第2节空间几何体的表面积与体积

1、2021新亮剑高考总复习立体几何第八章第2节空间几何体的表面积与体积1磨剑课前自学目录CONTENTS2悟剑课堂精讲3目 录 磨剑课前自学高考动态拓展知识知识查缺补漏磨剑课前自学悟剑课堂精讲目 录4最新考纲考向分析了解球、柱体、锥体、台体的表面积和体积的计算公式1. 规则几何体的表面积与体积.2. 组合体的表面积与体积.3. 体积中的最值问题.4. 空间几何体的切接问题高考动态知识拓展知识查缺补漏目 录一、几何体的表面积1. 棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各个面的面积之和.2. 圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是 矩形、 扇形、 扇环.3. 若圆柱、圆锥的底面半径为 r,母线长为 l,则其表面积

2、为 S 柱=2r2+2rl,r2+rlS 锥=.4.若圆台的上、下底面半径分别为 r1,r2,母线长为 l,则圆台的表面积(2+2)+(r +r )l为 S= 1212.5.半径为 R 的球的表面积为4R2.高考动态知识拓展知识查缺补漏目 录二、几何体的体积1.V 柱体= Sh.2.V 锥体=1Sh.33.V 台体=1(S+ +S)h,V 圆台=1(2+r1r2+2)h.12334R34.V 球=.3高考动态知识拓展知识查缺补漏目 录1. 与体积有关的几个结论(1) 一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差. (2)底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等. 2.几个与球有关的切、接常用

3、结论(1) 正方体的棱长为 a,球的半径为 R,若球为正方体的外接球,则 2R= 3a;若球为正方体的内切球,则 2R=a;若球与正方体的各棱相切,则 2R= 2a.(2) 若长方体过同一顶点的三条棱长分别为 a,b,c,外接球的半径为 R,则 2R= 2 + 2 + 2.(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为 31.7高考动态知识拓展知识查缺补漏目 录拓展知识查缺补漏高考动态知识【概念辨析】判断下列结论的正误.(对的打“”,错的打“”) (1)锥体的体积等于底面面积与高之积.(2) 球的体积之比等于半径比的平方.(3) 台体的体积可转化为两个锥体的体积之差.(4) 已知球 O 的半径为

4、R,其内接正方体的棱长为 a,则 R= ()3a.2答案解析8目 录拓展知识查缺补漏高考动态知识解析(1)错误.锥体的体积等于1底面积高.3(2) 错误.球的体积之比等于半径比的立方.(3) 正确.台体是由一个锥体截去一个较小的锥体形成的.(4) 正确.若球为正方体的外接球,则 2R= 3a.9目 录拓展知识查缺补漏高考动态知识【基础1.已知圆锥的表面积等的半径为(A.1 cmB).B.2 cmC.3 cmD2解析S 表=r2+rl=r2+r2 r=3r2=12,r2=4,r=2 cm.答案解析10目 录拓展知识查缺补漏高考动态知识2.(2015 年全国卷)九章算术是我国古代内容极为丰富的数学

5、名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺. 问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为 8 尺,米堆的高为 5 尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺,圆周率约为 3,估算出堆放的米约有(B).A.14 斛B.22 斛C.36 斛D.66 斛答案解析11目 录拓展知识查缺补漏高考动态知识设圆锥底面半径为 r,则123r=8(尺),所以 r=16(尺),所以米堆的体解析43162320320积为1135=(立方尺),故堆放的米约为1.6222(斛).4339912目 录拓展知识

6、查缺补漏高考动态知识3.平面 截球 O 所得截面圆的半径为 1,球心 O 到平面 的距离为 2,则此球的体积为(A. 6B).B.4 3C.4 6D.6 3解析设球的半径为 R,由球的截面性质得 R= ( 2)2+ 12= 3,所以球的体积 V=4R3=4 3.3答案解析13目 录拓展知识查缺补漏高考动态知识【易错检测】4.某几何体的三视图如图所示,则它的表面积为( A).A.2+1+ 5B.2+1+2 52C.2+(1+ 5)2D.2+2+ 52解析由俯视图可得底面半圆半径 r=1,所以底面半圆面积 S1=1r2= ,几何22体的侧面为圆锥侧面的一半,由正视图可得圆锥的母线 l= 22+ 1

