第三讲 测量平差系统的可靠性理论贵阳.ppt

1、第三章 测量平差系统的可靠性理论,3.1 测量平差系统可靠性研究概述,一、可靠性研究的必要性 1. 测量平差模型误差包含系统误差、粗差和偶然误 差。 2. 人们关心可测定和不可测定的系统误差对平差结果的影响。 3. 传统的粗差发现方法（重点观测、几何图形限制约束、人工发现）工作量大，难免有遗漏。 因此： 发现和区分模型误差，且消除（剔除），使之不损 害平差的结果，达到预期的理论精度，是人们所期 待的。,可靠性研究的任务： 1. 从理论上研究平差系统发现、区分不同模型误差的能力， 及不可发现、不可区分的模型误差对平差结果的影响。 2. 从实际上寻求平差过程自动发现和区分模型误差以及确定 模型误差

2、位置的方法。 例：,例：Grn教授在近景摄影测量中所进行的精度与可靠性试验,共设0-8个摄站 立方体上共有 27个规则点 其中8个控制点,整体可靠性评价 r：多余观测数 n：观测数整体精度评价 k：未知点个数，3k：未知数个数,图3-1-3说明：E、C摄站组合求解 具有良好的精度和可靠性； D摄站组合具有良好的可靠性，但 整体精度较之差； 从经济性、可靠性和精度总体看 C组合最佳。,二、可靠性研究的发展概况 可靠性研究的基础：数理统计假设检验 1. 经典的假设检验为苇曼和皮尔逊1933年提出。 2. 荷兰Baarda教授从测量平差的范畴于19671968年提出， 其可靠性理论从单个一维备选假设

3、出发，研究平差系统发 现单个模型误差的能力和不可发现的模型误差对平差结果 的影响。 概念： 内部可靠性：平差系统发现模型误差的能力。 外部可靠性：不可发现的模型误差对平差结果的影响。 Baarda检验原理：从已知的单位权方差出发，导出了粗差 的数据检测法（Data Snooping）。,3. 1983年，Frstner第一次提出模型误差的可区分性，从 两个一维备选假设出发，由检验量之间的相关系数来区分模 型误差。 在单个粗差检测方面： Frstner, Koch 等导出了未知方差因子的t检验量。 Pope, Koch导出了检验量。 在多个粗差检验方面： Frstner, Koch导出了F检验量

4、。 4. 19841986年间，李德仁院士的博士论文。 从高斯马尔科夫模型含两个多维备选假设出发，研究总体 相关和最大相关，并导出内部和外部可靠性理论，可发现与 可区分的模型误差的下界，及不可区分不可发现的模型误差 对平差的影响。,三、粗差定位的方法 1. Baarda的数据检测法 把粗差归入函数模型，利用数据检测法来发现和消除粗 差。 2. 把粗差归入平差随机模型，利用选择权函数法，在逐次 迭代平差中赋予含粗差观测值很小的权，来实现粗差的 自动剔除。 3. 应用情况 Baarda提出了单个模型误差的可靠性理论得到了广泛的 应用，由于多个模型误差的可靠性理论研究的复杂性， 尚未得到广泛的应用。

5、 多个模型误差是适合于现实情况的,3.2 观测误差对平差改正数的影响 一、概述 担心：未被发现的粗差进行了平差， 而这时平差结果却满足精度要求。 例1：在6点相对定向时，假设4点 的上下视差有100m的粗差(3-2-1a) ，而平差后结果如图(3-2-1b). 平差后最大残差不在4点； 设观测值中误差为10m；用简单的 方法按v的绝对大于3倍中误差难以发现 该粗差。,例2 在摄影测量四角布设平面控制点的平面区域网平差中，图3-2-2 摄影比例尺：1：18000 成图比例尺： 1：10000 像幅：1818 摄影机主距：115.28mm 区域大小：41516假设：给定任一点10m的粗差结果：平差

