自控原理(3).ppt

1、第三章 线性系统的时域分析,本章重点、难点与考点,一、重点： 1、二阶系统时间响应及其动态性能指标计算 2、线性系统稳定的充要条件及稳定判据 3、稳态误差分析与计算,二、难点：高阶系统准确的时间响应表达式的求取,三、考点： 1、一阶系统单位阶跃响应、典型输出值 2、二阶系统动态性能分析与性能指标的计算 3、Routh判据判定系统稳定性 4、分析、计算稳态误差,3.1 线性系统响应指标,1.典型输入信号,2.时域性能指标, 典型时间响应：零初始条件时，典型输入信号作用下系统输出的过渡过程*。,*过渡过程：系统受到外作用时，控制过程不会立即发生，而是有一定的延缓，这就使得被控量恢复到期望值或跟踪输

2、出量有一个时间过程。一般认为c(t) 进入（误差带）后过渡过程结束。,例如：单位阶跃输入信号作用下，反馈系统的过渡过程为：,b 、单位阶跃信号作用下 反馈系统的过渡过程曲线,（误差带2一般取0.02或0.05）, 动态性能指标：,延迟时间 td ：指响应从0到第一次达到终值（稳态值）的一半时所需 要的时间；,上升时间 tr ：指响应从0到第一次达到终值（稳态值）时所需要的时间；,峰值时间 tp ：指响应从0到达第一次峰值（最大值）时所需要的时间；,调节时间 ts ：即过渡过程时间。指响应到达并保持在终值5%（=0.05）或2%（=0.02）内所需要的最短时间。,超调量 ：指阶跃响应的最大值超出

3、其稳态值的部分。,振荡次数N ：指c (t)穿越c ()水平线的次数的一半。,其中 平稳性； N阻尼性。, 稳态性能指标：,稳态误差ess ：指响应的稳态值与期望值之差。系统控制精度（准确性）或抗扰动能力的一种度量。,32 一阶系统的时域分析,1. 一阶系统的数学模型,2. 一阶系统的单位阶跃响应,微分方程式,复域表达式,（惯性环节）,即 c(t) 是单调上升的。,为描述方便，取t=nT,得下表,根据此表数据，绘制出一阶系统的单位阶跃响应如下图：,分别计算 t：0时的 c(t) 值：,有 c(0)= c(t)t=0=0, ， c()= c(t)t=1,从图中可知: 当=0.05时，ts = 3

4、T ； =0.02时，ts = 4T ；,结论： 时间常数T 决定系统的惯性：,由此可见 ts 是由T 决定的。而 tp = 0， = 0，N=0 , td , tr 均可求得。,T 越小，即系统惯性越小，过渡过程越快； T 越大，即系统惯性越大，过渡过程越慢。,3 一阶系统的： 单位脉冲响应 、单位斜坡响应 及 单位加速度响应 参见教材P74-76。 （分析方法同 “单位阶跃响应”）,3.3 二阶系统的时域分析,1.二阶系统的数学模型,比如：RLC振荡电路的微分模型为,一般化,其中,-二阶系统时间常数 / 秒,-二阶系统阻尼比或相对阻尼系数 / (无量纲),一般式拉氏变换,二阶系统标准式,其

5、中,-二阶系统自然振荡频率 或无阻尼振荡频率（弧度 / 秒 ）,-二阶系统阻尼比,2.二阶系统的闭环极点与单位阶跃响应, 二阶系统的闭环极点,由闭环特征式：,得： 系统的闭环特征方程,有：,（S1 ，S2二阶系统的闭环极点）,对应于 的不同取值，可以得到 s1 ， s2 在s平面上不同的分布。, 二阶系统的单位阶跃响应,当r(t) = 1 时 或R(s)=1/s 时， 有：,故,其中,而s1，s2是和n的函数，显然c(t)只与 ，n有关，即 ，n决定着c(t)的形式。分别讨论如下：, 1时，（过阻尼） s1 ，s2 为一对不等的负实数根。, = 1时，（临界阻尼） s1 ，s2 为一对相等的负

