高三数学教案函数的和、差、积、商的导数(2)

1、课题： 3 3函数的和、差、积、商的导数(2)教学目的：1.理解商的导数法则，并能进行运用.2.能够综合运用各种法则求函数的导数教学重点： 商的导数法则 .教学难点： 两个函数的商的求导法则的推导授课类型： 新授课课时安排：1 课时教具：多媒体、实物投影仪教学过程 ：一、复习引入：1.导数的定义： 设函数 yf ( x) 在 xx0 处附近有定义，如果x0 时，y 与x 的比y（也叫函数的平均变化率）有极限即y 无限趋近于某个常数，xx我们把这个极限值叫做函数y f (x) 在 xx0 处的 导数 ，记作 y/xx0，即f / ( x0 )limf (x0x)f (x0 )x 0x2. 导数的

2、几何意义： 是曲线 y f (x) 上点（ x0 , f ( x0 ) ）处的切线的斜率因此，如果 yf ( x) 在点 x0 可导，则曲线 yf (x) 在点（ x0 , f (x0 ) ）处的切线方程为 yf (x0 ) f / ( x0 )( x x0 )3. 导函数 ( 导数 ): 如果函数 y f (x) 在开区间 (a, b) 内的每点处都有导数，此时对于每一个 x(a,b) ，都对应着一个确定的导数f / (x) ，从而构成了一个新的函数 f / (x) ,称这个函数 f / (x) 为函数 yf ( x) 在开区间内的 导函数 ，简称导数 ，4.可导 : 如果函数yf (x)

3、在开区间 ( a,b) 内每一点都有导数，则称函数yf (x) 在开区间 ( a, b) 内可导第 1页共 7页5. 可导与连续的关系： 如果函数 y=f(x)在点 x0 处可导， 那么函数 y=f(x)在点x0 处连续， 反之不成立 . 函数具有连续性是函数具有可导性的必要条件，而不是充分条件 .6. 求函数 y f (x) 的导数的一般方法 ：（ 1）求函数的改变量yf ( xx)f ( x)（ 2）求平均变化率yf ( xx)f ( x)xxy（ 3）取极限，得导数y / f (x)limx 0x7. 常见函数的导数公式：c 0 ； ( x n )nx n1 ； (sin x)cos x

4、 ； (cos x)sin x8.法则 1u( )v(x)u (x)v( ) xx法则 2u(x)v( x)u ( x)v(x)u( x)v (x) , cu (x) cu ( x)二、讲解新课：法则 3 两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方，即uu v uv (v0)vv2证明：令 yf ( x)u( x)，v(x)y u( xx) u( x)u( xx)v( x)u(x)v( xx)v( xx)v( x)v( xx)v( x) u( xx)u(x) v( x)u(x) v( xx) v( x)v( xx)v( x)，u( xx) u( x

5、)v(xx) v(x)yv( x)u( x)xxxv( xx)v(x)第 2页共 7页因为 v(x)在点 x 处可导， 所以 v(x)在点 x 处连续于是当 x0 时，v(x+x )v(x)y( limu )vu( limv )u v uvlimx 0xx0xx lim v(xx)v(x)v2x0x0uuv即yu v(v0)v2v说明：uu ，u u vuv；vvvv2若两个函数可导，则它们的和、差、积、商（商的情况下分母不为0）必可导若两个函数均不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导例如，设 f(x)=sin x+1 、g(x)=cosx 1 ，则 f(x)、g(x)在 x=0 处均不可

6、导，但xx它们的和f(x)+g(x)=sin x+cosx 在 x=0 处可导三、讲解范例：x 2例 1 求 y=sin x的导数 .分析 : 这题可以直接利用商的导数法则.解： y =(x 2(x 2 ) sin xx2 (sin x) 2x sin xx 2 cosxsin x) =(sin x) 2sin 2x例 2 求 y=x3 在点 x=3 处的导数 .x23分析 : 这题既要用到商的导数法则，还要用到和的导数法则.解： y =(x 3( x 3) ( x23)(x 3)( x 23)x2)(x23) 23x232x( x3)x26x3(x 23) 2( x23) 2 y |x=3=

7、32633241(323) 21446第 3页共 7页1例 3 求 y= cosx 的导数 .x分析 : 这道题可以看作两个函数的乘积， 也可以看作两个函数的商， 所以不同的看法有不同的做法 .这道题可以用两种方法来求 .解法一： y =(111(cosx)x cosx) =() cosx+xx11131(x 2 ) cos x2 cos xsin xxsin xx2xcosx1sin xcosx2x sin x2 x3x2xx解法二： y =(1 cosx) =( cosx )xxcos x 11(cos x)xcos x( x)sin xxx 22(x) 2xx sin x21 cosx2

8、x sin xcos xxx2xxcos x2x sin x2xx例 4 求 y=cotx 的导数 .cosx(cos x) sin x cosx(sin x)解： y =(cot x) =()(sin x) 2sin xsin x sin xcosx cos x1csc2 xsin 2 xsin 2x1x例 5 求 y=的导数 .3x第 4页共 7页解： y =(1x(1x) (3x2 )(1x)(3x2 )3) =(3x2 ) 2x3x2(1x)( 2x)x22x3(3 x 2 )2(3 x2 )2例 6求 y=1x2的导数 .sin x解： y =(1x2)(1x2 ) sin x(1x

9、2 )(sin x)sin x(sin x)22x sin x(1x2 ) cos xsin 2x例 7求 y=4x3x2的导数 .cosx解： y =(4x3(4x3 ) x 2 cos x(4x3 )( x2 cos x)x2) ( x 2 cosx) 2cos x3x2x2 cos x(4x3 )(2x cosxx2 sin x)x 4 cos2 xx 4 cosx 8x cos x4x 2 sin xx5 sin xx4 cos2 x(4x4 ) sin x( x38) cos xx3 cos2 x四、课堂练习 ：1填空：(1) (x2x)()( x 21)x() ； (2) ( 1x

10、2)() sin x (1x2 )( )1(x21) 22sin x4 sin 2x解： (1) (x)x (x 21)x(x21)(1)( x21)x(2x)2( x21)2(x21)2x1第 5页共 7页(2) ( 1x2)(1x2 ) 2sin x (1x2 )( 2sin x)2sin x(2 sin x)22x2 sin x(1x2 )( 2cos x)(4x) sin x(1x2 )( 2 cosx)4sin2x4sin 2x2.求下列函数的导数：ax(2) y=x2(3) y=tanx1(1) y=x3x2(4) y=a1 cos x解： (1)y =(ax(ax) (ax)(a

11、x)( ax)a)(ax)2x(ax)(ax)2a(ax) 2(a x)2(2) y =(x2)(x2) (3x2 )(x 2)(3x2 )3x2(3x2 ) 23x2( x2)(6x)3x 212xx 49x 49x43x3(3) y =(tanx) =(sin x)(sin x) cosxsin x(cos x)cosx(cos x)2cos2xsin 2 x1sec2xcos2xcos2 x(4) y =(1)1 (1cos x)1 (1cos x)1(1cosx)2cos x0(1cosx)sin xsin x(1cos x) 2(1cosx)23.判断下列求导是否正确，如果不正确，加以改正.(1cos x )2x(1cos x)x2 sin xx 2x2解：不正确，分母未平方，分子上正负号弄错.第 6页共 7页(1 cosx )(1cos x) x2(1cos x)( x2 )x 2( x2 ) 2sin x x2(1cos x)(2x)xsin x 2(1 cosx)x4x3x sin x2