二次函数与面积问题答案

1、一、应用题1. 解: （1）方法一：设二次函数的解析式为则 3分方法二：图像过点O(0,0), A（4，0），设,又B()在曲线上,OAMPQCDB/BD1C1图123分（2）M是OA的中点,OA=4,MA=2, 若四边形PQAM是菱形,则PQ=2,又根据抛物线关于对称轴对称,即P、Q关于直线对称,P的横坐标为1, Q的横坐标为3.5分P的坐标为(1, Q的横坐标为(3,.而计算PM=,故所求的P(1,满足四边形PQAM是菱形 6分（3）设存在这样的C点.设C、D的坐标分别为二次函数在轴下方的部分向上翻折,得曲线OBA,曲线OBA的解析式为7分若CDA的面积是MDA面积的2倍,CMA的面积是M

2、DA面积的3倍,， ,即,8分过D,C分别作DD1,CC1垂直于轴,MD1DMC1C,即9分将代入得:,代入二次函数的解析式得故C的坐标为,或.10分2. 解：(1)设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c(a0)，过点A(1，0)、B(5，0)、C(0，)，解得a=，b=4，c=，y=x24x+；(2)S=2SEOB=2OB=5(x2+4x)=x2+20x，S=(x3) 2+，当x=3，面积S的最大值为；(3)要使平行四边形OEBF为正方形，则OB与EF相等且互相垂直平分，当x=2.5，y=10+=2.5，E(2.5，2.5)、F(2.5，2.5)3. 解：（1）该抛物线经过点A（5，0），O

3、（0，0），该抛物线的解析式可设为y=a（x0）（x5）=ax（x5）点B（4，4）在该抛物线上，a4（45）=4a=1该抛物线的解析式为y=x（x5）=x2+5x（2）以O、A、B、M为顶点的四边形中，OAB的面积固定，因此只要另外一个三角形面积最大，则四边形面积即最大当0x4时，点M在抛物线OB段上时，如答图1所示B（4，4），易知直线OB的解析式为：y=x设M（x，x2+5x），过点M作MEy轴，交OB于点E，则E（x，x），ME=（x2+5x）x=x2+4xSOBM=SMEO+SMEB=ME（xE0）+ME（xBxE）=MExB=ME4=2ME，SOBM=2x2+8x=2（x2）2+8

4、当x=2时，SOBM最大值为8，即四边形的面积最大当4x5时，点M在抛物线AB段上时，图略可求得直线AB解析式为：y=4x+20设M（x，x2+5x），过点M作MEy轴，交AB于点E，则E（x，4x+20），ME=（x2+5x）（4x+20）=x2+9x20SABM=SMEB+SMEA=ME（xExB）+ME（xAxE）=ME（xAxB）=ME1=ME，SABM=x2+x10=（x）2+当x=时，SABM最大值为，即四边形的面积最大比较可知，当x=2时，四边形面积最大当x=2时，y=x2+5x=6，M（2，6）（3）由题意可知，点P在线段OB上方的抛物线上设P（m，m2+5m），则Q（m，m）

5、当PQB为等腰三角形时，若点B为顶点，即BP=BQ，如答图21所示过点B作BEPQ于点E，则点E为线段PQ中点，E（m，）BEx轴，B（4，4），=4，解得：m=2或m=4（与点B重合，舍去）m=2；若点P为顶点，即PQ=PB，如答图22所示易知BOA=45，PQB=45，则PQB为等腰直角三角形PBx轴，m2+5m=4，解得：m=1或m=4（与点B重合，舍去）m=1；若点P为顶点，即PQ=QB，如答图23所示P（m，m2+5m），Q（m，m），PQ=m2+4m又QB=（xBxQ）=（4m），m2+4m=（4m），解得：m=或m=4（与点B重合，舍去），m=综上所述，当PQB为等腰三角形时，m

