学案3 函数的基本性质.ppt

1、学案3 函数的基本性质,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,返回目录,考 纲 解 读,返回目录,1.函数的单调性与最值在高考中常以选择、填空题形式出现，但近几年高考常以导数为工具，研究函数的单调性，因此本部分内容在高考中占有十分重要的地位. 2.函数的奇偶性常与函数的单调性、最值等结合考查，是高考考查的热点. 3.函数的奇偶性,以选择、填空题居多，且是高考考查的热点，预测明年仍将是考查的热点.,考 向 预 测,返回目录,1.函数的单调性 (1)单调函数的定义 设函数f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1x2时, 若 ,则f(x)在区间D上

2、是 ; 若 ,则f(x)在区间D上是 .,f(x1)f(x2),f(x1)f(x2),增函数,减函数,返回目录,(2)单调区间的定义 若函数f(x)在区间D上是 或 ,那么就说函数 f (x) 在这一区间上具有 ( 严格的 ) 单调性, 叫做f(x)的单调区间. 2.判断函数单调性的方法 (1)定义法:利用定义严格判断. (2)利用函数的运算性质:如若f(x),g(x)为增函数,则 f(x)+g(x)为增函数; 为减函数(f(x)0); 为增函数(f(x)0); f(x)g(x)为增函数(f(x)0,g(x)0); -f(x)为减函数.,增函数,减函数,区间D,(3)利用复合函数关系判断单调性

3、. 法则是“ ”，即两个简单函数的单调性相同，则这两个函数的复合函数为 ;若两个简单函数的单调性相反，则这两个函数的复合函数为 . (4)图象法. (5)奇函数在关于原点对称的区间上具有 的单调性;偶函数在关于原点对称的区间上具有 的单调性.,返回目录,同增异减,增函数,减函数,相同,相反,(6)导数法 若f(x)在某个区间内可导,当f(x)0时,f(x)为 函数;当f(x)0时,f(x)为 函数; 若f(x)在某个区间内可导,当f(x)在该区间上递增时,则f(x) 0;当f(x)在该区间上递减时,则f(x) 0. 3.奇函数、偶函数的概念 一般地，如果对于函数 f(x) 的定义域内任意一个x

4、 ,都 有 ，那么函数f(x)就叫做偶函数. 一般地 , 如果对于函数 f(x) 的定义域内任意一个x , 都 有 ,那么函数f(x)就叫做奇函数.,返回目录,f(-x)=f(x),f(-x)=-f(x),增,减,返回目录,4.判断函数的奇偶性 判断函数的奇偶性,一般都按照定义严格进行,一般步骤是: (1)考查定义域是否关于 ; (2)根据定义域考查表达式 f(-x) 是否等于 f(x) 或 -f(x): 若f(-x)= ,则f(x)为奇函数; 若f(-x)= ,则f(x)为偶函数; 若f(-x)= 且f(-x)= ,则f(x) 既是奇函数又是偶函数; 若f(-x)-f(x)且f(-x)f(x

5、),则f(x)既不是奇函数又不是偶函数,即非奇非偶函数.,f(x),原点对称,-f(x),f(x),-f(x),5.奇偶函数的性质 (1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性 ,偶函数在关于原点对称的区间上的单调性 ( 填 “相同” “相反”）. (2)在公共定义域内, 两个奇函数的和是 ,两个奇函数的积是 ; 两个偶函数的和、积是 ； 一个奇函数，一个偶函数的积是 .,返回目录,奇函数,相同,相反,奇函数,偶函数,偶函数,返回目录,考点1 函数单调性的判定及证明,试讨论函数f(x)= ,x(-1,1)的单调性(其中a0).,【分析】可根据定义,先设-1x1x21,然后作差、变形、定号、判断；

6、也可以求f(x)的导函数，然后判断f(x)与零的大小关系.,返回目录,【解析】解法一:任取x1,x2(-1,1),且x10, 则y=f(x2)-f(x1) -10, 0时,y=f(x2)-f(x1)0, 此时函数f(x)在(-1,1)上为增函数.,返回目录,解法二: a0时,f(x)0,函数f(x)在(-1,1)上为增函数.,对于给出具体解析式的函数,判断或证明其在某区间上的单调性问题,可以结合定义(基本步骤为取点、作差或作商、变形、判断）求解.可导函数则可以利用导数解之.,返回目录,讨论函数f(x)=x+ (a0)的单调性.,解法一:显然f(x)为奇函数,所以先讨论函数f(x)在(0,+)上