6、后在四点上差生的残差仅为0.1m结论： 1）观测值粗差在平差改正数中的反应总是小于（最多等于）原始的粗差； 2）第i个粗差对所有改正数产生影响，最大的影响不一定在本改正数上。所以，不能仅依据 和 来判断粗差,二、观测值误差与改正数之间的关系,设有观测值、单位权方差、权系数矩阵为 误差方程式： （3-2-1a） 法方程式为 （3-2-2） 改正数为 （3-2-3a） 记： 单位权方差估值为： （3-2-3）,由（3-2-3a）知： 1） 改正数与观测值向量 L 有关。 2） 改正数与设计矩阵A，观测 权阵P有关，与设计图形 和观测精度有关。 1. 某一观测值改正数 与 的关系等 由（3-2-3a

7、）有： （3-2-7a） （3-2-7b） 用图示：,结论： 1）每个观测值改正数 受所有观测值误差的作用。 2）每个观测值误差 影响的大小取决于相应的系数： 2. 某一观测值误差对所有改正数的影响 由（3-2-4）有 （3-2-7c） 图示: 结论：任一观测值误差对所有改正数有影响，作用大小取决于 中第 j 行第 i 列元素。,结论:观测值误差对自身改正数的影响大小取决于,3. 某一观测值误差对自身改正数的影响 （3-2-7d） 图示:,三、 矩阵的特性 1、 为幂等矩阵 即： 将 代入 化简即可得到右边。 幂等阵的特性： （1）特征值为0或1 。 （2）幂等阵的秩等于其迹。 （3）若A为幂

8、等阵，则E-A亦为幂等阵。 （4）幂等对称阵至少是半正定的（特征值为非负的）。 （5）当幂等对称阵对角元素为0或1时，则该列的其他元素必为零。 2. 平差的多余观测数r等于 矩阵之迹（主对角元素之和）,3、 为降秩方阵 因为幂等阵的秩等于其迹，故 所以 的凯利逆是不存在的。 4、 的第i个对角线元素称之为第i个观测值的多余观测分量 且 意义：代表该观测值在总的多余观测数中所占的分量，对独立观测值平差，即 为对角矩阵，有： 当 ，则意为该观测值为必要观测；,当 ，则意为该观测值完全多余，即未参加平差，此时有： （3-2-9） 由此式说明，多余观测分量代表观测差 反映在改正数 中的百分比。 讨论：

9、 （1）、一般情况下，观测值误差只能部分反映在它的改正数中。 （2）、当没有多余观测（r=0）时，所有多余观测分量 均为零，意味着 所有的观测值误差将全部作用到解算的未知数中，而所有的观测值改正数 皆为零。,5、 由 矩阵计算改正数的中误差,改正数的权系数阵（协因数阵） 由方差协方差传播定律有 所以：,特例：当 为独立观测值时 其中 四、数据探测的简单推导（Baarda数据探测法） 假设： （1）、最多只存在一个粗差。 （2）、观测值的单位权方差已知且为 。 （3）、权矩阵为对角矩阵。 构建变量： （3-2-11） 为 第i个对角元素 显然 为标准化残差。 因为 即： 服从标准正态分布，当观测

10、值 不存在粗差时,结论：可对标准化残差 的统计检验来判断 是否存在粗差。 方法： 1. 给定一个显著水平 （通常令 ）。 2. 由正态分布表得到检验的临界值 （ ）。 3. 若 ，则接受零假设（认为该观测值为正常观测值）； 若 ，则认为该观测值可能含有粗差。,五、粗差的估计,1. 粗差的估计 设 为第i个观测值的粗差估值 由（3-2-9）式 则其粗差估值为： （3-2-13 ）2. 粗差估值的精度。 由式（3-2-13）依误差传播定律有： （3-2-14）,例：设： 则：求得 研究说明： 1. 若某观测值估求的粗差接近某个整数，其含粗差的可能性较大，该法对大、中等粗差较为有效。 2. 粗差估值

