传递过程原理讲课提纲04粘性流体运动的微分方程及其应用2new

1、24 NS方程在柱坐标及球坐标中的表示1. 柱坐标中的表示x= rcosy= rsinz= z 在r分量方向 = 在分量方向 = 在z分量方向 = 2. 球坐标中的表示x= (rsin)cosy= (rsin)sinz= rcosr分量：分量： 分量： 3 流体运动方程的应用3-1 平壁间的稳定层流设平板无限大，相互平行，作层流运动一维稳定流动，不可压缩于是 uy=uz=0 (1)由连续性方程有 (2) 又对稳定流动 (3) 故NS方程简化为：对无限大平板可认为 故，又在x方向 X = 0于是 边界条件(Boundary Condition) y=y0, ux=0初始条件(Initial co

2、ndition) y=0, 于是 及 式中： 又设平板的宽度为w，则流体流过二平行平板间的体积流量为另一方面，若设平板间的主体流速（即截面平均流速）为ub则有QV=ubB(2y0)可得： 故 及 3-2 圆形直管内的稳定层流 化工原理中已得出了相应的结论。 若采用NS方程可知： 在沿轴的一维流动时，若处于重力场中： 及 故 NS方程可简化为： 应用柱坐标系则为: 或 边界条件 r= R uz= 0初始条件 r= 0 uz=umax故：,及 ， ， 上式均为哈根泊稷叶 (HagenPoiseuille) 方程。根据以上关系，不难证明，在稳定的层流时，管壁处的流体剪应力R 及 3-3 环形套管中的

3、稳态层流 圆形直管中的柱坐标系NS方程仍可适应于环形套管中： 或 边界及初始条件: r= R1，uz = 0； (2) r =R2，uz = 0； (3) r=Rmax，uz = umax ；及对前式积分得:或 根据以上二式有: 此即为对数平均“半径平方”，于是：及: 环形面积中流体的主体流速（平均流速）ub或: 4 爬流（蠕动流）1、概念爬流非常低Re数下的流动。具体来说指Re1时的流动，在此情况下，流体流动过程的粘性力超过其惯性力。2、根据NS方程可知，爬流时，惯性力的影响比粘性力小得多而可忽略。故有： 对不可压缩流体 （不可压缩流体连续性方程） X， Y及Z0（惯性力） ，及0（惯性力）

4、故NS方程可简化为： 及 当流体以极慢的速度绕过半径为 r0 的球体时，采用球坐标方程并结合球坐标系中的连续性方程及初始条件：r =r0时，可解得 3、球体在流体中所受阻力包括： a .由于压力分布在球体表面所产生的形体阻力Fdf b .球体表面处的剪应力所产生的表面阻力Fds 对形体阻力，其方向在“- Z”方向，其大小为 对表面阻力，其方向在+Z方向（即与球面法向应力相反的方向）其大小为 ： r作用于球面的剪应力，因pr，故-pcos 恰与rsin在同一方向对于球坐标系，牛顿粘性定律可表示为 由上述已知的解，代入方程得 故: Fds =4r0u0总阻力: Fd = Fdf+ Fds =6r0

5、u0此即为斯托克斯方程（注意与化工原理中的斯托克斯方程相联系）通常对粒子的自由沉降，定义，式中 CD为阻力系数()根据以上结论可得: CD = = 式中A球形粒子在运动方向的投影面积 A = r025 流线及流函数1、概念流线欧拉法考察流体运动的结果。即指任一瞬间，在流场（流动空间）的一条曲线，处于该曲线上的各质点流动方向与该点处曲线的切线相重合（流线既可以为直线，也可为曲线）。2、流线的几个属性 一个流动空间是由许多条流线组成的，这许多流线通常称为流线束（曲线族）； 不同时间，流动空间中的流线束有可能不同（如不稳定流动过程）； 同一时间，同一空间位置，由于流体质点速度大小及方向的唯一性，故通

