200道物理学难题——1三只蜗牛

1、200 道物理学难题解法一（面积）如下图所示， A0 , B0 , C0 代表三只蜗牛的初始位置。图 1经过很短的时间，三只蜗牛分别运动到了 A1 , B1 , C1 。因为时间很短所以 A1 在蜗牛 A 的运动方向上，即 A1 在直线 A0 B0 上。同理B1 、C1 也分别在B0 C0 、C0 A0 上。1200 道物理学难题三只蜗牛的运动速度相等，所以 A0 A1 = B0 B1 = C0 C1 ，这样三角形 A1 B1C1 也是一个等边三角形。再经过一个很短的时间，三只蜗牛运动到了 A2 , B2 , C2再经过一个很短的时间，三只蜗牛运动到了 A3 , B3 , C3也就是说：三只蜗

2、牛在运动过程中，始终保持等边三角形的形状。同时，这个等边三角形一边在旋转一边在缩小，当缩小至一个点（重心O ）时三只蜗牛相遇。现在看看三角形边长、旋转角是如何随时间变化的。考察三角形的面积，可知：S ( A0 B0 C0 ) = S ( A1 B1C1 ) + 3S ( A1 B0 B1 ) S ( A1 B1C1 ) - S ( A0 B0 C0 ) = -3S ( A1 B0 B1 )边长为a 的等边三角形，其面积为S = 12 a2 sin 60上式两边微分，可得dS = a sin 60daA0 B0 C0 与 A1 B1C1 的边长分别为a 、a + da ，所以根据上式可知S (

3、A1 B1C1 ) - S ( A0 B0 C0 ) = a sin 60daA1 B0 B1 的面积计算公式有两个：S ( A1 B0 B1 ) = 12 A1 B0 A1 B1 sin ( A1 ) = 12 ( a - vdt )( a + da ) sin ( dq )= 12 a 2 dqS ( A1 B0 B1 ) = 12 B0 A1 B0 B1 sin ( B0 ) = 12 ( a - vdt ) ( vdt )sin 60= 12 av sin 60dt公式(4)(5)代入公式(1)，可得(1)(2)(3)(4)(5)(6)2200 道物理学难题 12a sin 60 da

4、 = - 3adq da= - 3adq(7)2公式(4)(6)代入公式(1)，可得 13vdta sin 60 da = -3av sin 60 dt da = -(8)22上面两个公式是在 A0 B0 C0 附近推导得出的，但是同样适用于 An Bn Cn 。换句话说就是：在三只蜗牛的运动过程中，上面两个公式是一直都成立的。根据公式(8)可知三角形边长随时间变化的函数为：a = a0-3vt(9)2上式中的a0 表示等边三角形的初始边长，即A0 B0 C0 的边长。令a = 0 可得2a02 60cm0 = a0-3vt t = 8min(10)23v3 5cm / min上式表明：运动

5、8 分钟后，三角形的边长将变为零，此时三只蜗牛相遇于O点。三只蜗牛各自爬行的路程为vt = 5cm / min 8 min = 40 cm 。An Bn Cn 中重心O 至各个顶点的距离为r ，则a3rr = a =(11)3da =3dr上式代入公式(7)，可得3dr = - 3 3rd q dr= - 3dqrdrr ar0= 0q - 3dq ln= - 3q(12)3a03r r = a03 e- 3q对于蜗牛 A ，以重心O 为极点，OA0 为极轴建立极坐标系。上式就是蜗牛 A 在这个极坐标系下的轨迹方程。可见：蜗牛的运动轨迹是对数螺旋曲线。根据上式可知蜗牛的旋转圈数n 为：3200

6、 道物理学难题n =q=1lna02p2p 3r 3当r 0 时，n + 。所以三只蜗牛转了无穷圈。解法二（正弦定理）参考图 1，对A1 B0 B1 套用正弦定理，有A1 B1=B0 B1=A1 B0sin ( B0 )sin ( A1)sin ( B1 ) a + da=vdt=a - vdtsin 60sin ( dq )sin 180 - ( 60 + dq )a + da=vdt=a - vdtsin 60dqsin 60 + cos 60dq对上式做进一步化简：a + da=vdtdq=vsin 60sin 60dqdtaa + da=a - vdtsin 60sin 60 + co

7、s 60dq ( a + da ) (sin 60 + cos 60 dq ) = sin 60 ( a - vdt ) a cos 60 ddtq + sin 60 dadt + v sin 60 = 0公式(15)代入上式，可得a cos 60 av sin 60 + sin 60 dadt + v sin 60 = 0 dadt = - 32 v上式除以公式(15)，可得ddaq = -3a公式(17)(18)分别等价于公式(8)(7)。接下来的解法请参考解法一。解法三（余弦定理）(13)(14)(15)(16)(17)(18)4200 道物理学难题参考图 1，对A1 B0 B1 套用余

8、弦定理，有B1 A12 =A1 B02 +B0 B12 - 2A1 B0B0 B1cos ( B0 ) ( a + da ) 2 = ( a - vdt ) 2 + ( vdt ) 2 - 2 ( a - vdt ) ( vdt )cos 60上式略去二阶微元，可得da = - 32 vdtA1 B0 B1 中， A1 B0 边的高为h = A1 B1 sin (A1 ) = B0 B1 sin (B0 ) ( a + da ) sin ( dq ) = sin 60vdt dq = av sin 60dt上式的实质其实还是正弦定理。上面两个公式相除，可得ddaq = -3a公式(20)(22

