高等数学——极限.ppt

1、,若数列,及常数 a 有下列关系 :,当 n N 时,总有,记作,此时也称数列收敛 , 否则称数列发散 .,几何解释 :,即,或,则称该数列,的极限为 a ,1.3 函 数 的 极 限,1.3.1 数列的极限,邻域,OK! N找到了！,nN,目的：,NO, 有些点在条形域外面！,数列极限的演示,N,数列极限的演示,e 越来越小，N越来越大！,例如,趋势不定,收 敛,发 散,数列极限的演示,数列极限的演示,数列极限的演示,数列极限的演示,目标不惟一！,一、自变量趋于有限值时函数的极限,自变量变化过程的六种形式:,二、自变量趋于无穷大时函数的极限,本节内容 :,1.3.2 函数的极限,这个运动表明

2、： 当x沿直线趋于正无穷大时，圆周上对应的点按逆时针方向趋于顶点,这个运动表明： 当x沿直线趋于正无穷大时，圆周上对应的点按顺时针方向趋于顶点,演示表明：在直线上无论x是趋于 ，还是趋于 ，反映在圆周上显示的是，点沿着圆周分别按逆时针和顺时针都趋于一个共同的点顶点！,x趋于无穷大的演示,因此，我们得到无穷远处函数极限的关系如右：,x趋于无穷大的演示,2.自变量趋于有限值时函数的极限,1.,时函数极限的定义,引例. 测量正方形面积.,面积为A ),边长为,(真值:,边长,面积,直接观测值,间接观测值,任给精度 ,要求,确定直接观测值精度 :,定义1 . 设函数,在点,的某去心邻域内有定义 ,当,

3、时, 有,则称常数 A 为函数,当,时的极限,或,即,当,时, 有,若,记作,几何解释:,极限存在,函数局部有界,这表明:,函数极限的演示,d,d,目的：对任意的e0, 要找d0，使得 0|x-x0|d 时，有 |f(x)-A|e. 即 A-e f(x) A+e.,哈哈, d 找到了!,d,d,这样的d 也能用,看来有一个d 符合要求,就会有无穷多个d 符合要求!,函数极限的演示,d1,d1,目的：对任意的e0, 要找d0，使得 0|x-x0|d时，有 |f(x)-A|e. 即 A-e f(x) A+e.,哈哈, d 找到了!,例. 设函数,讨论,时,的极限是否存在 .,解:,因为,显然,所以

4、,不存在 .,思考与练习,1. 若极限,存在,2. 设函数,且,存在, 则,是否一定有,？,注意:,1. 无穷大不是很大的数, 它是描述函数的一种状态.,2. 函数为无穷大 , 必定无界 . 但反之不真 !,例如, 函数,当,但,不是无穷大 !,三、无穷小与无穷大的关系,若,为无穷大,为无穷小 ;,若,为无穷小, 且,则,为无穷大.,则,据此定理 , 关于无穷大的问题都可转化为 无穷小来讨论.,定理2. 在自变量的同一变化过程中,说明:,无穷小运算法则,定理1. 有限个无穷小的和还是无穷小 .,说明: 无限个无穷小之和不一定是无穷小 !,例如，,有限个无穷小之差仍为无穷小 .,定理2 . 有界

5、函数与无穷小的乘积是无穷小 .,推论 1 . 常数与无穷小的乘积是无穷小 .,推论 2 . 有限个无穷小的乘积是无穷小 .,例. 求,解:,利用定理 2 可知,说明 : y = 0 是,的渐近线 .,第一章,都是无穷小,引例 .,但,可见无穷小趋于 0 的速度是多样的 .,无穷小的比较,定义.,若,则称 是比 高阶的无穷小,若,若,若,若,或,记作,则称 是比 低阶的无穷小;,则称 是 的同阶无穷小;,则称 是关于 的 k 阶无穷小;,则称 是 的等价无穷小,记作,例如 , 当,时,又如 ，,故,时,是关于 x 的二阶无穷小,且,例1. 证明: 当,时,证:,内容小结,1. 无穷小的比较,设

6、, 对同一自变量的变化过程为无穷小, 且, 是 的高阶无穷小, 是 的低阶无穷小, 是 的同阶无穷小, 是 的等价无穷小, 是 的 k 阶无穷小,1.4 极限运算法则,1.4.1 函数的极限运算法则,则有,定理 1 . （1）若,（2） 若,则有,说明: 可推广到有限个函数相乘的情形 .,推论 1 .,( C 为常数 ),推论 2 .,( n 为正整数 ),（3） 若,且 B0 , 则有,1.4.1 函数的极限运算法则,则有,证: 因,则有,(其中,为无穷小),于是,由定理 1 可知,也是无穷小,再利用极限与无穷小,的关系定理 , 知定理结论成立 .,定理 1 . （1）若,说明: 可推广到有

7、限个函数相加、减的情形 .,（2） 若,则有,说明: 可推广到有限个函数相乘的情形 .,推论 1 .,( C 为常数 ),推论 2 .,( n 为正整数 ),为无穷小,(详见P44),（3） 若,且 B0 , 则有,证: 因,有,其中,设,无穷小,有界,因此,由极限与无穷小关系定理 , 得,为无穷小,例1,这是因为分子、分母都包含着在 x =2时为零的因子 x2 。此时为求极限应设法先消去零因子，然后求极限。,解 原式=,例2 求,注 此题中若将 x =2代入分子、分母，则得到无意义的式子 ，,例3,解 当 时， ， 的分母都趋于零，原 式 出现“ ”的形式，两项均不存在极限，故不能直接使用极

8、限运算法则，此时需先通分，变换一下形式。,原式 =,（消去零因子）,解 原式=,解 当 时，分母极限为0，不能直接使用极限运算法则，若将分子有理化,例4 求,例5 . 求,解: x = 1 时,分母 = 0 , 分子0 ,但因,例6 . 求,解:,时,分子,分子分母同除以,则,分母,“ 抓大头”,原式,一般有如下结果：,为非负常数 ),例7. 求,解,原式 =,定理. 设,且 x 满足,时,又,则有,说明: 若定理中,则类似可得,例7. 求,解: 令,已知, 原式 =,思考及练习,1.,是否存在 ? 为什么 ?,答: 不存在 .,否则由,利用极限四则运算法则可知,存在 ,与已知条件,矛盾.,解

9、:,原式,2.,问,1. 函数极限存在的夹逼准则,且,1.4.3 两个重要极限,2. 单调有界数列必有极限,圆扇形AOB的面积,二、 两个重要极限,证: 当,即,亦即,时，,显然有,AOB 的面积,AOD的面积,故有,注,当,时,注,例1. 求,解:,例2. 求,解: 原式 =,2.,例1. 求,解：原式,例2. 求,解: 原式 =,两个重要极限,或,思考与练习,填空题 ( 14 ),二、 函数的间断点,一、 函数连续性的定义,第一章,1.5 函数的连续性,对自变量的增量,有函数的增量,可见 , 函数,在点,一、 函数连续性的定义,定义:,在,的某邻域内有定义 ,则称函数,(1),在点,即,(2) 极限,(3),设函数,连续必须具备下列条件:,存在 ;,且,有定义 ,存在 ;,若,在某区间上每一点都连续 ,则称它在该区间上,连续 ,或称它为该区间上的连续函数 .,对自变量的增量,有函数的增量,左连续,右连续,当,时, 有,函数,在点,连续有下列等价命题:,例1. 求,解:,原式,连续