6、过该空间点的流线唯一。亦即，同一时间、空间中的不同流线不可能相交。3、流线方程 对质点A，在时间d内，有：dx = uxd dy = uydx dz = uzd故 此即为三维流动系统的流线微分方程。特殊地，对二维流动，则有：uxdy - uydx = 0根据这一关系，可以求出流体在空间流动的流线方程。即 y = f (x)关系（见例题）4、流函数概念： 相对于某基准流线而言的流体体积流量，设有一函数满足：则 d= 即定义为流函数。对二维不可压缩流体，则：（不可压缩流体连续性方程用流函数表示的结果）亦可表述为：穿过由基准流线和任一流线及垂直于纸面方向上的单位厚度流道所构成的体积流量。即 d Q

7、=A- B = d不难看出： 当= 常数时，其所表示的即为流线； 流速越大的地方，流线越密集； 流体流过曲线c的单位厚度流量等于曲线c上A、B两点的流函数差；5 柱坐标中流函数的定义式 定义： 6 势流及势函数1 概念 势流函数：即速度势（Velocity Potential）函数。 根据势能的概念可知：在重力场中，单位质量流体（固体）势能的变化d等于将流体升举一个微分高度所做的功，即：d= - gdz 或 - g=d/dz （注意：流体势能的意义p+gz）将此概念引入速度问题，规定一个函数，并定义：可见，流体沿x方向的运动速度是其在x方向的速度势梯度。2 用势函数表示的不可压流体的二维流动连

8、续性方程直角座标中，不可压流体的二维流动连续性方程为：引入速度势概念则有 （不可压流体连续性方程用势函数表示）此即为Laplace方程。通过引入Laplace变换，并已知适当的边界条件，即可求解。3根据势函数 及 故有: ()即由右图28分析可知： a 、平面上微元流体在经过d时间后，由于x方向速度梯度使上层流体运动所引起的位移为 （顺时针方向）； b、同理，在y方向引起的位移为（逆时针方向）。这二者使流体微元绕z轴方向发生旋转。故总的旋转速度为二者之和的平均值。即:（以逆时针方向为正计）当= 0时，称此流体为无旋运动，或说为有势运动。即此时： 4 势函数的应用举例泊努利方程的导出 由欧拉方程

9、（二维） (1) (2) (3)在稳态、二维运动及不可压缩流体条件下有： (1) (2)又由有势（无旋运动） 有： (1)” (2)”即: = 常数或: = 常数 此即为著名的柏努利(Bernoulli)方程。5 讨论 由有势运动（无旋运动）可知：只有对于理想流体流动才会有势函数（无旋运动）存在。对实际流体，由于其粘性，将会使流体微元发生有旋运动。 尽管实际流体不存在势函数，但其流函数仍然存在。只要该流体满足连续性方程，而并不需要满足流体不可压缩条件。6 流网、势线与流线的关系 流网：由一组等势线和一组流线所交织成的图称为平面有势（无旋）运动流网。 流网的特性：等势线与流线必然正交。 证明：对

10、等势线，其方程为(x, y)=常数或 （法线向量）对流线: （切线向量）即： （流线）而对势线：（势线）又在直角座标中：xy故: 即与正交。7 应用举例例A. 对于稳态二维流动的流体，已知某流场的速度向量形式为 试求出过点（1，3）的流线方程； 判别其无旋性（有势性）。 解： 流线方程的一般形式为 由已知向量形式可知： 对稳定二维流动d= 0即: 故 即: 或 又该流线过点（2，3）故c= 1/3y= 此即为过点（1，3）的流线方程。 判别有旋性（有势性） 若流体有势，则应满足 ux dx + uydy=0即: 或 对方程求导: 又: 可见在一般情况下，该流体均为有旋运动，即为非理想流体。 例B. 已知二维流场中，稳态流动下的速度向量为u(x,y) = 3xy2i + 3x2yj，且流线过点（1，2）。试问其是否作无旋运动。若无旋，试求其势函数及流函数，并证明与正交。 解：由题可知: ux = 3xy2，uy=3x2y若作无旋运动，则应满足:由此可判断其作无旋运动（有势运动）又: 故 故: c(y) = 0 即c (y) = 常数=c于是: 势函数 对于稳定的二维运动，其流函数应满足：即: 即: ydy = xdx y2 = x2+c当其过点（1，2）时有: 22 = 12+ c 即: 或 正交性若流线的切线与势线的法线二者斜率相等，则