9、)分别等价于公式(8)(7)。接下来的解法请参考解法一。解法四（速度分解）参考下图，对蜗牛 A, B 的速度进行分解：(19)(20)(21)(22)图 2径向速度使两只蜗牛之间的距离增大或减小，其数值为：5200 道物理学难题v径 =da= - (1+ cos 60 ) v = -3v(23)2dt上式中的负号表示两只蜗牛之间的距离随时间的增加而变小。横向速度使等边三角形旋转，其数值为：v横 = adq= v sin 60 dq=vsin 60(24)dtdta上面两个公式相除，可得：da= - 3a(25)dq公式(23)(25)分别等价于公式(8)(7)。接下来的解法请参考解法一。解法五

10、（极坐标）如下图所示，考察蜗牛 A 的运动轨迹。以重心O 为极点，OA0 为极轴建立极坐标系。图 3参考图 1，这个运动轨迹有一个特点，那就是运动方向与极径的夹角始终为 30 。把运动速度v 分解为径向速度vr （极径增大为正）与横向速度vq 。6200 道物理学难题3 - vr = v cos 30vr = -v2vq = v sin 30 vvq=2v =dr= -3v rdr =t-3vdt r =a0-3vta0 30rdt2232上式中的a0 表示等边三角形的初始边长，即A0 B0 C0 的边长。令上式的r = 0 ，可求得t =2a0=2 60cm= 8min3v3 5cm / m

11、in(26)(27)也就是说：三只蜗牛运动 8 分钟后，将相遇于O 点。三只蜗牛各自爬行的路程为vt = 5cm / min 8 min = 40 cm 。径向速度vr 与横向速度vq 满足下式v=drvrdrdt r=(28)dqvqrdqv= r qdt将公式(26)代入上式，可得dr= - 3 dr= - 3dq(29)rdqr上式两边求定积分，可得ar03dr=0q - 3dq lnr= - 3q r =a0e- 3q(30)a03r3上式表明：蜗牛的运动轨迹是一个对数螺旋曲线。根据上式可知蜗牛的旋转圈数n 为：n =q=1lna0(31)2p2p3r 3当r 0 时，n + 。所以三

12、只蜗牛转了无穷圈。解法六（平面直角坐标）7200 道物理学难题参考图 1，以 A0 点为原心，建立xy 坐标系，如下图所示：图 4参考等边三角形 A1 B1C1 。以 A1 为参照物，B1 有两个速度，把这两个速度分解为两个：一个是平行于 A1 B1 的纵向速度(1 + cos 60 ) v = 32 v ，这个速度使等边三角形 An Bn Cn 的边长变小。等边三角形 An Bn Cn 的边长随时间变化的函数为a (t ) = a0-3vt(32)2一个是垂直于 A1 B1 的横向速度v sin 60 = 23 v ，这个速度使得运动轨迹的切线方位角b 增大，即：a (t )d b=3v(3

13、3)dt28200 道物理学难题公式(32)代入上式，可得：3 d b3d b3v a0-vt =v =22dt2a0- 3vt dt假定经过时间t 行驶了距离s ，则： ds = v dt s = vt根据公式(34)(35)可得曲率与s 之间的关系：d b=d bds=3vv =3dsdtdt2a- 3vt2a- 3s00根据上式可知s312a0b = 0ds =ln2a- 3s32a -3s00根据上式可知：s = 2 (1- e- 3b )a30xy 坐标系内，蜗牛 A 的运动轨迹满足下式dx = cos b ds根据公式(36)可知ds = 2a0 - 3s d b3公式(38)代入

14、(40)，再代入公式(39)，可得dx = cos b2a e -3b d b302- 3b +ib dx + idy =a0 ed b23dy= sin ba e -3b d b30上式两边求定积分，可得b 2- 3b +ib2e- 3b +ib -1x + yi = 0a0 edb =a033- 3 + i=a0+a0i -1a e - 3b cosb +p + i sinb +p 2 2 33066 (34)(35)(36)(37)(38)(39)(40)(41)(42)9200 道物理学难题可知：aae-p x=0-03b cos b +236(43)aap y- 3b=0-0esin

15、 b +2 336 这是一个什么曲线呢？对公式(42)进行变形，可得：x + yi =a0+a0i +1a e -3b cos b +p- p+ i sin b +p- p 22 33066(44)13b ( cos b + i sin b ) cos -5p -5pa0a0=a e -+ i sin+i302 36 6 21a0 e - 3b(cos b + i sin b ) 表示以xy 坐标系的原点为极点，x 轴为极轴，建3立极坐标系。极坐标系里有一条曲线，极径r 随极角b 变化的函数为 r = 13 a0 e- 3b ，这是一条对数螺旋曲线。5p 5p 5p cos -+ i sin -表示旋转曲线。旋转角为-，即顺时针旋转曲666线150 。 a2 + 2 a3 i 表示旋转后的曲线再平移。其实就是把极点移动至重心O 。旋转、平移后的螺旋曲线，极点位于重心O ，极轴与O