P，且AP 3，则 16对于，将表示为，当时，当时，为0或1定义如下：在的上述表示中，当中等于1的个数为奇数时，bn=1；否则bn=0（1） ；（2）记cm为数列bn中第m个为0的项与第m+1个为0的项之间的项数，则cm的最大值是 三、解答题：本大题共6小题，共75分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（本小题满分12分）某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示一次购物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顾客数(人)x3025y10

5、结算时间(分钟/人)11.522.53已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55.（）确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；（）求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率（将频率视为概率）18（本小题满分12分）已知函数的部分图象如图5所示（）求函数的解析式；（）求函数的单调递增区间19（本小题满分12分）如图6，在四棱锥P-ABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD是等腰梯形，ADBC，ACBD（）证明：BDPC；（）若AD=4，BC=2，直线PD与平面PAC所成的角为30，求四棱锥P-ABCD的体积20（本小题满分13分）某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产

6、该企业第一年年初有资金2000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50预计以后每年资金年增长率与第一年的相同公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d万元，并将剩余资金全部投入下一年生产设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元（）用d表示a1，a2，并写出an1与an的关系式；（）若公司希望经过m（m3）年使企业的剩余资金为4000万元，试确定企业每年上缴资金d的值（用m表示）21（本小题满分13分）在直角坐标系xOy中，已知中心在原点，离心率为的椭圆E的一个焦点为 圆C：的圆心（）求椭圆E的方程；（）设P是椭圆E上一点，过P作两条斜率之积为的直线l1，l2当直线l1，l2都与圆C

7、相切时，求P的坐标22（本小题满分13分）已知函数，其中a0（）若对一切xR，1恒成立，求a的取值集合；（）在函数的图象上取定两点，记直线AB的斜率为k，证明：存在，使成立参考答案及其解析一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分 1解：，则MN=0,1，故选B2解：，的共轭复数是，故选A3解：因为“若，则”的逆否命题为“若，则”，所以其逆否命题是“若，则”， 故选C4解：易知其俯视图可能是A,B,D，也可反过来看C，其正视图和侧视图不同， 故选C【再解】本题是组合体的三视图问题，由几何体的正视图和侧视图均如图1所示知，原图下面图为圆柱或直四棱柱，上面是圆柱或直四棱柱或下底是直角的三棱柱

8、，都可能是该几何体的俯视图，不可能是该几何体的俯视图，因为它的正视图上面应为如图的矩形5解：易知A,B, C是对的，而对于D错在“必为”， 故选D【再解】由回归方程为=0.85x-85.71知随的增大而增大，所以y与x具有正的线性相关关系，由最小二乘法建立的回归方程得知，所以回归直线过样本点的中心（，），利用回归方程可以预测估计总体，所以D不正确6解：由焦距为10 得，；点P （2,1）在C 的渐近线上， 则，检验答案知A对，故选A或，又， C的方程为7解：，而，故对；再考察幂函数，由0 ， 知其递减，故对； 对于有，而ab1 ，结合对数函数的图像知 logb（a-c）loga (b-c)对，

9、故选D8解：由余弦定理得，则（舍-1）， 故BC边上的高等于，故选或设BC边上的高等于，由三角形面积公式，知，解得9解：对于偶函数有以下结论：如果偶函数的图像关于直线（）对称，那么是周期函数，其中一个周期.由已知是最小正周期为2的偶函数，得图像关于直线对称；又由推得当时，为减函数；当时，为增函数；再结合当x0, 时，01可画出的草图交的图像在0，2 上有2个零点，则在-2，2 上有4个零点，故选二 、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题。每小题5分，共30分把答案填在答题卡中对应题号后的横线上（一）选做题（请考生在第10,11两题中任选一题作答，如果全做 ，则按前一题记分）10解：化为普通方

10、程得C1：、C2：，而a0，由它们的一个交点在极轴上，将交点代入直线方程得，【再解】由曲线：知极轴上的交点为，即，代入曲线：得，解得，11解：在目标函数为单峰的情形，只有按照分数法安排试验，才能通过n次试验保证从()个试点中找出最佳点由实验范围定为2963得大小为34，精确度要求故，而，故需要的最少实验次数为7(二)必做题（1216题）12解：，故其解集为13解：，14 解：1得，2；循环得，3；，4； 时则退出循环，故415解：（小题巧做）特取“正方形”，则点P就在AC的中点，由AP 3知AC6，所以（小题小做）设AC中点为O，延长AP，过点C做其垂线CE，则OP是ACE的中位线，由AP 3

11、知AE6，所以【再解】设，则，=16 解：（1），1；，1； ，0；，1；故3；（2）由上得：0；，由二进制数的特征归纳推知cm的最大值是2三、解答题：本大题共6小题，共75分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（本小题满分12分）解：（）由已知得，所以， 该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为（分钟）（）记A为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为1分钟”， “该顾客一次购物的结算时间为1

12、.5分钟”， “该顾客一次购物的结算时间为2分钟” 将频率视为概率得，因为，且是互斥事件，所以故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为18（本小题满分12分）解：（）由题设图象知，周期，所以 因为点在函数图象上，所以， 即又因为，所以 从而，即又点在函数图象上，所以，得故函数的解析式为（） 由，得，所以函数的单调递增区间是，19（本小题满分12分）解：（）因为PA平面ABCD，平面ABCD，所以 又ACBD，是平面内的两条相交直线，所以平面 而平面ABC，所以（）设AC和BD相交于点O，连结，由（）知，平面， 所以是直线PD和平面PAC所成的角从而30由平面，平面ABC知，在中，由30

13、得因为ABCD为等腰梯形， ACBD，所以均为等腰直角三角形从而梯形ABCD的高为，于是梯形ABCD的面积在等腰直角三角形中，所以，故四棱锥P-ABCD的体积为20（本小题满分13分）解：（）由题意得， ， （）由（）得 整理得由题意，即解得故该企业每年上缴资金d的值为时，经过m（m3）年企业的剩余资金为4000万元另解：（待定系数法）设，则，故数列 是首项为，公比为的等比数列则，21（本小题满分13分）解：（）由得，故圆C的圆心为点 从而可设椭圆E的方程为，其焦距为 由题设知，所以， 故椭圆E的方程为 （）设点P的坐标为，的斜率分别为，则，的方程分别为 :，:，且 由与圆C：相切得，即同理可得从而，是方程的两个实根于是 且由得解得，或由得；由得，它们均满足式故点P的坐标为，或，