11、的精度要低于观测值本身的精度，且取决于多余观测分量。,六、多余观测分量的计算方法,多余观测分量仅依赖于观测的几何图形（一级设计矩阵）和观测值的观测精度（权矩阵），可在观测实施前算出。 1、直接算法 组成法方程系数矩阵 求逆阵 计算 缺点：当法方程未知数量大时，需求高阶矩阵的逆，较为困难。,2、模拟算法（Frstner） 由（3-2-9）式： 可得： （3-2-15） Frstner提出： 每次在第一特定观测值上引入一个已知的误差值 。 经平差计算，则其观测值改正数 将得到一个相应的误差值 。 则多余观测分量 为： （3-2-15） 3、递归算法（由武测单杰博士与1988年提出）略。,七、多余观

12、测分量的值域,1、不考虑观测值的相关性，对权阵对角元素的影响。 不失为一般性，假设：把观测值分为两组；第一组中仅含第i个观测值；其余观测值为第二组 与之对应的方差协方差阵分解为： （3-2-23） 由分块矩阵求逆公式,引入第i个观测值与其余观测值的复相关系数： 定义为： （3-2-26） 由于观测值的权不可能为“-” 所以 0 1 将 代入（3-2-25）中，由（3-2-24）中得： （3-2-27） （3-2-28） （3-2-29）,结论：考虑相关性时，权矩阵的对角线元素要大 倍。 2、多余观测分量的值域 按1中的分组方法，可靠性矩阵 分块为： （3-2-30a） 由此得观测值 的多余观测

13、分量为： 因,代入有： （3-2-30b） 讨论： 1、当 ，即 ，即 与其它观测值不相关 A 因为 为非负定实对称矩阵，所以 B 因而有 （由A、B而得） *当 时，称 为完全必要观测，其观测误差平差后未反映到改正数中； *当 时，称 为完全多余观测。反之亦然,讨论： 2、当 ，即 ， 与其他观测值相关， 的影响因素有： 复相关系数 残差之间的相关性 A、 *当 为完全必要观测值，由（3-2-30b）知 ； *同理可导出 时， ，即 为完全多余观测。 但反之不成立。,例：如图水准网 观测值: 假设其方差-协方差矩阵 按模拟算法计算三个网观测值多余观测分量如下：,1）网A中观测值的多余分量r3

14、1； 2）网B中，l1为完全必要观测，r1=0 3)网C中，r3=0,但l3却不是完全必要观测，r2=1，但l2却不是完全多余观测。 这说明：当观测值相关时， 1） 完全必要观测值li的多余观测数ri一定为0； 2）同样，完全多余观测值li的多余观测数ri一定不小于1； 但上两点反过来不成立！,3-3 测量平差结果可靠性的数理统计基础,一、概述 1、多余观测分量取决于测量图形条件和观测值的精度； 2、多余观测的分配取决于多余观测分量； 3、多余观测分量可在测量之前估算； 因此：从多余观测分量，能得知粗差在多大程度上被平差所吞没，在多大程度上反映到残差中来。 更为关心的问题： 1)、如何根据残差

15、v来统计地判断平差系统中是否存在粗差； 2)、在一定的可靠性下，多大的粗差在平差中被发现。,二、评价观测值的基本假设，目的为了简化 1、对量测本身的假设 如总希望记录量测的环境情况，在数据处理时加以考虑（如气压、温度、干湿度等），但影响程度总是只能近似地描述（如折光差等）。 2、对描述客观实际的数学模型的假设 如摄影测量中的共线方程（实际非直线）。 3、关于量测误差或模型误差的假设 在研究粗差问题时，为了问题的简便， 必需作必要的假设 观测值 为正态分布的随机变量的假设,其密度分布函数为： 即 为服从正态分布的观测值： 若有多个正态分布变量，写成矩阵（向量形式） ：单位权方差 ：为观测值的协因

