2013版高中数学全程复习方略 12.1 绝对值不等式课件 理

1、第一节 绝对值不等式,三年16考 高考指数: 1.理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几何意 义证明以下不等式： (1)|a+b|a|+|b|; (2)|a-b|a-c|+|c-b|.,2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式: |ax+b|c;|ax+b|c;|x-a|+|x-b|c. 3.会用1中的不等式证明一些简单问题.,1.以选择题的形式考查绝对值不等式，同时与不等式的性质相 结合. 2.以考查绝对值不等式的解法为主，兼顾考查集合的交、并、 补运算.,1.绝对值三角不等式 定理1：如果a，b是实数，则|a+b|_，当且仅当_ 时，等号成立. 定理2:如果a,b,c是实数

2、，那么_,当且仅当 _时，等号成立.,|a|+|b|,ab0,|a-c|a-b|+|b-c|,(a-b)(b-c)0,【即时应用】 (1)思考：|a+b|与|a|-|b|,|a-b|与|a|-|b|及|a|+|b|分别具 有什么关系？ 提示：|a|-|b|a+b|, |a|-|b|a-b|a|+|b|.,(2)思考：不等式|a|-|b|ab|a|+|b|中“=”成立的条 件分别是什么？ 提示：不等式|a|-|b|a+b|a|+|b|,右侧“=”成立的条件 是ab0，左侧“=”成立的条件是ab0且|a|b|; 不等式|a|-|b|a-b|a|+|b|,右侧“=”成立的条件是 ab0，左侧“=”成

3、立的条件是ab0且|a|b|.,(3)判断以下命题是否正确.(请在括号内填“”或“”) 若|a-b|1,则|a|b|+1. ( ) 若a、bR，则|a+b|-2|a|a-b|. ( ) 若|x|2,|y|3，则 ( ),【解析】对于命题：因为|a|-|b|a-b|1, 所以|a|b|+1,故正确；对于命题： 因为|a+b|-|a-b|(a+b)+(a-b)|=|2a|, 所以|a+b|-2|a|a-b|,故正确； 对于命题：因为0|x|2,|y|3，所以 即 故正确. 答案： ,2.含绝对值的不等式|x|a的解集,x|-axa,x|xa或x-a,x|xR且x0,R,【即时应用】 (1)思考：|

4、x|以及|x-a|x-b|表示的几何意义是什么？ 提示：|x|表示数轴上的点x到原点O的距离；|x-a|x-b|表 示数轴上的点x到点a、b的距离之和(差). (2)不等式|2x+3|0的解集是_. 【解析】原不等式等价于2x+30, 答案：x|x ,(3)不等式x|x|1,x0时，|x|1,0x1. x|x-1或0x1. 答案：x|x-1或0x1,3.|ax+b|c(c0)和|ax+b|c(c0)型不等式的解法 |ax+b|c _; |ax+b|c_.,-cax+bc,ax+bc或ax+b-c,【即时应用】 (1)不等式|2x-1|2-x的解集为_.,【解析】(1)由|2x-1|2-x或5x

5、+1 或x 或x 或x ,4.|x-a|+|x-b|c(c0)和|x-a|+|x-b|c(c0)型不等式的解 法 方法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合 的思想. 方法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想. 方法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与 方程的思想.,【即时应用】 (1)不等式|x-1|+|x+2|5的解集为_. (2)不等式|x-3|-|x+1|1的解集为_.,【解析】(1)当x1时，|x-1|+|x+2|=x-1+x+2=2x+15,x2, 故不等式的解集为(-,-32,+).,(2)方法一：原不等式等价于 或 或 , 的解集为，的解集

6、为x| .,方法二：不等式|x-3|-|x+1| . 答案：(1)(-,-32,+) (2)( ，+),绝对值三角不等式定理的应用 【方法点睛】 绝对值三角不等式定理的理解 (1)两端的等号成立的条件在解题时经常用到，特别是用此定理 求函数的最大(小)值时.,(2)该定理可以推广为|a+b+c|a|+|b|+|c|，也可强化为 |a|-|b|ab|a|+|b|,它们经常用于含绝对值的不等 式的推证. 【提醒】当ab0时,|a+b|=|a|+|b|; 当ab0时，|a-b|=|a|+|b|.,【例1】“|x-a|m,且|y-a|m”是“|x-y|2m”(x,y,a,mR) 的( ) (A)充分不