7、2= 5, 所以侧面面积 S2=1rl= 5,轴截面为三角形,底为 2,高为 2,所以可得面积22S3=122=2,所以该几何体的表面积为 S=S1+S2+S3=1+ 5+2.答案解析2214目 录拓展知识查缺补漏高考动态知识5.如图,直角梯形 ABCD 中,ADDC,ADBC,BC=2CD=2AD=2,若将该直角梯形绕 BC 边旋转一周,则所得的几何体的表面积为 (2+3).答案解析15目 录拓展知识查缺补漏高考动态知识解析根据题意可知,该几何体的上半部分为圆锥(底面半径为 1,高为1),下半部分为圆柱(底面半径为 1,高为 1),如图所示,则所得几何体的表面积为圆锥的侧面积、圆柱的侧面积以

8、及圆柱的下底面面积之和,即表面积为 1 12+ 12+212+12=( 2+3).1617目 录悟剑课堂精讲考点探究素养达成高考真题磨剑课前自学悟剑课堂精讲目 录考点 1空间几何体的表面积例 1 (1)已知网格纸的各个小格均是边长为 1 的正方形,一个几何体的三视图如图中粗线所示,则该几何体的表面积为().BA.8C.8+ 2B.7+ 2D.6+ 2(2)已知正三棱锥 P-ABC 的底面边长为 6,PA 所在直线与底面ABC 所成的角为 60, 则该三棱锥的侧面积为 939.答案解析18考点探究素养达成高考真题目 录分析(1)根据三视图还原几何体即可;(2)画出图形,过 P 作底面的垂线,垂足

9、 O 落在底面正三角形的中心,得PAO,求出 AO,即可求出 PD,进而得出侧面积.解析(1)由三视图可知,该几何体为一个圆柱挖去一个圆锥,圆锥侧面积为S 圆锥侧=rl= 2,圆柱上底面积为 S 底=r2=,圆柱侧面积为 S 圆柱侧=2rl=6故该几何体的表面积为 7+ 2.故选 B.19考点探究素养达成高考真题目 录(2)如图,作 ADBC 于点 D,因为三棱锥 P-ABC 为正三棱锥,所以 D 为 BC的中点,连接 PD,则 PDBC,过点 P 作 PO平面 ABC,则点 O 为正三角形的中心,点 O 在 AD 上,所以PAO=60, 正三角形的边长为 6,则AD= 62-32=3 3,A

10、O=2AD=2 3,DO= 3,3所以 PO=AOtan 60=6,斜 高 PD= 2 + O2= 39,故三棱锥的侧面积为 S=316 39=9 39.220考点探究素养达成高考真题目 录方法总结： (1)多面体与旋转体的表面积等于侧面面积与底面面积之和.(2)对简单组合体,应搞清各构成部分,并注意重合部分的处理. 若以三视图的形式给出,解题的关键是对给出的三视图进行分析, 从中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系,得到几何体的直观图,然后根据条件求解.21考点探究素养达成高考真题目 录【针对训练 1】1.如图,已知四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 是边长为 2的正方形,PD底面

11、ABCD,PD=1,则四棱锥 P-ABCD的侧面积为 2+25 .解析PD底面 ABCD,BC,CD平面 ABCD ,PDBC.又 BCCD,PDCD=D,PD,CD平面 PCD,BC平面 PCD,PC平面PCD ,BCPC,同理可得 BAAP,四棱锥 P-ABCD 的侧面积为答案解析S=1PDAD+1PAAB+1PCBC+1PDCD=1+ 5+ 5+1=2+2 5.222222考点探究素养达成高考真题目 录2.下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积为().CA.20B.24C.28D.32解析由三视图可得圆锥的母线长为 22 + (2 3)2=4,S 圆锥侧=24=8