16、素矩阵（权倒数矩阵） 定义相关系数： 方差-协方差矩阵一般为：,总可以确定 ，将上式写成： 显然： 称 为观测值 与 的相关系数 观测值的期望和方差的假设 假设a：为了平差计算，先需给出方差-协方差矩阵 假设：为了简便，通常假设 为对角阵（不考虑相关性），有人做过试验研究（像点坐标观测之间的相关度有时可达80%）,假设b：观测值希望的假设： 这时平差函数模型误差为： 经过平差，只能得到观测值L，未知数X，单位权方差的估值，即： 未知数估值： （3-3-8） 观测值期望值的估值： （3-3-9） 模型误差估值 ： （3-3-10）,改正数： （3-3-10a） 未知单位权方差的估值： （3-3-

17、11） （3）获得的估值与假设是否有矛盾 在上述所有估值中，仅有一个预期条件，即 而其他估值的预期条件均无法得知（在非重复测量或变形测量的情况下）； 构建标准化正态残差 （3-3-14） 在不存在着粗差为服从（0，1）的标准正态分布 这是判断观测值有无粗差的依据。,三、统计假设检验,1、零假设和备选假设 零假设：在统计学中，称所给的原始模型(所使用的模型，且认为不含粗差）为零假 ； 备选假设：把包含所猜测模型误差的扩展模型称为备选假设 ，下标 p表示可涉及多个备选假设 （p=1，2，3，） 统计检验：就是要在 和 之间作出选择。 当不考虑粗差的零假设（原假设） ： 或 （3-3-16） 对每个

18、观测值可提出一个备选假设 ，假设li含有粗差： 则粗差的期望值为： 即： (3-3-17),图3-3-2说明平差中仅一个观测值可能有粗差的 与 观测值的密度函数。 粗差 导致概率密度分布产生数值 平移，分布类型不变。,2、接受域和拒绝域 设标准化残差 在某一水准 下（ 可信度下）的临界值为K，接受域与拒绝域的几何解释如下图： 在区间(-,-K)和区间(K,+)为拒绝 在区间-K ,K为接受 即 为 拒绝域 为 接受域。,例1： 设 设 则标准化残差为: 或 因此, 不含粗差,例2:设 则或则 舍弃,放弃H0假设*此两例说明了多余观测分量对检验量 的影响,3.单个备选假设下的抉择可能性,1）标准

19、化残差位于接受域还是位于拒绝域 构造检验量： 当 含有粗差 时，对改正数的影响为： 对检验量产生的误差为： 结果：使wi的分布函数产生相应的平移，称为非中心化参数 讨论：* 几何条件愈弱（ri 愈小），观测值误差对检验量wi影响越小； * 观测值的中误差 愈大，观测值误差对检验量wi的影响越小,不同假设下的分布函数（如图3-3-4）：,H0（零假设）：观测值无粗差，检验量wi的期望为： （第一备选假设）：观测值li含有粗差 ，它导致 则wi的密度函数产生大小为 的位移，期望为： （第二备选假设）：观测值含有一个更大的粗差 它导致 ， Wi期望为：,原假设接受域：,如果 ，接受原假设，即观测值l

20、i不含粗差； 原假设拒绝域： 如果 ，则放弃原假设，并推测可能存在粗差。 信度（显著性水平）： 置信水平： 放弃H 0 接受备选假设 的概率 是粗差 被正确发现的概率， 称为 的检验功效。,假设检验的抉择可能性,统计检验有四种不同抉择的可能性： 原因：由于改正数和标准化残差同时受粗差和偶然误差的影响。 第错误：尽管原假设成立，但由于 而错误地将H0拒绝 ， 其弃真概率为0 第类错误：尽管 成立，即存在粗差，但 而错误地放弃 ， 其存伪概率为：1-p,K、之间的关系,1）第一类错误的概率检验临界值：K值愈大值愈小； 2）检验功效和非中心化参数关系：K一定时，愈大，检验功效愈大，同时，第类误差的概