7、必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件,【解题指南】 利用绝对值三角不等式，推证 与|x-y|2m的关系即得答案.,【规范解答】 选A.|x-y|=|(x-a)-(y-a)|x-a|+|y-a|m+m=2m, |x-a|m,且|y-a|m是|x-y|2m的充分条件. 取x=3，y=1，a=-2，m=2.5，则有 |x-y|=25=2m，但|x-a|=5, 不满足|x-a|m=2.5, 故|x-a|m且|y-a|m不是|x-y|2m的必要条件.,【反思感悟】 1.对绝对值三角不等式定理|a|-|b|ab|a|+|b|中等号成立的条件要深刻理解，特别是用此定理求

8、函数的最值时. 2.对于y=|x-a|+|x-b|或y=|x-a|-|x-b|型的最值求法利用绝对值三角不等式更简洁、方便.,【变式训练】1.(2012青岛模拟)设a，b是满足ab0的实数， 则( ) (A)|a+b|a-b| (B)|a+b|a-b| (C)|a-b|a|-|b| (D)|a-b|a|+|b|,【解析】选B.方法一(特殊值法)： ab0,不妨设a=-1,b=1. 则|a+b|=|-1+1|=0, |a-b|=|-1-1|=2, |a|-|b|=|-1|-|1|=0, |a|+|b|=|-1|+|1|=2. A、C、D错误，故选B.,方法二：由ab0得a,b异号， 易知|a+b

9、|a-b|， |a-b|=|a|+|b|， |a-b|a|-|b|. 选项B成立，A，C，D均不成立.,2.已知命题p:|a|1,且|b|2,命题q:|a+b|3,则p是q的 ( ) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件,【解析】选A.|a|1且|b|2, -3a+b3|a+b|3, 反之不成立 (如a=2，b=-3适合|a+b|3,但不适合|a|1且|b|2).,【变式备选】1.f(x)=|3-x|+|x-2|的最小值为_. 【解析】|3-x|+|x-2|3-x+(x-2)|=1, f(x)min=1. 答案：1,2.若f(x)=|x-5|-

10、|x+4|，则f(x)的最小值为_，最大值为 _. 【解析】|x-5|-|x+4|x-5-(x+4)|=9. f(x)min=-9,f(x)max=9. 答案：-9 9,3.给出下列四个命题： 若loga(a2+4)loga(4a)|x+log2x|的解集为(0，1)； 若|a+b|-c(a,b,cR)，则|a|b|-c. 以上四个命题中，正确命题的序号为_.,【解析】 对于,由于a2+44a 且loga(a2+4)loga(4a), 0a1,故错；,对于，由x2-5x+10， 得 或 , f(x)=log2(x2-5x+1)的递减区间为 ，故错；,对于,必有x0且log2x0, 0x1,故正

11、确； 对于,|a|-|b|a+b|-c, |a|b|-c,故正确. 答案：,绝对值不等式的解法 【方法点睛】 1.含有一个绝对值的不等式的解法 形如|f(x)|a(aR)型不等式的简单解法是等价命题 法，即 (1)当a0时，|f(x)|a f(x)a或f(x)-a.,(2)当a=0时，|f(x)|a f(x)0. (3)当aa 对任意x,f(x)有意义.,2.|x-a|+|x-b|c和|x-a|+|x-b|c型不等式的解法 (1)零点分段讨论法 含有两个或两个以上绝对值号的不等式，可用零点分段讨论法 脱去绝对值号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等 式(组)，一般步骤是：,令每个绝对值符

12、号的代数式为零，并求出相应的根； 将这些根按从小到大排序并把实数集分为若干个区间； 由所分区间去掉绝对值符号组成若干个不等式组，解这些不 等式组，求出解集； 取各个不等式组的解集的并集求得原不等式的解集.,(2)利用|x-a|的几何意义 由于|x-a|+|x-b|与|x-a|-|x-b|分别表示数轴上与x对应的点到 与a,b对应的点的距离之和与距离之差，因此对形如 |x-a|+|x-b|c(c0)或|x-a|-|x-b|c(c0)的不等式，利 用绝对值的几何意义求解更直观.,(3)数形结合法 通过构造函数，利用函数的图象求解，体现函数与方程的思 想，正确求出函数的零点并画出函数图象(有时需要考

13、查函数的 单调性)是解题关键. 【提醒】在利用分类讨论解决含多个绝对值的不等式时，应做 到分类不重、不漏；在某个区间上解不等式后，不要忘了与前 提条件求交集.,【例2】解下列不等式 (1)|5-4x|9; (2)(2012冀州模拟)x|x-a|2a2(常数a0). (3)(2011广东高考改编)|x+1|-|x-3|0; (4)(2011江苏高考)x+|2x-1|3; (5)(2011江西高考改编)|x+10|-|x-2|8.,【解题指南】 (1)(2)根据|x|a及|x|0)型不等式的解法，去掉绝对值号 求解. (3)先移项，然后两边平方，转化为一元二次不等式求解. (4)把含有绝对值的放在