6、实数根。, 0 1时，（欠阻尼） s1 ，s2 为一对具有负实部的共轭复根。, 当 =0时，（无阻尼，零阻尼） s1 ，s2 为一对幅值相等的虚根。, 当 0时，（负阻尼） s1 ，s2 为一对不等的正实部根。,小结： i） 二阶系统正常工作的基本条件是 0 ；而0系统不稳定；,ii） 当1时，其阶跃响应曲线是单调上升的（即非周期性的）；,iii） 当01时，其阶跃响应曲线是振荡衰减的（即具周期性）。,（3）欠阻尼即01时二阶系统的单位阶跃响应动态性能分析,设r(t)=1，即,则二阶系统在时的单位阶跃响应式为：,其中 cos = 即=arc cos ( 称为阻尼角),分析：,由此可见，它为一振

7、荡衰减过程（指数衰减），振荡频率为d 。图示如下：,2） e(t) 及c(t)的衰减速度取决于 n的大小；,3） t 时， e()=0 则c()=1；,4） 0, N0 即存在超调和振荡；,即s1，s2的实部。亦即闭环极点到虚轴的距离；,d 即s1，s2的虚部。亦即闭环极点到实轴的距离；,n（自然振荡频率）： 闭环极点到原点的距离;, = cos（为阻尼角）：n 与负实轴夹角的余弦;,5）,、d、n、及 、的关系图示如下:,峰值时间 tp ：指响应从0到达第一次峰值（最大值）时 所 需要的时间； 由求c (t)极值的方法，即由 c(t)=0 求得：,6) 性能指标分析,、d、n、 及 、的关系

8、图,上升时间 tr ：指响应从0到第一次达到终值（稳态值）时所需要的时间；,所以,调节时间 ts ：即过渡过程时间。指响应到达并保持在终值5% （=0.05）或2%（=0.02）内所需要的最短时间。,在工程上，一般采用下列公式进行估算：,延迟时间 td ：指响应从0到第一次达到终值（稳态值）的一半时所需要的时间；,当 0.7时：,当0 0.7时：,在工程上，一般采用下列公式进行估算：,具体求法参见教材P82。,超调量 ：指阶跃响应的最大值超出其稳态值的部分。,即 = c (tp)1 100%,结论分析：,根据定义，并因为c ()=1，故有,将,代入后简化得：,a) tr 、tp 、ts 、td

9、 与n 的关系（反比关系）；,b) tp 、td与的关系（正比关系）；ts与的关系（反比关系）.,c) 、 与的关系（反比关系）； 小时，系统的平稳性差；大时，系统的平稳性好。,3 欠阻尼情况下，二阶系统的单位脉冲、斜坡及加速度响应的动态性能分析,4 其他几种阻尼情况下，各种典型信号响应的动态性能分析不要求。,5 例题分析 例题1 教材：P83例题3-1(欠阻尼)、 P85例题3-2（过阻尼）。,实际设计中，一般取 = 0.40.8。其中以 = 0.7时为最佳阻尼。,解,因为,例题2 某单位反馈的二阶系统，其单位阶跃输入下的系统响应如下图所示。确定系统的开环传递函数G（s）。,例题3 某单位反

10、馈系统如下图所示，（1）确定系统特征参数n、 与其实际参数K、T的关系；（2）若K=16（rad/sec）、T=0.25sec，计算系统的动态性能指标。,解,（1）、因为,与二阶系统标准形式比较，可知,（2）、当K=16，T=0.25时,所以,而,因此,补充练习题1 某单位反馈系统如下图所示，要求系统具有15%的超调量和0.8秒的峰值时间：（1）确定系统参数K1、 K2；（2）确定系统参数K1、 K2 下，系统性能指标tr、ts。,(参考答案),例题4 某单位反馈的二阶系统，其单位阶跃输入下的系统响应如下图所示。确定系统的传递函数G（s）。,解：由于稳态值为3（不是1）,即系统增益为3而不是1

