1.1集合及其表示法

1、1.1.1 集合的含义与表示,现实世界中的许多运动变化现象都表现出变量之间的依赖关系。数学上，我们用数学模型描述这种依赖关系，并通过研究函数的性质了解他们的变化规律。 函数是高中数学的重要内容之一。函数的基础知识在现实生活、社会、经济及其他学科中有着广泛的应用；函数与代数式、方程、不等式等内容练习非常紧密；函数概念及其反映出的数学思想方法已广泛渗透到数学的各个领域，是进一步学习数学的重要基础；函数的概念是运动变化和对立统一等观点在数学中的具体体现。 集合是现代数学的基本语言，可以间简洁、准确地表达数学内容。在本章，我们将学习集合的一些基本知识，拥挤和语言表示有关数学对象，并用集合和对应的语言进

2、一步描述函数概念，感受建立函数模型的过程和方法，初步运用函数思想理解和处理生活、社会中的简单问题。,观察下列的例子：,思考：上面几个例子的共同特征是什么？,结论：,这个总体我们称之为：集合,它们都是由一些指定的对象组成的总体,每个指定的研究对象叫做这个集合的一个元素,集合的定义：,让我们回头再看看刚才的几个例子,一般地， 我们把研究对象统称为元素（element)， 把一些元素组成的总体叫做集合(set)（简称集）.,元素是。集合是。,中国的直辖市 身材较高的人,以下研究对象可否组成元素,2、集合中元素的性质,确定性：给定的集合，他的元素必须是确定的，也就是说给定一个集合，那么任何一个元素在不

3、在这个集合中就确定了。即集合中的元素必须是意义明确的，不能模棱两可，含糊不清。,互异性：一个给定的集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素不能相同。,无序性：集合中的元素是无先后顺序的，即集合里的任何两个元素可以交换位置。,（2）漂亮的衣服,（3）我国的小河流,思考:,判断以下元素的全体是否组成集合,并说明理由:,（1）大于3小于11的偶数,（4）小于2006的实数,（5）和2006非常接近的实数。,如果a是集合A的元素，就说a 属于集合A ，记作 aA ；,3：元素与集合的关系,例如，用A表示“ 120以内所有的素数”组成的集合，则有3 A，4 A，等等。,如果a不是集合A的元素，就说a 不

4、属于集合A ，记作 aA 。,非负整数集（或自然数集）：全体非负整数的集合，记作N;,常用的数集及其记法,正整数集：非负整数集内排除0的集，记作N*或N+ ;,整数集：全体整数的集合，记作Z;,有理数集：全体有理数的集合，记作Q;,实数集：全体实数的集合，记作R.,5：例题,例1 用符号“”或”填空,随堂练习,(1)设A为所有亚洲国家组成的集合，则中国_ A；美国_ A，印度_ A；英国_ A.,1、用符号“”或”填空：,(2)若A=方程x=1的解则-1_A.,(3)若B=方程x+x-6=0的解则3_B.,(4)若C=满足1x10的自然数则8 _ C， 9.1 _ C.,用大写字母A，B，C表

5、示集合,用小写字母a, b，c 表示集合中的元素.,集合的表示方法,一、列举法： 把集合中的元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法 例如： “地球上的四大洋”组成的集合可用列举法表示为： =太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋,例1请用列举法表示下列集合：,（1）小于5的正奇数. (2)能被3整除且大于4小于15的自然数. （3）方程 的解的集合.,问：解决这类问题的关键是什么？,答：将集合的所有元素都求出来,思考,（）你能用自然语言描述集合2,4,6,8吗？ （）你能用列举法表示不等式x-73的解集吗？,描述法,用集合所含元素的共同特征表示集合的方法 一、符号描述法 在花括号内先写上

6、表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征 例如：所有奇数的集合可表示为： =x|x=2k+1，k ,2、文字描述法用文字把元素所具有的属性描述出来，如自然数,例1请用描述法表示下列集合： （4）由适合 的所有解组成集合. （5）1/3,1/2,3/5,2/3,5/7. (6)方程组 的解集.,例2用描述法分别表示: (1)抛物线 上的点. (2)抛物线 上点的横坐标. (3)抛物线 上点的纵坐标.,再问：解决这类问题的关键是什么？,答：找出集合所含元素的共同特征以及元素的取值范围。,三、集合的分类,有限集含有有限个元素的集合。 无

7、限集含有无限个元素的集合。,空集：不含任何元素的集合。记作 ， 如：,补充练习,1.方程组 的解集用列举法表示 为_；用描述法表示为 . 2. 用列举法表示为 .,1集合的定义;,2集合元素的性质：确定性，互 异性，无序性；,3数集及有关符号；,4. 集合的表示方法；,5. 集合的分类.。,教科书12页A组3、4、5,思考题：在数集3，x，x - 2x中，实数x满足的条件是什么？,解：由集合中元素的互异性知 3x， 3 x - 2x，解之得x -1，且 x x x - 2x， 0，且x 3且x R 。,康 托（Georg Cantor，18451918） 创立集合论的“疯子”,1845年3月3日，康托生于俄国的一个犹太血统的家庭。像许多优秀的数学家一样，他在中学阶段就表现出一种对数学的特殊敏感，并不时得出令人惊奇的结论。1863进入了柏林大学，康托受到了著名分析学家魏尔斯特拉斯的影响而对纯粹数学产生了极大的兴趣。1874年康托在克列勒的数学杂志上发表了关于无穷集合论的第一篇革命性文章，数学史上一般认为这篇文章的发表标志着集合论的诞生。由于康托