14、一侧，不含绝对值的放在另一侧，利用 公式去掉绝对值后再求解. (5)根据绝对值不等式的解法，采用零点分段讨论即得.,【规范解答】 (1)|5-4x|9, 5-4x9或5-4x14,x . 原不等式的解集为x|x .,(2)原不等式 或 (a0)， 解得ax2a或xa. 原不等式解集为x|x2a.,(3)由|x+1|-|x-3|0得|x+1|x-3|, 两边平方得x2+2x+1x2-6x+9,即8x8,解得x1, 所以原不等式的解集为x|x1. (4)原不等式等价于|2x-1|3-x, x-32x-13-x,解得-2x , 原不等式的解集为x|-2x .,(5)当x-10时，原不等式变为:-x-

15、10+x-28,即-128, 不符合要求； 当-10x2时，原不等式变为:x+10+x-28,即2x0, 解得0 x2; 当x2时，原不等式变为：x+10-x+28,即128,恒成立, x2. 综上所述，原不等式的解集为x|x0.,【互动探究】 把本例中(5)题改为|x-2|+|x+3|7如何求解？ 【解析】 方法一：|x-2|+|x+3| = , 原不等式可化为 ,或 或 , 解上述不等式组得所求不等式的解集为x|x3.,方法二：根据绝对值的几何意义， |x-2|+|x+3|表示数轴上的点到2和-3的距离之和，而数轴上-4 和3对应的点到2和-3对应的点的距离之和为7(如图)，故 x|x3.

16、,方法三：分别画出函数y1=|x-2|+|x+3|和y2=7的图象.如图,其中y1= . 令2x+1=7得x=3,令-2x-1=7得x=-4. 所以，满足|x-2|+|x+3|7的解集为x|x3或x-4.,【反思感悟】 1.解绝对值不等式的基本方法有 (1)利用绝对值的定义，通过分类讨论转化为解不含绝对值符号 的普通不等式； (2)当不等式两端均为正时，可通过两边平方的方法，转化为解 不含绝对值符号的普通不等式； (3)利用绝对值的几何意义，数形结合求解.,2.几种绝对值不等式的等价形式 解绝对值不等式的思路是转化为等价的不含绝对值符号的不等 式(组)，根据式子的特点可用下列公式进行转化. (

17、1)|f(x)|g(x)f(x)g(x)或f(x)-g(x); (2)|f(x)|g(x)-g(x)f(x)g(x); (3)|f(x)|g(x)|f(x)2g(x)2.,【变式备选】解下列不等式: (1)1|x-2|3; (2)|x2-9|x+3; (3)(2012潍坊模拟)|x-1|+|2x+1|2.,【解题指南】(1)利用公式法或平方法转化为不含绝对值的不等 式.(2)利用绝对值的定义或|f(x)|a(a0)-af(x)a去掉 绝对值符号或利用数形结合思想求解.(3)不等式的左边含有两 个绝对值符号,要同时去掉这两个绝对值符号,可以采用“零点 分段法”.,【解析】 (1)方法一:原不等式

18、等价于不等式组 ，即 ， 解得-1x1或3x5, 所以原不等式的解集为x|-1x1或3x5.,方法二:原不等式可转化为: 或 ， 由得3x5，由得-1x1, 所以原不等式的解集是x|-1x1或3x5.,方法三:原不等式的解集就是1(x-2)29的解集, 即 ，解得 ， -1x1或3x5. 原不等式的解集是x|-1x1或3x5.,(2)方法一：原不等式等价于 或 不等式组等价于 解得，x=-3或3x4. 不等式组等价于 解得，2x3. 原不等式的解集是x|2x4或x=-3.,方法二：原不等式等价于 即 ， 原不等式的解集是x|2x4或x=-3.,方法三：设y1=|x2-9|, y2=x+3(x-

19、3)， 由|x2-9|=x+3， 解得x1=4,x2=-3,x3=2. 在同一坐标系下作出y1,y2的图象. 从图中可看出使y1y2的x的范围是x=-3或2x4. 原不等式的解集为x|x=-3或2x4.,(3)由题意x=1时，|x-1|=0,x= 时,2x+1=0,分类讨论如下： 当x 时， 原不等式等价于 , 得,当 时， 原不等式等价于 , 得,当x1时，原不等式等价于 , 得x无解. 由得原不等式的解集为,含绝对值不等式的恒成立问题 【方法点睛】 1.含绝对值的函数问题的解法 研究含有绝对值的函数问题时，根据绝对值的定义，分类讨论 去掉绝对值符号，转化为分段函数，然后利用数形结合解决，