11、。,此时，系统模型变为：,由于,所以,例题5 已知系统结构图如下图所示，单位阶跃响应的超调量16.3，峰值时间tp1s。试求： (1) 开环传递函数G(s)； (2) 闭环传递函数(s)； (3) 根据已知性能指标及tp确定参数K及；,解,即有,又因为,所以,例题6、某控制系统结构图如下，图中G1(s)的单位阶跃响应为 8/5（1-e-5t)，若r(t)201（t），求系统稳态输出c（）、 超调量及过渡过程时间ts。,解,(或根据定义求取),根据闭环特征式，有,系统结构图如下。 （1）已知G1(s)的单位阶跃响应为1-e-2t，试求G1(s)； （2）当G1(s)=1/（s+2），且r（t）=

12、101（t）时，求： 系统的稳态输出； 系统的峰值时间tp，超调量%，调节时间ts； 概略绘制系统输出响应c（t）的曲线。,补充练习题2 （例题6之同类例题）,例题7、巳知系统的单位脉冲响应为,(1)求系统的传递函数； (2)确定系统的单位阶跃响应达到稳态值的95所需的时间。,(1)系统的传递函数可通过对系统的单位脉冲响应求拉氏变换得到，即,(2)系统的单位阶跃响应可通过对系统的单位脉冲响应求积分得到(教材Page30-31：传递函数性质4)注,解,注,若巳知系统的单位脉冲响应为g(t),则系统单位阶跃响应为(因为r(t-)=1):,所以，系统的单位阶跃响应达到稳态值的95所需的时间ts由下式

13、决定,解得,（ ）,6二阶系统性能的改善,1) 改善的目的：获得满意的动态性能与稳态性能，更好的控制效果。,2) 改善的办法：（P8892） 比例+微分（引入零点）：在前向通路中串一个PD控制环节； 采用测速反馈控制。,3) PD控制与测速反馈控制两种方案比较 （见下页附表）,例题分析,例题1 例如前述的补充练习题1、例题5等；,例题2 教材：P91例题3-5；,例题3 设控制系统如图所示。试设计反馈通道传递函数H(s)，使系统阻尼比提高到希望的1值，但要保持增益参数K及自然振荡频率n不变。,解：由结构图得闭环传递函数,根据题意要求，应取 H(s)=s,此时，系统闭环传递函数为,令,解得,故反

14、馈通道传递函数为,附表： PD控制与测速反馈控制两种方案比较,34 高阶系统的时域分析,1、定义：能用三阶或三阶以上的微分方程描述的控制系统。,2、分析方法： 1）定性分析； 2）主导极点法； 3）计算机分析,3 主导极点与偶极子问题, 主导极点： 在所有的闭环极点中，那些离虚轴最近、且附近又没有其它零、极点，对系统动态性能影响起主导的决定性作用的闭环极点，称之为主导极点。,主导极点法： 利用主导极点代替系统全部闭环极点来估算系统性能的方法，称为主导极点法。,一般要求： 5 *Re主导极点Re 非主导极点或零点。, 偶极子： 当一对闭环零、极点重合或它们之间的距 离比较小（它们之间的距离比其本

15、身的模值小一个数量级以上）时便构成偶极子。,4、利用主导极点法系统性能指标 利用主导极点法可以将高阶系统化成低阶（一阶或二阶系统来近似地对高阶系统进行等效分析。,35 线性系统的稳定性,1、稳定的定义：若线性系统在初始扰动影响下，其动态过程能够逐渐衰减并趋于零，即系统能回到原来的平衡工作点，则称系统渐近稳定，简称稳定。否则为不稳定。,2、系统稳定的充要条件（P100中）：系统的所有闭环特征根都具有负实部；或者系统闭环传递函数的极点均严格位于左半s平面。 （ 0） ,系统稳定的“充要条件”的两点说明： 1） 若有部分闭环极点位于虚轴上，而其余极点分布在左半S平面时，系统将处于临界稳定状态（ =0