7、的单调性,设x1x20,则 当01, 则f(x1)-f(x2)x2 时，00, 即f(x1)f(x2),故f(x)在 ,+)上是增函数. f(x)是奇函数， f(x)分别在(-,- , ,+)上为增函数； f(x)分别在- ,0),(0, 上为减函数.,返回目录,f(x1)-f(x2)=,返回目录,解法二:由f(x)=1- =0可得x= . 当x 时或x0, f(x)分别在 ,+),(-,- 上是增函数. 同理0x 或- x0时,f(x)0, 即f(x)分别在(0, ,- ,0)上是减函数.,考点2 复合函数的单调性,判断函数f(x)= 在定义域上的单调性.,【分析】此题f(x)是由f(x)=

8、 ,u(x)=x2-1 两个函数复合而成,只需判断这两个函数的单调性.,返回目录,【解析】函数的定义域为x|x-1或x1, 则f(x)= , 可分解成两个简单函数: f(x)= ,u(x)=x2-1的形式. 当x1时，u(x)为增函数， 为增函数. f(x)= 在1,+)上为增函数. 当x-1时，u(x)为减函数， 为减函数. f(x)= 在(-,-1上为减函数.,返回目录,返回目录,(1)复合函数是指由若干个函数复合而成的 函 数,它的单调性与构成它的函数u=g(x),y=f(u) 的单调性密切 相关,其单调性的规律为“同增异减”，即f(u)与g(x)有相同的 单调性，则 fg (x) 必为

9、增函数，若具有不同的单调性， 则 fg(x)必为减函数. (2)讨论复合函数单调性的步骤是: 求出复合函数的定义域; 把复合函数分解成若干个常见的基本函数并判断其单调性; 把中间变量的变化范围转化成自变量的变化范围; 根据上述复合函数的单调性规律判定其单调性. 但应注意这种方法主要用在填空题的求解过程中,解答题一般用定义或导数法.,返回目录,求函数 的单调区间.,【解析】由4x-x20,得函数的定义域是(0,4). 令t=4x-x2,则y= . t=4x-x2=-(x-2)2+4, t=4x-x2的单调减区间是2,4),增区间是(0,2. 又y= 在(0,+)上是减函数, 函数y= 的单调减区

10、间是(0,2,单调增 区间是2,4).,返回目录,2010年高考广东卷若函数f(x)=3x+3-x与g(x)=3x-3-x的 定义域均为R,则 f(x)为 ，g(x)为 .,考点3 判断函数的奇偶性,【分析】判断函数奇偶性应分两步: (1)定义域是否关于原点对称; (2)判断f(-x)与f(x)的关系. 【解析】f(x)=3x+3-x，f(-x)=3-x+3x. f(x)=f(-x)，即f(x)是偶函数. 又g(x)=3x-3-x,g(-x)=3-x-3x. g(x)=-g(-x)，即函数g(x)是奇函数.,返回目录,返回目录,返回目录,判断下列函数的奇偶性： （1）f(x)= ； （2）f(

11、x)=log2(x+ )(xR)； x2+x(x0)； （4）f(x)= lg|x-2|.,【分析】判断函数奇偶性应分两步: （1）定义域是否关于原点对称; （2）判断f(-x)与f(x)的关系.,（3）f(x)=,返回目录,【解析】（1）x2-10且1-x20, x=1，即f(x)的定义域是-1,1. f(1)=0,f(-1)=0, f(1)=f(-1),f(-1)=-f(1)， 故f(x)既是奇函数又是偶函数. （2）已知f(x)的定义域为R， f(-x)=log2-x+ =log2 =-log2(x+ )=-f(x), f(x)是奇函数.,返回目录,（3）当x0，则 f(-x)=(-x)

12、2-(-x)=x2+x=f(x)； 当x0时,-x0，得x2. f(x)的定义域 x|x2 关于原点不对称， 故 f(x) 既 不是奇函数也不是偶函数.,返回目录,2010年高考江苏卷设函数f(x)=x(ex+ae-x)(xR)是偶函数，则实数a的值为 .,【分析】利用f(x)=f(-x)对任意xR恒成立,解a的值.,【解析】因为f(x)是偶函数，所以恒有f(-x)=f(x)，即-x(e-x+aex)=x(ex+ae-x),化简得x(e-x+ex)(a+1)=0. 因为上式对任意实数x都成立，所以a=-1.,考点4 函数奇偶性的应用,返回目录,对任意x恒成立与解关于x的方程是不一样的,注意区别