12、.又 S 圆柱侧=224=16,S 圆柱底=4,该几何体的表面积为 8+16+4=28.答案解析23考点探究素养达成高考真题目 录考点2空间几何体的体积考向 1:直接法求体积例 2 (1)在梯形 ABCD 中,ABC=,ADBC,BC=2AD=2AB=2.将梯形 ABCD 绕2AD 所在的直线旋转一周形成的曲面所围成的几何体的体积为().CA.2B.4C.5D.2333(2)已知一个四棱锥的底面是平行四边形,该四棱锥的三视图如图所示,则该四棱2锥的体积为.答案解析24考点探究素养达成高考真题目 录分析画出空间几何体的直观图,然后根据几何体的结构特征代入体积公式求解.解析(1)过点 C 作 CE

13、 垂直 AD 所在直线于点 E,梯形 ABCD 绕 AD 所在直线旋转一周形成的旋转体是由以线段 AB 的长为底面圆半径,线段 BC 为母线的圆柱挖去以线段 CE 的长为底面圆的半径,ED 为高的圆锥,如图所示. 由于 V 圆柱=AB2BC=122=2,V 圆锥=1CE2DE=112(2-1)=,333所以该几何体的体积 V=V 圆柱-V 圆锥=2- =5 ,故选 C.33(2)由三视图知,四棱锥的高为 3,底面平行四边形的一边长为 2,对应高为 1,所以其体积 V=1Sh=1213=2.2533考点探究素养达成高考真题目 录考向 2:转化法求体积例 3 如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1

14、中,ABC 是边长为 4 的正三角形,侧面 BB1C1C是矩形,D,E 分别是线段 BB1,AC1 的中点.(1) 求证:DE平面 ABC.(2) 若平面 ABC平面 BB1C1C,BB1=10,求三棱锥 A-DCE 的体积.解析26考点探究素养达成高考真题目 录分析(1)设 AC 的中点为 H,连接 HE,BH,由中位线定理得 HEBD,HE=BD即证得平行四边形 EHBD,于是有 DEBH,即证得线面平行;(2)由等体积法变换得 VA-DCE=VE-ACD=1 =1 .1 -ACD-122解析(1)如图,设 AC 的中点为 H,连接 HE,BH,BDCC1,BD=1CC1,HECC1,HE

15、=1CC1,HEBD,22四边形 HEDB 是平行四边形,HBDE.又 HB平面 ABC,DE平面 ABC,DE平面 ABC.(2)E 是线段 AC1 的中点,连接 DC1,则 VA-DCE=VE-ACD=1 =1 =112 31104=20 3.1 -ACD-122232327考点探究素养达成高考真题目 录考向 3:分割法求体积例 4 我国古代数学名著九章算术记载的刍甍是底面为矩形,顶部只有一条棱的几何体.如图所示的是某个刍甍的三视图,其中正(主)视图为等腰梯形,侧(左)视图为等腰三角形,则它的体积为().AA.160C.256B.160D.6433答案解析28考点探究素养达成高考真题目 录

16、分析解析该几何体不是基本几何体,不能直接求解,转化也不方便,可以通过割补法求解.由三视图可知,该刍甍是一个如图所示的几何体.如图,分别取 QN,PM 上的两个四等分点 B,E,C,F,连接 AB,BC,AC,DE,DF,EF.则ABC 与DEF 所在的平面将该几何体分成一个直三棱柱 ABC-DEF 和 两个全等的四棱锥 A-BCPQ 和 D-FENM.其中直三棱柱 ABC-DEF 中的ABC与DEF 是等腰三角形,BC=4,点 A 到 BC 的距离 d=4,设ABC 与DEF 的面积为 S1,则 S1=144=8.易知 BE=4,故直三棱柱 ABC-DEF 的体积 V1=S1BE=84=32.

17、四棱锥的底2面是矩形,QB=2,PQ=4,故四棱锥的底面积 S2=24=8.由三视图可得四棱锥的高 h=4,所以四棱锥的体积 V2=1S2h=184=32.333所以该几何体的体积 V=V1+2V2=32+232=160.3329考点探究素养达成高考真题目 录考向 4:补形法求体积例 5 如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗实线画出的是某几何体的三视图,该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得,则该几何体的体积为(B).A.90B.63C.42D.36答案解析30考点探究素养达成高考真题目 录分析解析该几何体不是基本几何体,分割不行,故可尝试补形.由几何体的三视图可知,该几何体是一个圆柱截去

