高一数学教案：几何概型5

1、3.3几何概型3.3.1几何概型学习目标导航学习提示1.理解几何概型的概念 .重点是几何概型的理解；难2.会利用几何概型概率公式计算简单事件的概率.点是计算公式的应用 .教材优化全析全析提示我们知道古典概型只有在满足“有限性”和“等可能性”两个性质的古典概型的两个特征“有限前提下才能适用，那么对于试验结果有无穷多个的情形该怎样处理呢？性”和“等可能性”缺一不可 .课本通过转盘试验向我们介绍了什么是几何概型及其计算公式，下面分别就什么是几何概型、计算公式、怎样应用作进一步阐述.如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）应理解好“长度” “成比例”成比例，则称这样的概率模型为几何

2、概率模型，简称为几何概型.等的含义 .定义中讲“概率与区域的长度成比例”，怎样成比例呢？其实几何概型里面也隐含着“等可能性”，请先看下面的例子：射箭比赛的箭靶是涂有五个彩色的分环，从外向内为白色、黑色、蓝由假设我们可以看到“无限色、红色，靶心是金色，金色靶心叫“黄心”.奥运会的比赛靶面直径为性”“等可能性” .122 cm ，靶心直径为 12.2 cm.运动员在 70 m 外射箭，假设每箭都能中靶，且射中靶面内任一点都是等可能的，那么射中黄心的概率为多少？在这个试验中， 射中靶面上每一点都是一个基本事件，这一点可以是靶面直径为 122 cm 的大圆内的任意一点，显然基本事件有无穷多个.我们记“

3、射中黄心” 为事件 b，由于中靶点随机地落在面积为1 1222 cm24的大圆内， 而当中靶点落在面积为1 12.22 cm2 的黄心内时， 事件 b41 12.2 2发生，于是事件 b 发生的概率 p（b） = 4=0.01.1 12224从上面的分析可以看到，对于一个随机试验， 我们将每个基本事件理具有“无限性” “等可能性”解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机的事件才符合几何概型 .会都一样； 而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点，这个区域可以是线段、平面图形、立体图形等.用这种方法处理随机试验，称为几何概型. 也只因为区域中每一

4、点被取到的机会都一样（等可能性） ，某个事件发生的概率才只与构成该事件区域的“长因为有“等可能性” ，才有“成度”成比例 .比例” .几何概型中，事件 a 的概率的计算公式如下：构成事件 a的区域长度（面积或体积）.p（a） =的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积）就公式的应用我们需说明以下几点： （ 1）公式中的“长度”并不是实（ 1）公式中的 “长度” 实为际意义上的长度，有些书上把它叫做“测度”，测度的意义依试验的全部“测度”，它可以是面积、 体积等 .第 1页共 5页结果构成的区域而定，当区域分别是线段、平面图形和立体图形时，相应（ 2）几何概型中， 概率只与的“测度”分别是长度

5、、面积和体积等；（ 2）当试验的全部结果所构成的“长度”有关，与位置、形状均区域长度一定时，a 的概率只与构成事件a 的区域长度有关，而与 a 的位无关 .置和形状无关.如图 3 3 1.a图 3 3 1典型例题探究【例 1】一海豚在水池中自由游弋，水池为长30 m ，宽 20 m 的长方形，求此刻海豚嘴尖离岸边不超过2 m 的概率 .分析： 海豚在水中自由游弋，其在水池中的哪个位置是等可能的，故这是几何概型.30m20m2m图 3 3 2解：对于几何概型，关键是要构造出随机事件对应的几何图形，利用规律发现图形的几何度量来求随机事件的概率.如图 3 3 2，区域 是长30 m、宽 20 m 的

6、长方形 .图中阴影部分表示事件a：“海豚嘴尖离岸边不超过2 m”，根据题意，构造几何图形， 找问题可以理解为求海豚嘴尖出现在图3 3 2 中阴影部分的概率.由于区出两“长度”，套用几何概型公式 .域 的面积为 30 20=600（m2），阴影 a 的面积为 30 202616=184（ m2）. p（ a） = 18423 0.31.60075【例 2】平面上画了一些彼此相距2a 的平行线，把一枚半径r a 的硬币任意掷在这个平面上，求硬币不与任一条平行线相碰的概率.分析：硬币任意抛掷， 落在哪个位置的机会都一样， 故属于几何概型 .根据“无限性” “等可能性”m判定为几何概型，作适当辅助线求