13、.,返回目录,设函数f(x)=x3+bx2+cx(xR),已知g(x)=f(x)-f(x)是奇函数. (1)求b,c的值; (2)求g(x)的单调区间与极值.,【解析】 (1)f(x)=x3+bx2+cx, f(x)=3x2+2bx+c, 从而g(x)=f(x)-f(x)=x3+bx2+cx-(3x2+2bx+c) =x3+(b-3)x2+(c-2b)x-c是一个奇函数, g(0)=0得c=0,由奇函数定义得b=3. (2)由(1)知g(x)=x3-6x,从而g(x)=3x2-6,由此可知,(-,- )和( ,+)是函数g(x)的单调递增区间;(- , )是函数g(x)的单调递减区间; g(x

14、)在x=- 时,取得极大值,极大值为4 ; g(x) 在x=2时,取得极小值,极小值为-4 .,返回目录,返回目录,考点5 函数的周期性,已知函数f(x)的定义域为R,且满足f(x+2)=-f(x). （1）求证：f(x)是周期函数； （2）若f(x)为奇函数，且当0 x1时，f(x)= x，求使f(x)=- 在0,2 009上的所有x的个数.,【分析】 (1)只需证明f(x+T)=f(x),则f(x)即是以T为周期的周期函数;(2)由第(1)问可知只需求 一 个周期中f(x)=- 的x的个数便可知在0,2 009 上的x的个数.,返回目录,【解析】 (1)证明:f(x+2)=-f(x), f

15、(x+4)=-f(x+2)=-f(x)=f(x), f(x)是以4为周期的周期函数. (2)当0 x1时,f(x)= x, 设-1x0,则0-x1, f(-x)= (-x)=- x.f(x)是奇函数,f(-x)=-f(x), -f(x)=- x,即f(x)= x.故f(x)= x(-1x1). 又设1x3,则-1x-21,f(x-2)= (x-2).,返回目录,又f(x-2)=-f(2-x)=-f(-x)+2)=-f(-x)=-f(x), -f(x)= (x-2),f(x)=- (x-2)(1x3). x (-1x1) - (x-2) (1x3), 由f(x)=- ,解得x=-1. f(x)是

16、以4为周期的周期函数, 故f(x)=- 的所有x=4n-1(nZ). 令04n-12 009,则 n , 又nZ,1n502(nZ), 在0,2 009上共有502个x使f(x)=- .,f(x)=,返回目录,判断函数的周期只需证明f(x+T)=f(x)(T0)便可证明函数是周期函数,且周期为T,函数的周期性常与函数的其他性质综合命题,是高考考查的重点问题.,返回目录,对函数f(x)在(-,+)上满足f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x),且在闭区间0,7上,只有f(1)=f(3)=0. (1)试判断函数y=f(x)的奇偶性; (2)试求方程f(x)=0在闭区间-2 005,2

17、 005上的根的 个数,并证明你的结论.,f(2-x)=f(2+x) f(7-x)=f(7+x) f(x)=f(4-x) f(x)=f(14-x) f(4-x)=f(14-x) f(x)=f(x+10), 从而知函数y=f(x)的周期为T=10. 又f(3)=f(1)=0,而f(7)0,故f(-3)0. 故函数y=f(x)是非奇非偶函数.,返回目录,(1)由,返回目录,(2)由(1)知y=f(x)的周期为10. 又f(3)=f(1)=0, f(11)=f(13)=f(-7)=f(-9)=0, 故f(x)在0,10和-10,0上均有两个解 , 从而可知函数y=f(x)在0,2 005上有402个

18、解,在-2 005,0上有 400个解,所以函数y = f(x) 在 -2 005,2 005上有802个解.,返回目录,1. (1)单调性首先要求函数的定义域,单调区间是定义域的子区间. (2)根据函数的单调性的定义,证明(判定)函数f(x)在其区间上的单调性,其步骤是 设x1,x2是该区间上的任意两个值,且x1x2; 作差f(x1)-f(x2),然后变形; 判定f(x1)-f(x2)的符号; 根据定义作出结论.,(3)求函数的单调区间 首先应注意函数的定义域,函数的增减区间都是其定义域的子集;其次掌握一次函数 、二次函数等基本初 等函数的单调区间.常用方法有:根据定义,利用图象和单调函数的性质,还可以利用导数的性质. (4)重要性质 注意函数y=f(x)与y=kf(x)的单调性与k(k0)的相关性; 注意函数