6、的值为1，2或4. 解：(1）由已知得， ，解得， .（2）， . ，即，. 当点P运动至A处，此时P、D重合. 当PD在点A左侧时，则， 解得，. 当PD在点A右侧时，则，解得，不合题意，舍去.综上，或.（3），当或时，PAD是直角三角形. 若，则APx轴，即， 解得，； 若，APAB. 又直线AP：， 由，解得，. 综上，或.5. 解：(1)由题意得解得，所以二次函数的解析式为：(2)设直线AC为y=mxnA(1，4)，C（0，2）直线AC为：解得，所以点B的坐标为（2，2）（2）由题可知，点D的坐标是（4，4），直线AC的函数解析式是当时，（不合题意，舍去），点B的坐标是（2，2）BOD

7、=90，,若EODAOB时，则EOD=AOB,BOD=AOE=90，即把AOB绕着O点顺时针旋转90，OB落在OD上，OA落在OE上，所以点E的坐标是（8，2）作AOB关于x轴的对称图形，所得点E的坐标是（2，8）当点E的坐标是（8，2）或（2，8）时，EODAOB(3)由（2）可知，BOD=90若翻折后，点B落在FD的左下方（侧），如图，整理得，DH=HF，BH=PH，在BFPD中，；若翻折后，点B，D重合，不合题意，舍去若翻折后，点B落在OD的右上方（侧），如图，则同理可得，四边形BFPD是菱形，即,根据勾股定理，得,即,解得，（舍去），综上可知，当或时，将BPF沿边PF翻折，使BPF与D

8、PF重叠部分的面积是BDP的面积的6. 解：（1）点A在二次函数y=x2的图象上，AEy轴于点E且AE=m，点A的坐标为（m，m2），当m=时，点A的坐标为（，1），点B的坐标为（0，2），BE=OE=1AEy轴，AEx轴，ABECBO，=，CO=2，点D和点C关于y轴对称，DO=CO=2，S=BEDO=12=；（2）（I）当0m2时（如图1），点D和点C关于y轴对称，BODBOC，BEABOC，BEABOD，=，即BEDO=AEBO=2mS=BEDO=2m=m；（II）当m2时（如图2），同（I）解法得：S=BEDO=AEOB=m，由（I）（II）得，S关于m的函数解析式为S=m（m0且m2

9、）（3）如图3，连接AD，BED的面积为，S=m=，点A的坐标为（，），=k，SADF=kSBDFSAEF=kSBEF，=k，k=；k与m之间的数量关系为k=m2，如图4，连接AD，=k，SADF=kSBDFSAEF=kSBEF，=k，点A的坐标为（m，m2），S=m，k=m2（m2）7. 解：(1)对令x=0得，y=3，则C(0，3)令y=0，得，解得，A（3，0），B（1，0）(2)由得抛物线的对称轴为直线设点M（x，0），其中3x1P、Q关于直线对称，设Q的横坐标为a，则，周长当时，d取最大值，此时，M（2，0），设直线AB解析式为（k0），则解得，直线AB解析式为将代入得，EM=1(3

10、)由（2）知，当矩形PMNQ的周长最大时，此时点,与点C重合，OQ=3将代入，得，如图，过D作DKy轴于K，则DK=1，OK=4QK=OKOQ=43=1DKQ是等腰直角三角形，设则，解得当时，当时，或8. 解：（1）令x=0，解得y=3点C的坐标为（0,3）令y=0，解得x1=-1，x2=3点A的坐标为（-1,0） 点B的坐标为（3,0）（2）由A，B两点坐标求得直线AB的解析式为y=-x+3设点P的坐标为（x，-x+3）（0x3）PMy轴PNB=90，点M的坐标为（x，-x2+2x+3）PM=（-x2+2x+3）-（-x+3）=-x2+3x当x=时的面积最大此时，点P的坐标为（，）PN=，B

11、N=，BP=.（3）求得抛物线对称轴为x=1设点Q的坐标为（1，） 当CNQ=90时， 如图1所示即解得：Q1（1，）当NCQ=90时，如图2所示即 解得：Q2（1，）当CQN=90时，如图3所示即解得：Q3（1，）Q4（1，）9. 解：（1）抛物线的解析式为：y=ax28ax+12a（a0），令y=0，即ax28ax+12a=0，解得x1=2，x2=6，A（2，0），B（6，0）（2）抛物线的解析式为：y=ax28ax+12a（a0），令x=0，得y=12a，C（0，12a），OC=12a在RtCOD中，由勾股定理得：CD2=OC2+OD2=（12a）2+62=144a2+36；在RtCOD

