00届 全国普通高等学校招生统一考试(新课程）数学试题及答案

1、2000年全国普通高等学校招生统一考试(新课程卷)数学(理工农医类)本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分.第卷1至2页.第卷3至10页共150分考试时间120分钟第卷(选择题共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的(1) 设集合A和B都是坐标平面上的点集，映射把集合A中的元素映射成集合B中的元素，则在映射下，象的原象是( )(A) (B) (C) (D) (2) 在复平面内，把复数对应的向量按顺时针方向旋转，所得向量对应的复数是( )(A) 2(B) (C) (D) 3(3) 一个长方体共一顶点的三个面的面积分别

2、是，这个长方体对角线的长是( )(A) 2(B) 3(C) (D) 6(4) 设、是任意的非零平面向量，且相互不共线，则 不与垂直 中，是真命题的有( )(A) (B) (C) (D) (5) 函数的部分图像是( )(6)中华人民共和国个人所得税法规定，公民全月工资、薪金所得不超过800元的部分不必纳税，超过800元的部分为全月应纳税所得额.此项税款按下表分段累进计算：全月应纳税所得额税率不超过500元的部分5%超过500元至2000元的部分10%超过2000元至5000元的部分15%某人一月份应交纳此项税款26.78元，则他的当月工资、薪金所得介于( )(A) 800900元(B) 9001

3、200元(C) 12001500元(D) 15002800元(7) 若，P=，Q=，R=，则( )(A) RPQ(B) PQ R(C) QPR(D) PRQ(8) 右图中阴影部分的面积是 ( )(A) (B) (C) (D) (9) 一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是( )(A) (B) (C) (D) (10) 过原点的直线与圆相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是( )(A) (B) (C) (D) (11) 过抛物线的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别是、，则等于( )(A) (B) (C) (D) (12) 如图，OA是圆锥底面

4、中心O到母线的垂线，OA绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分成体积相等的两部分，则母线与轴的夹角的余弦值为( )(A) (B) (C) (D) 第卷(非选择题共90分)二填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上.(13)某厂生产电子元件，其产品的次品率为5%，现从一批产品中任意地连续取出2件，其中次品数的概率分布是012(14)椭圆的焦点为、，点P为其上的动点，当为钝角时，点P横坐标的取值范围是_.(15)设是首项为1的正项数列，且(=1，2，3，)，则它的通项公式是=_.(16)如图，E、F分别为正方体的面、面的中心，则四边形在该正方体的面上的射影可能是_.(要求：把可能的

5、图的序号都填上)三、解答题：本大题共6小题,共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(17)(本小题满分10分) 甲、乙二人参加普法知识竞答，共有10个不同的题目，其中选择题6个，判断题4个.甲、乙二人依次各抽一题. (I)甲抽到选择题、乙抽到判断题的概率是多少？(II)甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？注意：考生在(18甲)、(18乙)两题中选一题作答，如果两题都答，只以(18甲)计分.(18甲)(本小题满分12分)如图，直三棱柱ABC-，底面ABC中，CA=CB=1，BCA=，棱=2，M、N分别是、的中点.(I)求的长；(II)求，的值；(III)求证.(18乙)(本

6、小题满分12分)如图，已知平行六面体ABCD-的底面ABCD是菱形，且=.(I)证明：BD；(II)假定CD=2，=，记面为，面CBD为，求二面角 的平面角的余弦值； (III)当的值为多少时，能使平面？请给出证明.(19)(本小题满分12分) 设函数，其中.(I)解不等式；(II)求的取值范围，使函数在区间上是单调函数.(20)(本小题满分12分) 用总长14.8m的钢条制成一个长方体容器的框架，如果所制做容器的底面的一边比另一边长0.5m，那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积.(21)(本小题满分14分)(I)已知数列，其中，且数列为等比数列，求常数.(II)设、是公比不相等的

7、两个等比数列，证明数列不是等比数列.(22)(本小题满分14分)如图，已知梯形ABCD中，点E满足=，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点.当时，求双曲线离心率的取值范围.2000年全国普通高等学校招生统一考试江西、天津卷数学试题（理工农医类）参考答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算.每小题5分，满分60分.（1）B（2）B（3）C（4）D（5）D（6）C（7）B（8）C（9）A(10) C (11)C (12) D 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题4分，满分16分.（13）0120.90250.0950.0025（14）（15）（16）三、解答题（5）本小题主要考查等