21、率愈小； 3）检验功效与的关系：当一定时， 愈大，检验功效愈大。,和的关系（K=3),和的关系（=4）,四、内部可靠性的概念,1) 发现一个粗差 的功效（发现一个粗差的把握）p有多大？ 又由 按下式可求i ： 则当给定0，根据0和i查标准正态分布表求p 问题是： 大小未知,2）一个观测值至少必须出现多大的粗差 ，才能以所规定的检验功效0 在显著性水平0的检验中被发现,即，在给定的0和 0的条件下，能发现的最小粗差 方法： 步骤1）根据给定的0和 0，由标准正态分布表查0； 2）由（3-3-18）式 求与之对应的可发现的最小粗差： （3-3-21） 可见： 下界值 与观测值的中误差 、平差系统的

22、几何条件ri、检验参数有关,讨论：,a） 下界值 0一般不等于检验的临界值K(如右表)； b) 观测值的多余观测分量ri愈小，所能发现的粗差下界值愈大。因此，对独立观测值，ri也可用来判断内部可靠性的尺度；,观测值的可控性数值 （即极限误差）书P120例，根据其下界难以直接比较可靠性好与坏，为此定义： (无单位)（3-3-22） 由此可见：可控性数值给定是，粗差的下界值至少是观测值中误差的 倍由此求的例中各观测值可控性数值分别是： 8，4.8，9.8，13.8 , 由此可直接比较它们的可靠性,3-4单个备选假设下的可靠性理论,前两节讨论的是单个粗差检验理论， 本节讨论单个多维备选假设下的一般统

23、计检验量和可靠性理论 一、单个备选假设下的假设检验 设给定线性模型： 零假设为： “”表示真值。 相对立的备选假设为：,H为已知的np维矩阵，,为讨论需要记： S为表征方向的单位向量； 为表示大小的变量部分 1）在 H0 假设下，有： 参数估值： 改正数平方和： 改正数： 改正数的协因数阵： 如果 存在， 为有偏估计，其偏差为：,2）在 假设下，有：,当 时有惟一解。 法方程： 消去未知数 有： 的权系数阵： 未知数的估值：,相应改正数平方和：,3）对未知参数 进行检验（等价于对式3-4-2、3-4-3的检验） H0假设： Ha假设： 将（3-4-17a)写成误差方程式： 改正数平方和为： 由

24、于V和 不相关（上面两步平差是独立进行的），故总改正数平方和为：,当0已知时，构建统计量：,式（3-4-21a)为二次型，由二次型分布定理有： 即T1服从自由度为p的非中心化 分布。非中心化参数为：,当0未知时，构建统计量：,T2为第一自由度为p,第二自由度为n-u-p的非中心化F分布。 检验方法： 给定显著水平0，根据自由度值查F（0 ， p，n-u-p)； 如果T2 F（0 ， p，n-u-p)，则拒绝原假设H0。,二、单个备选假设下的内部可靠性理论,内部可靠性：指能以一定的检验功效0（s）通过显著性水平为0的统计检验发现的最小值向量 。 0（s）是方向s的函数，通常根据实际需要对不同的方

25、向给出不同的检验功效。 同样，非中心化参数仍然是、0（s）的函数，即： 代入（3-4-22），可求得能发现粗差的下界值为：,再代入（3-4-4）式，即可得参数向量的下界：,讨论： 若0（s）=0与方向无关，则：对于二维向量为下界值椭圆；对三维向量为下界值椭球，参数落入此域内，用0功效无法被发现。 若同时检测多个粗差，且假定0（s）=0，则它们的下界域式3-4-33为： 若只含一个粗差，则其可发现的下界值为： 对于对角阵权阵，则有：,（3-4-33）式的其他应用意义：,如果 用来描述某种系统误差，（3-4-33）用于研究系统误差的可测定性； 如果 用来描述某种变形，则该式可用于研究在什么方向变形最不易测定，在什么方向下变形最好测定。 （3-4-33）式应用步骤： a ) 给出所要研究的模型误差 b) 计算矩阵 c)求 的特征根和规范化的特征向量 d) 在给定的统计参数下，定量地由（3-4-33）式分析不同方向的内部可靠性（即可测定性）,三、单个备选假设下的外部可靠性