18、部分所得,如图所示.将圆柱补全,并将圆柱从点 A 处水平分成上下两部分.由图可知,该几何体的体积等于下部分圆柱的体积加上上部分圆柱体积的1,所以该几何体的体积2V=324+3261=63.故选 B.231考点探究素养达成高考真题目 录方法总结：1.若所给的几何体是规则几何体,则可直接利用公式进行求其表面积与体积.在求三棱锥的体积时,如果条件给出的底面和高不好计算,可以考虑转换三棱锥的底面或高进行求解.2.若所给的几何体不规则,则可用分割法、补形法等方法进行求解.32考点探究素养达成高考真题目 录【针对训练 2】1.某几何体的三视图如图所示,且该几何体的体积是 3,则正(主)视图中的 x的值是(

19、A.2D).B.9C.3D.322解析由三视图知,该几何体是四棱锥,底面是直角梯形,且 S 底=1(1+2)2=3,2V=1x3 =3,解得 x=3.3答案解析33考点探究素养达成高考真题目 录2.如图所示,正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,E,F 分别为线段 AA1,B1C 上1的点,则三棱锥 D1-EDF 的体积为 6.解析三棱锥 D1-EDF 的体积即为三棱锥 F-DD1E 的体积.因为 E,F 分别为 AA1,B1C 上的点,所以EDD1 的面积为定值1,F 到平面 AA1D1D 的距离为定值 1,所以2=111=1.=答案解析-1 E1 -EDF32634考点探究素养

20、达成高考真题目 录83.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 3.解析由几何体的三视图可知该几何体由两个圆锥和一个圆柱构成,其中圆锥的底面半径和高均为 1,圆柱的底面半径为 1 且其高为 2,故所求几何体的体积为V=11212+122=8.答案解析3335考点探究素养达成高考真题目 录4.如图,AB=8,BC=10,AC=6,DB平面 ABC,且 AEFCBD,BD=3,FC=4,AE=5.求此几何体的体积.解析用“补形法”把原几何体补成一个直三棱柱,使 AA=BB=CC=8,所以 V 几何体=1V 三棱柱=1SABCAA=1248=96.222解析36考点探究素养达成高考真题目 录

21、考点 3求球的表面积、体积例 6 在封闭的直三棱柱 ABC-A1B1C1 内有一个体积为 V 的球.若 ABBC,AB=6,BC=8,AA1=3,则 V 的最大值是(B ).B.9D.32A.4C.623解析答案37考点探究素养达成高考真题目 录分析要使球的体积最大,由体积公式可知,只需半径最大,然后根据几何关系求出半径.解析由 ABBC,AB=6,BC=8,得 AC=10,要使球的体积 V 最大,则球与直三棱柱的部分面相切,若球与三个侧面相切,设底面ABC 的内切圆的半径为 r,则168=1(6+8+10)r,则 r=2,22此时 2r=43,不合题意.因此当球与三棱柱的上、下底面相切时,球

22、的半径 R 最大.由 2R=3,得 R=3,2故球的最大体积 V=4R3=9.故选 B.3238考点探究素养达成高考真题目 录变式设问 1若本例中的条件变为“直三棱柱 ABC-A1B1C1 的 6 个顶点都在球 O 的球面上”,若 AB=3,AC=4,ABAC,AA1=12,求球 O 的表面积.解析将直三棱柱补形为长方体 ABEC-ABEC(图略),则球 O 是长方体 ABEC-ABEC的外接球,长方体对角线 BC的长为球 O 的直径.因 此 2R= 32 + 42 + 122=13,故 S 球=4R2=169. 解析39考点探究素养达成高考真题目 录变式设问 2若本例中的条件变为“正四棱锥的

23、顶点都在球 O 的球面上”,且该棱锥的高为 4,底面边长为 2,求该球的体积.解析如图,设所求球心为 O,半径为 r,则在 RtAOF 中,(4-r)2+( 2)2=r2,解得 r=9,493=243.则球 O 的体积 V=4r3=4 球33416 解析40考点探究素养达成高考真题目 录方法总结：(1)与球有关的组合体问题,一种是内切,一种是外接.球与旋转体的组合体通常是作它们的轴截面来解题;球与多面体的组 合,通过多面体的一条侧棱和球心,或“切点”“接点”作出截面图,把空间问题转化为平面问题. (2)若球面上四点 P,A,B,C 中,PA,PB,PC 两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直,则可