20、是常用的思想方法.,2.恒成立问题的解决方法 (1)f(x)m恒成立，须有f(x)maxm; (2)f(x)m恒成立，须有f(x)minm; (3)不等式的解集为R，即不等式恒成立； (4)不等式的解集为，即不等式无解.,【例3】(2012潮州模拟)已知函数f(x)=x|x-a|-2. (1)当a=1时，解不等式f(x)|x-2|; (2)当x(0,1)时， 恒成立，求实数a的取值范围.,【解题指南】 (1)把a=1代入f(x)中，用零点分段讨论法解含有两个绝对值的 不等式； (2)先把问题等价转化为 在x(0,1)上恒成 立，再利用单调性与最值求解.,【规范解答】 (1)当a=1时，f(x)

21、|x-2|,即x|x-1|-2|x-2|. (*) 当x2时，由(*)x(x-1)-2x-20x2. 又x2,所以x;,当1x2时，由(*)x(x-1)-22-x-2x2. 又1x2,所以1x2; 当x1时，由(*)x(1-x)-22-xxR. 又x1,所以x1. 综上：由知原不等式的解集为x|x2.,(2)当x(0,1)时，f(x) ,即x|x-a|-2 恒成立, 也即 在x(0,1)上恒成立， 而 在(0，1上为增函数, 故g(x)max=g(1)= . h(x)= , 当且仅当 ,即 时，等号成立. 故a , ).,【反思感悟】 关于不等式成立问题 (1)恒成立问题 若f(x)A在区间D

22、上恒成立，则f(x)在区间D上的最小值大于A. 若f(x)B在区间D上恒成立，则f(x)在区间D上的最大值小于B.,(2)能成立问题 若f(x)A在区间D上能成立，则f(x)在区间D上的最大值大于A. 若f(x)A在区间D上恰成立，等价于f(x)A的解集为D. 若不等式f(x)B在区间D上恰成立，等价于f(x)B的解集为D.,【变式训练】(2012惠州模拟)已知函数f(x)=|2x+1|+|2x-3|. (1)求不等式f(x)6的解集； (2)若关于x的不等式f(x)a恒成立，求实数a的取值范围.,【解析】(1)原不等式等价于 或 或 , 解得 或 或 , 即不等式的解集为x|-1x2.,(2

23、)|2x+1|+|2x-3|(2x+1)-(2x-3)|=4. a4.,【变式备选】 1.(2012郑州模拟)已知函数f(x)=|x-a|. (1)若不等式f(x)m的解集为x|-1x5,求实数a,m的值. (2)当a=2时，解关于x的不等式f(x)+tf(x+2t)(t0).,【解析】(1)由|x-a|m得a-mxa+m, 所以 解得,(2)当a=2时，f(x)=|x-2|, 所以f(x)+tf(x+2t) 等价于|x-2+2t|-|x-2|t， 当t=0时，不等式恒成立，即xR；,当t0时，不等式 等价于 或 或 解得x2-2t或 或x, 即,综上，当t=0时，原不等式的解集为R， 当t0

24、时，原不等式的解集为,2.(2012洛阳模拟)已知f(x)=|x|. (1)解不等式 (2)若f(x)+f(x-1)a2+a-1对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围.,【解析】(1) 等价于 或 , 综上，原不等式的解集为x|x2或 .,(2)f(x)+f(x-1)=|x|+|x-1|, 由三角不等式得:|x|+|x-1|x-(x-1)|=1. 即f(x)+f(x-1)的最小值为1. a2+a-11,a2+a-20, 即(a+2)(a-1)0,解得-2a1.,【满分指导】含有参数的绝对值不等式的规范解答 【典例】(12分)(2011新课标全国卷)设函数f(x)=|x-a|+3x,其中a0.

25、(1)当a=1时，求不等式f(x)3x+2的解集； (2)若不等式f(x)0的解集为x|x-1，求a的值.,【解题指南】第(1)问，将a=1代入函数解析式，利用解绝对值 不等式的公式求解；第(2)问f(x)0|x-a|+3x0,然后分 xa和xa两种情况去掉绝对值号，转化为解不等式组的问题， 将两段解集取并集得f(x)0的解集，最后利用待定系数法求得 a的值.,【规范解答】(1)当a=1时，f(x)3x+2可化为|x-1|2.2分 由此可得x3或x-1. 故不等式f(x)3x+2的解集为x|x3或x-1.4分,(2)由f(x)0得|x-a|+3x0, 此不等式化为不等式组 或 , 即 或 . . 8分 因为a0，所以不等式组的解集为x|x . .10分 由题设可得 =-1,故a=2. .12分,【阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下失分警示和备考建议：,