16、）。 2） 若有一个或一个以上的闭环极点位于右半S平面时，则系统将处于不稳定状态（ 0）。,3、稳定性的判定 1） 三个稳定判据,劳斯（Routh）判据; 胡尔维茨（Hurwith）判据; 林纳德-奇帕特（Lienard-Chipard）判据,a、前提：稳定的充分必要条件（特征方程的根）； b、依据：根与系数的关系； c 、方法：列（劳斯）表计算。,2)Routh判据判定方法：根据劳斯表中第一列元素的 符号来判定： 若劳斯表中第一列元素的符号均严格为正，则系统稳定； 若劳斯表中第一列元素的符号出现负号，则系统不稳定；,3） 劳斯表的列写 首先，将D（s）= a0 sn + a1 sn-1 +

17、an-1 s + an =0 的系数排 成两行： sn a0 a2 a4 a6 sn-1 a1 a3 a5 a7 ,其次，分步计算（空位置零），列写劳斯表。见下页,最后，根据劳斯表中第一列元素的符号来判定稳定性。,劳 斯(Routh) 表,若a0、a1、b1、c1、xn、an都严格为正，则系统稳定； 若a0、a1、b1、c1、xn、an中出现负值，则系统不稳定； 此时，元素号改变的次数，恰好是具有正实部的闭环特征根个数。,4） 劳斯表特殊情况处理, 第一列元素出现“0”项（下面一项为）： 在原特征方程D（s）=0中乘以一个任意的（s+a）因子， （a0）， 然后对新的特征方程D（s）（s+a）

18、=0重新列 写劳斯表。,劳斯表中出现全0行： 以全0行上面那一行的系数建立一个辅助方程F（s）=0， 并对其求导一次，再用F （s）=0 的系数代替全0行各元素， 继续列劳斯表。 若系统存在正实部根，则可以由辅助方程F（s）=0求出 一部分，其余的正实部根可以由D（s）/ F（s）=0求得。,4 应用举例,例题1 教材：P102例3-8(用劳斯判据验证)。,解：由于,得到特征方程为,根据特征方程，列些劳斯表,根据劳斯判据要求,T0, T+20, K0 及,由于T与K互为条件，因此可以解得：,以及,例题2 教材 P 103 例3-9、 P 105 例3-10、 P 106 例3-11。,例题3

19、设某线性系统的闭环特征方程为,试用劳斯判据判定系统稳定性。,由于劳斯表中第一列元素出现了“-6”，且“+”、“-”符号变化了两次，说明系统不稳定，系统有两个正实部根。,解：根据特征方程，列些劳斯表,例题4 设单位反馈系统的开环传递函数为,(1) 试确定系统稳定时K的取值范围。,解 (1) 根据开环传递函数，得特征方程,(2) 若要求系统的闭环特征根均位于s=-0.1垂线之左边，那么K应该取什么值？,并列些劳斯表如下:,由劳斯表可知，,K的取值范围是：0K30,(2)若要求系统的闭环特征根均位于 s = 0.1 垂线之左边，可用 z=s+0.1 代替 s 做线性变换 ，并将s=z0.1代入原来的

20、特征方程，得：,再以该特征方程列些劳斯表，求得,0.441K21.39,例题5 设某线性系统的闭环特征方程为,试求 (1) 在s平面右半部分的根(正实部根)的个数(正实部根); (2) 虚根。,解（1）根据特征方程，列些劳斯表,由于 s3 的对应行的元素全为0，所以，利用其上面行的元素作为系数，构成辅助方程：,对其求导一次，得,再以系数8和24取代s3 的对应行的0元素，继续列些劳斯表。,由于表中第一列元素全为正，所以，没有特征根在s右半平面。,（1）虚根,虚根可由辅助方程求得，令,解得,例题6、已知单位负反馈系统的开环传递函数为,试确定使系统以2 rad/sec的频率持续振荡的K和a的取值。