8、可能事件的概率计算及分析和解决实际问题的能力.满分10分.解：（I）甲从选择题中抽到一题的可能结果有个，乙依次从判断题中抽到一题的可能结果有个，故甲抽到选择题、乙依次抽到判断题的可能结果有个；又甲、乙依次抽一题的可能结果有个，所以甲抽到选择题、乙依次抽到判断题的概率为，所求概率为； 5分（II）甲、乙二人依次都抽到判断题的概率为，故甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率为，所求概率为.或，所求概率为. 10分注意：考生在（18甲）、（18乙）两题中选一题作答，如果两题都答，只以（18甲）计分.（18甲）本小题主要考查空间向量及运算的基本知识.满分12分.如图，以C为原点建立空间直角坐标系O.（

9、I）解：依题意得B，N， 2分（II）解：依题意得，B，C，.，.，.5分9分（III）证明：依题意得，M， ， ， ， A1BC1M. 12分（18乙）本小题主要考查直线与直线、直线与平面的关系，逻辑推理能力.满分12分.（I）证明：连结、AC，AC和BD交于O，连结. 四边形ABCD是菱形， ACBD，BC=CD.又 ， ， ， DO=OB， BD， 2分但 ACBD，AC=O， BD平面.又 平面， BD. 4分（II）解：由（I）知ACBD，BD， 是二面角的平面角.在中，BC=2， .6分 OCB=， OB=BC=1. ， 即.作OC，垂足为H. 点H是OC的中点，且OH，所以 .8

10、分（III）当时，能使平面.证法一： ， BC=CD=，又 ，由此可推得BD=.三棱锥C- 是正三棱锥10分设与相交于G.AC，且OC=21，GO=21.又是正三角形的BD边上的高和中线，点G是正三角形的中心，CG平面.即平面12分证法二：由（I）知，BD平面，平面，BD.10分当时 ，平行六面体的六个面是全等的菱形，同BD的证法可得.又 BD=B，平面.12分 （19）本小题主要考查不等式的解法、函数的单调性等基本知识、分类讨论的数学思想方法和运算、推理能力.满分12分.思路1：（I）不等式即，由此得，即，其中常数.所以，原不等式等价于即3分所以，当时，所给不等式的解集为；当时，所给不等式的

11、解集为.6分（II）在区间上任取，使得. 8分（i） 当时， ，又，即.所以，当时，函数在区间上是单调递减函数.10分（ii）当时，在区间上存在两点，满足 ，即，所以函数在区间上不是单调函数.综上，当且仅当时，函数为区间上的单调函数. 12分思路2： 4分(i)当时，有，此时.函数在区间（,+）上是单调递减函数.但f(0)=1,因此，当且仅当x0时f(x)1 8分(ii)当a1时：解不等式得，f(x)在区间上是单调递减函数；同理，解不等式得，f(x)在区间上是单调递增函数.解方程f(x)=1得 .因为，所以，当且仅当.综上：()当a1时，的解集为；当a1时 的解集为.()当且仅当a1时，f(x

12、)在区间0,+上是单调函数.12分（20）本小题主要考查应用所学导数的知识、思想和方法解决实际问题的能力，建立函数式、解方程、不等式、最大值等基础知识.满分12分.解：设容器底面短边长为m，则另一边长为 m，高为由和，得，设容器的容积为，则有 整理，得， 4分 6分令，有，即，解得，（不合题意，舍去）. 8分从而，在定义域（0，1.6）内只有在处使.由题意，若过小（接近0）或过大（接近1.6）时，值很小（接近0），因此，当时取得最大值，这时，高为.答：容器的高为1.2m时容积最大，最大容积为.12分（21）本小题主要考查等比数列的概念和基本性质，推理和运算能力.满分12分.解：（I）因为是等比数列，故有，将代入上式，得=分即=，整理得，解得=2或=3.分（II）设、的公比分别为、，,.为证不是等比数列只需证.事实上，.12分由于，又、不为零，因此，故不是等比数列.14分（22）本小题主要考查坐标法、定比分点坐标公式、双曲线的概念和性质，推理、运算能力和综合应用数学知识解决问题的能力.满分14分.解：如图，以AB的垂直平分