7、得“两长度” .2aro图 3 3 3解：记事件 a：“硬币不与任一条平行线相碰” .为了确定硬币的位置，由硬币中心 o 向靠得最近的平行线引垂线 om ，垂足为 m，参看图 333，这样线段 om 长度（记作 |om|）的取值范围是 0，a，只有当 r |om | a的长度a rp（ a） =(r , a时，硬币不与平行线相碰，所以的长度.0, a a知识应用自测1.取一根长度为3 m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1 m的概率是 .思路导引判断是古典概型还是几何概型，应用相应公式 .第 2页共 5页111a. 2b. 3c. 4d.不确定答案： b解析：记“剪得两段

8、绳长都不小于1 m”为事件a ，把绳子三等分，于是当剪断位置1处在中间一段上时，事件a 发生 .由于中间一段的长度等于绳长的3 ，所以事件 a 发1生的概率p（ a ） = 3 .2.已知地铁列车每10 min 一班，在车站停1 min. 则乘客到达站台立即乘上车的概率是1111a. 10b. 9c. 11d. 8答案： a解析：试验的所有结果构成的区域长度为10 min ，而构成事件 a 的区域长度为1 min，1故 p（a ）= 10 .3.在 1 万 km2 的海域中有40 km2 的大陆架贮藏着石油， 假如在海域中任意一点钻探，钻到油层面的概率是 .1111a. 251b. 249c.

9、 250d. 252答案： c解析：记事件 a 为“钻到油层面” ，则事件 a 发生的面积为40 km2 ，试验的全部结果401构成的面积为10000 km2 ，故 p= 10000250 .4.如图 33 4，在一个边长为3 cm 的正方形内部画一个边长为2 cm 的正方形，向大正方形内随机投点，则所投的点落入小正方形内的概率是_.2 cm3 cm图 3 344答案： 9小正方形的面积4解析：由几何概型的计算公式得p= 大正方形的面积9 .5.如图 33 5，在一个边长为a、b（ ab0）的矩形内画一个梯形，梯形上、下底11分别为 3 a 与 2 a，高为 b，向该矩形内随机投一点，则所投的

10、点落在梯形内部的概率为 _.13 ab12 aa图 3 355答案： 12第 3页共 5页准确找出“两长度” ，套用相应公式 .“长度”即为面积，利用面积比求得 .“随机”才具有“等可能性” ， 属于几何概型 .两“长度”即为两面积，直接套用几何概型的概率公式 .1115(aa) b= 12 ab，解析： s 矩 =ab，s 梯 = 232s梯5 ab512所投点落在梯形内部的概率p= s矩ab12 .6.两根相距 6 m 的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，则灯与两端距离都大于寻找适合题意的“挂灯点” ，准2 m 的概率是 _.确求出两“长度” .1答案： 3解析：记事件a 为“灯与两端

11、距离都大于2 m”，把绳子平均分为3 段，当灯挂在中1间一段时事件a 发生，由于中间一段的长度为绳子总长的3 ，故事件 a 发生的概率1也为 3 .7.如图 33 6，在直角坐标系内，射线ot 落在 60的终边上，任作一条射线oa ，根据射线 oa 的任意性找出试则射线落在 xot 内的概率是 _.验的全部结果构成的区域长度 .yatox图 3 361答案： 6解析：记事件a 为“射线 oa 落在 xot 内”，因为 xot=60 ，周角为360 ，故601p（a ） = 3606 .18.如图 33 7，在半径为1 的半圆内，放置一个边长为2 的正方形 abcd ，向半圆内任投一点，该点落在正方形内的概率为_.dacb图 3 371答案： 2111解析： s 正 =（ 2）2= 4 ， s 半圆 =2 12= 2 ，由几何概型的计算公式得 p=s正141s半圆 22.9.在 1 l 高产小麦种子中混入了一粒带麦锈病的种子，从中随机取出10 ml，含有麦锈病种子的概率是多少？解：取出10 ml 麦种，其中“含有病种子”这一事件记为a ，则 p（a ）=几何概型问题的概率与形状、位置无关 .分析好两个长度，利用体积比.第 4页共 5页取出种子的体积101所有种子的体积1000100 .1答：含有麦锈病种子的概率