高三数学教案平面向量与圆锥曲线的综合问题

1、平面向量与圆锥曲线的综合问题2例 1已知 f1、f2 分别是椭圆xy21 的左、右焦点 .45（）若p 是第一象限内该数轴上的一点，pf1 ? pf2，求点 p 的作标；4（）设过定点 m（ 0，2）的直线 l 与椭圆交于同的两点 a、b，且 adb 为锐角（其中 o 为作标原点），求直线 l 的斜率 k 的取值范围 .解析：本题主要考查直线、椭圆、平面向量的数量积等基础知识，以及综合运用数学知识解决问题及推理计算能力（）易知 a2 ， b1 ， c3 f1 (3,0) ， f2 (3,0) 设 p( x, y) ( x0, y0) 则pf1 pf2(3 x, y)( 3 x, y) x2y2

2、35 ，又 x2y21 ，44x2y27x21x134 ，解得3 ， p(1,联立223) xy21y4y224（）显然 x0 不满足题设条件可设l 的方程为 ykx2 ，设 a( x1 , y1 ) ， b( x2 , y2 ) 联立x2y21x24(kx2)24(14k2) x216kx1204ykx 2 x1x21122 ， x1x2116k2由(16k)24 (1 4k2 ) 1204k4k16k 23(14k2 )0，4k 230， 得 k 23 又aob 为 锐 角4cos aob0oa ob0 ， oa obx1x2y1 y20又 y1 y2( kx12)( kx22) k 2

3、x1x22k (x1x2 ) 4x1x2y1 y2(1 k 2 ) x1 x22k (x1 x2 ) 4(1 k 2 )1222k (16k2 )414k14k第- 1 -页共 7页12(1k2 ) 2k16k44(4k 2 )124 1 4k 21 4k 21 4k 20k4综可知 3k 24 ， k 的取值范围是 (2,3 )(3 , 2)422例 2 已知正三角形 oab 的三个顶点都在抛物线22x 上，其中o 为坐标原点，设圆c 是yoab 的内接圆（点 c 为圆心）（ i）求圆 c 的方程；（ ii）设圆 m 的方程为 (x47cos)2( y7cos) 21 ，过圆 m 上任意一点

4、p 分别作圆 c 的两条切线 pe，pf ，切点为 e，f ，求 ce ?cf 的最大值和最小值本小题主要考查平面向量，圆与抛物线的方程及几何性质等基本知识，考查综合运用解析几何知识解决问题的能力满分14 分（ i）解法一：设a，b 两点坐标分别为y12， y1，y22， y2，由题设知22y22y22y2y222221y21y212( y1y2 )2222解得 y12y2212 ，所以 a(6，23) ， b(6， 23) 或 a(6， 23)， b(6，23) 设圆心 c 的坐标为 (r，0) ，则 r2 64，所以圆 c 的方程为 ( x4)2y2163解法二：设a， b 两点坐标分别为

5、( x1，y1 ) ， (x2， y2 ) ，由题设知x12y12x22y22 又因为 y122x1 ， y222x2 ，可得 x122x1x222x2 即(x1x2 )( x1x2 2)0 由 x10 ， x20 ，可知 x1x2，故 a，b 两点关于 x 轴对称，所 以 圆 心 c 在 x 轴 上 设 c 点 的 坐 标 为 ( r，0) ， 则 a 点 坐 标 为3 r， 3 r， 于 是 有223 r23 r ，解得 r 4 ，所以圆 c 的方程为 ( x 4) 22y 21622（ ii）解：设ecf2a ，则 ce cf | ce | | cf | cos 216cos 232co

6、s 216 在 rt pce中， cosx4，由圆的几何性质得| pc | pc |第- 2 -页共 7页| pc | mc |17 18 ， | pc | mc |1716，所以1 cos 2 ，由此可23得8 ce cf 16 则 ce cf 的最大值为16 ，最小值为8 99例 3 已知 f (1，0)，直线 l : x1， p 为平面上的动点，过点p 作 l 的垂线，垂足为点q ，且 qp ?qf fp ? fq （ ）求动点 p 的轨迹 c 的方程；（ ）过点 f 的直线交轨迹 c 于 a， b两点，交直线 l 于点 m （ 1）已知 ma1 af ，mb2bf ，求 12 的值；（

7、2）求 ma mb的最小值y解法一：（）设点 p(x， y) ，则 q(1， y) ，由 qp qffp fq 得：qpb(x 1，0)(2， y)(x 1， y) (2， y) ，化简得 c : y24x （）（1）设直线 ab 的方程为：ofx1， 2ax my1(m0) 设 a(x1， y1) ， b( x2， y2 ) ，又 m，mmy2，224xx得：，联立方程组，消去y 4my40( 4m) 120x，my 1y1 y2，224m1 af mb2 bf 得： y11 y1 y22 y2y1 y2 由， mamm4整理得：1212221122 y1y212my212m y1y2m y