21、,系统特征方程为,列写劳斯表,解,考虑到系统以n=2等幅振荡，用s2行的系数构造辅助方程 F（s）= as2+K+1 = 0,依题意，表中应有全0行，故有,联立（1）、（2）解得 a=0，K=1和a=3/4，K2,将两组解分别代入特征方程可知a=0，K=1不符合题意。,因此，使系统以2 rad/sec的频率持续振荡的a=3/4，K2,（1）,（2）,得,即,例题7：已知系统结构图如下，试用劳斯稳定性判据确定能使系统稳定的反馈参数的取值范围。,解 ：系统的闭环传递函数为,闭环特征方程为：,劳斯表为,根据表中第一列元素大于零的要求，可知 0,例题8：单位反馈系统的开环传递函数如下，试确定能使系统稳

22、定的K的取值范围。,解：系统的闭环特征方程为：s（0.1s+1）(0.25s+1) + K = 0,s 3 0.025 1 s2 0.35 K s1 (0.35-0.025K)/0.35 0 s 0 K,列写劳斯表如下：,根据表中第一列元素大于零的要求，有 0.35-0.025K0 及K0,即： 0.025 s 3+0.35 s 2+ s + K = 0,故有 0K14,例题9：某控制系统的特征方程为: s 3+（+1）s 2+(+-1)s+-1 = 0 式中、为待定参数,试确定能使系统稳定的参数、的取值范围。,（提示：用劳斯稳定性判据可确定。参数、的取值范围是 0及1 ）,小结： 系统的稳定

23、性只与本身结构参数有关，而与初始条件、外作用无关； 系统的稳定性只取决于系统的闭环特征根（极点），而与零点无关。,3.6 误差分析与计算,1、误差的概念：在外作用下，系统的实际输出与期望输出之间的偏差。,（1） 误差E（s）,系统的误差又有两种定义方法，分述如下：,一种是，从输出端定义： E（s）= R（s）C（s）,特点：容易测量。但由于信号的性质可能不一样，故不便于理论分析。,有两种描述方式，即误差E（s）与稳态误差ess 。,另一种，是从输入端定义： E（s）= R（s）B（s）,这种的特点是：不容易测量，但便于理论分析。（教材以第二种为主）,（2）稳态误差ess,只有稳定系统才讨论稳态

24、误差ess ，并可应用极限或终值定理求得。,2 系统的类型及稳态误差的计算,（1）系统的类型,设某高阶系统具有以下开环传递函数形式,或者,（极限法）,（终值定理法）,其中： K开环增益 i，Tj时间常数 开环系统s平面坐标原 点上的重极点数。,并定义系统： 当= 0 时-为 0 型系统； = 1时-为型系统； = 2时-为型系统； = n 时-为 n 型系统.,（2）给定输入下稳态误差的计算, 阶跃信号输入下稳态误差ess与静态位置误差系数KP的计算,设 r（t）=R1（t） 即 R（s）=R / s 则有 :,其中,（静态位置误差系数）,斜坡信号输入下稳态误差ess与静态速度误差系数Kv的计算,设 r（t）=Rt , 即 R（s）=R/s2 则有:,其中,( 静态速度误差系数),设 r（t）=Rt2/2, 即 R（s）=R/s3 则有:, 加速度信号输入下稳态误差ess与静态加速度误差系数 Ka的计算,其中,( 静态加速度误差系数),小结：见P112 附表3-6 输入信号作用下的稳态误差,注意：K系统开环增益,（3）多个给定输入下稳态误差的计算,计算方法：利用