24、通过补形构造长方体或正方体确定直径,进而解决外接问题 41考点探究素养达成高考真题目 录【针对训练 3】已知 A,B 是球 O 的球面上两点,AOB=90, C 为该球面上的动点,若三棱锥cO-ABC 体积的最大值为 36,则球 O 的表面积为().A.36B.64C.144D.256解析因为AOB 的面积为定值,所以当 OC 垂直于平面 AOB 时,此时三棱锥的高为 R,三棱锥 O-ABC 的体积取得最大值.由11R2R=36,得 R=6.从而球 O 的表面积 S=4R2=144.32 解析答案42考点探究素养达成高考真题目 录数算体积中的最值问题体积中的最值问题是近年来高考考查的热点内容之

25、一,立体几何中的最值问题涵盖了长度、面积、体积等最值问题,命题的方式多样,常用到函数基本不等式等进行解答.43考点探究素养达成高考真题目 录例 如图,圆形纸片的圆心为 O,半径为 5cm,该纸片上的等边三角形 ABC 的中心为O.D,E,F 三点为圆 O 上的点,DBC,ECA,FAB 分别是以 BC,CA,AB 为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后,分别以 BC,CA,AB 为折痕折起DBC,ECA,FAB,使得 D,E,F 三点重合,得到三棱锥.当ABC 的边长变化时,所得三棱锥体积(单位:cm3)的最大值为 415.解析答案 44考点探究素养达成高考真题目 录解析如图,连接 DO 交 BC

26、于点 G,设 D,E,F 三点重合于点 S,正三角形ABC 的边长为 x(x0),则 OG=1 3x = 3x.326DG=SG=5- 3x,62-2= - - 3636332= SO=h=2-, G 5 5 5 三棱锥的体积 V=1S h=1 3x2 5 5- 3 ABC3343= 15 54- 3 5.123设 f(x)=5x4- 3x5,x0, 则 f(x)=20x3-5 3x4,334令 f(x)=0,即 4x3-=0,得 x=4 3,易知 f(x)在 x=4 3处取得最大值. 3 15Vmax=48 5-4=4 15.4512考点探究素养达成高考真题目 录【突破训练】如图,在四棱锥

27、P-ABCD 中,PDAC,AB平面 PAD,底面 ABCD 为正方形,且CD+PD=3.若四棱锥 P-ABCD 的每个顶点都在球 O 的球面上,则球 O 的表面积的最小值为 6 ;当四棱锥 P-ABCD 的体积取得最大值时,二面角 A-PC-D 的 正 切 值 为 5 .答案解析46考点探究素养达成高考真题目 录解析设 CD=x(0x3),则 PD=3-x.AB平面 PAD,ABPD.又 PDAC,PD平面 ABCD,则四棱锥 P-ABCD 可补形成一个长方体,球 O 的球心为 PB 的中点, 2 2 + 2+(3-)2球 O 的表面积为 4 =3(x-1)2+26.2四棱锥 P-ABCD

28、的体积 V(x)=1(3-x)x2(0x3),3则 V(x)=-x2+2x,当 0x0;当 2x3 时,V(x)0. 故 Vmax=V(2),此时 AD=CD=2,PD=1.过点 D 作 DHPC 于点 H,连接 AH,则AHD 为二面角 A-PC-D 的平面角.122 5DH=,tanAHD= 5.47 55考点探究素养达成高考真题目 录1.(2018 年全国卷)在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=BC=2,AC1 与平面BB1C1C 所成的角为 30, 则该长方体的体积为(C).D.8 3A.8B.6 2C.8 2解析由题意可知,AC1B=30,所 以 BC1=2 3,AC1=4,所 以 CC1=2 2,则该长方体的体积为 222 2=8 2.答案解析48考点探究素养达成高考真题目 录2.(2018 年全国卷)已知圆锥的顶点为 S,母线 SA,SB 互相垂直,SA 与圆锥底面所成角为 30.若SAB 的面积为 8,则该圆锥的体积为 8.解析不妨设该圆锥的母线长为 a,因为 SASB,=1a2sinASB=1a2