8、1 y2my122 4m0m 4解法二：（）由 qp qffp fq 得： fq ( pqpf )0 ， ( pq pf ) ( pq pf ) 022pfpqpf 0 pq所以点 p 的轨迹 c 是抛物线，由题意，轨迹c 的方程为： y24x （）（1）由已知 ma1 af ， mb2 bf ，得1 20 第- 3 -页共 7页ma1afa，b 分 作准 l 的垂 ，垂足分 a1 ， b1 ， ： 点mb2bfmaaa1af1afaf2 0 有：由得：，即1bb1bfbfmb2bf1 m22（）（2）解：由解法一，mamby1 ymy2ym2) y1 y2ym ( y122242) 44(1

9、 my2 ) ym(1 m ) 44mm2(1 m2mm4(2 m2122 m2121，即 m 1 等号成立，所2 ) 4216 当且 当 mm2mm以 ma mb 最小 16 同步 1 设 f 抛物 y24x 的焦点， a，b，c 抛物 上三点，若fa fbfc0 ， fa fb fc（ b）a9 b6c4d 32 设 f1， f2 分 是双曲 x2y21 的左、右焦点 若点 p 在双曲 上， 且 pf1 ? pf20 ，9则 pf1 pf2（ b ） a10b 2 10c 5d 2 53 已知 f1、 f2 是 的两个焦点 足 mf1 mf 2 0 的点 m 在 内部， 离心率的取 范 是

10、（c ）a (0， 1)b (0， 1c (0，2)d 2 ， 1)222x 2y21 的左、右焦点分 121 2af f f4 已知 a 2b2f 、f，且 |ff |=2 c，点 a在 上，112=0 af1 af 2c 2， 的离心率 e=（）3b31c51d2a22235 p是抛物 x 21 ( y1)上的 点，点（），点m 足 pm2ma ， 点m的 2a 0,-1第- 4 -页共 7页迹方程是（ a )a） x 2 1 ( y1) （ b） y 21 (x1) （ c） x 21 ( y1) （ d） x 21 ( y 1)63633336 .已知两点m（ 2，0）、n（ 2，0）

11、，点 p 为坐标平面内的动点， 满足 | mn | | mp |mn np 0，则动点p（ x，y）的轨迹方程为( b)a. y 28xb. y 28xc. y24xd. y 24 x7 设直线 l 过点 p（ 0，3），和椭圆 x2y21 顺次交于 a、b 两点，若 appb则 的取值94范围为 _8 已知点 ao, 2 ,b0，4 ，动点 p x, y满足 pa.pby 28 ，则动点 p 的轨迹方程是 _x22 y _9 椭圆 e 的中心在原点o，焦点在 x 轴上，其离心率e2, 过点 c（ 1,0 ）的直线 l 与3椭圆 e 相交于 a、b 两点，且满足点c 满足 ac 2cb（ 1）

12、用直线 l 的斜率 k ( k 0 ) 表示 oab的面积；（ 2）当 oab的面积最大时，求椭圆 e 的方程。解：（ 1）设椭圆 e 的方程为 x2y2c21 (a b0 )，由 e =a3a 2b2a2=3b2故椭圆方程 x2 + 3 y2= 3 b2设 a( x1, y1) 、 b( x2, y2), 由于点 c（ 1， 0）分向量 ab 的比为 2，x12 x 21x112( x21)3即y12y2y12 y 203x23y 23b 2整理并化简得(32+1)2222=0由消去yk+6+3 3byk (x1)xk xk由直线l与椭圆e相交于（ 1 ,y1） ,(2, 2 ) 两点得：a

13、 xb xy第- 5 -页共 7页0恒成立（点 c是 ab的内分点）x1x26k 23k21x1 x23k 23b23k21而 s oab1 | y1y2|1 |2 y2y2 |3 | y2 |3 | k( x21) | 3 | k | x2 1| 22222由得 : x2+1=2，代入得： soab =3 | k | (k0)3k213k 21（2）因 oab=3 | k |333,s112323k 23 | k | k |当且仅当 k3 , s oab取得最大值3此时 x1 + x2 = 1,又x12x2= 1 x1=1, x2 = 23将 x1, x2 及 k2=1 代入得 3b2 =

14、5 椭圆方程 x2 + 3 y2 = 5310 在平面直角坐标系xoy 中，经过点 (0， 2) 且斜率为 k 的直线 l 与椭圆 x2y 21 有两个不2同的交点 p 和 q （ i）求 k 的取值范围； ii）设椭圆与 x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为a，b ，是否存在常数k ，使得向量 opoq 与 ab 共线？如果存在， 求 k 值；如果不存在，请说明理由解：（）由已知条件，直线l 的方程为 ykx2 ，代入椭圆方程得x2(kx2) 212整理得1k 2x22 2kx102直线 l与椭圆有两个不同的交点p 和 q 等价于8k24 1k 24k 22 0 ，2第- 6 -页共 7页解得 k2或 k