12、中，由勾股定理得：AC2=OC2+OA2=（12a）2+22=144a2+4；在RtCOD中，由勾股定理得：DC2+AC2=AD2；即：（144a2+36）+（144a2+4）=82，解得：a=或a=（舍去），抛物线的解析式为：y=x2x+（3）存在对称轴为直线：x=4由（2）知C（0，），则点C关于对称轴x=4的对称点为C（8，），连接AC，与对称轴交于点P，则点P为所求此时PAC周长最小，最小值为AC+AC设直线AC的解析式为y=kx+b，则有：，解得，y=x当x=4时，y=，P（4，）过点C作CEx轴于点E，则CE=，AE=6，在RtACE中，由勾股定理得：AC=4；在RtAOC中，由勾

13、股定理得：AC=4AC+AC=4+4存在满足条件的点P，点P坐标为（4，），PAC周长的最小值为4+4（4）当6t0时，如答图41所示直线m平行于y轴，即，解得：GH=（6+t）S=SDGH=DHGH=（6+t）（6+t）=t2+2t+6；当0t2时，如答图42所示直线m平行于y轴，即，解得：GH=t+2S=SCOD+S梯形OCGH=ODOC+（GH+OC）OH=62+（t+2+2）t=t2+2t+6S=10. 解：（1）抛物线过点、 设其解析式为：且过点 即解析式为：，顶点坐标为： （2）过点A作AHCF交CP的延长线于点H、直线AD的解析式为：当时，S取得最大值，最大值为：；此时点P的坐标

14、为：，且点E与点C重合如图，过点作y轴的垂线交y轴于点N，交PE的延长线于点MPE=1.5，PF=3且FPE,设点的坐标为：，可得：、易证：即：解得：代入抛物线：知该点不在抛物线上 1. (2014 湖南省常德市) 如图12, 已知二次函数的图像过点O(0,0), A(4，0)，B()，M是OA的中点.（1）求此二次函数的解析式;（2）设P是抛物线上的一点,过P作轴的平行线与抛物线交于另一点Q，要使四边形PQAM是菱形,求P点的坐标;（3）将抛物线在轴下方的部分沿轴向上翻折，得曲线OBA(B为B关于轴的对称点),在原抛物线轴的上方部分取一点C，连接CM，CM与翻折后的曲线OBA交于点D,若CD

15、A的面积是MDA面积的2倍,这样的点C是否存在?若存在求出C点的坐标,若不存在,请说明理由.图12解: （1）方法一：设二次函数的解析式为则 3分方法二：图像过点O(0,0), A（4，0），设,又B()在曲线上,OAMPQCDB/BD1C1图123分（2）M是OA的中点,OA=4,MA=2, 若四边形PQAM是菱形,则PQ=2,又根据抛物线关于对称轴对称,即P、Q关于直线对称,P的横坐标为1, Q的横坐标为3.5分P的坐标为(1, Q的横坐标为(3,.而计算PM=,故所求的P(1,满足四边形PQAM是菱形 6分（3）设存在这样的C点.设C、D的坐标分别为二次函数在轴下方的部分向上翻折,得曲线

16、OBA,曲线OBA的解析式为7分若CDA的面积是MDA面积的2倍,CMA的面积是MDA面积的3倍,， ,即,8分过D,C分别作DD1,CC1垂直于轴,MD1DMC1C,即9分将代入得:,代入二次函数的解析式得故C的坐标为,或.10分6. (2014 浙江省舟山市) 如图，在平面直角坐标系中，A是抛物线y=x2上的一个动点，且点A在第一象限内AEy轴于点E，点B坐标为（0，2），直线AB交x轴于点C，点D与点C关于y轴对称，直线DE与AB相交于点F，连结BD设线段AE的长为m，BED的面积为S（1）当m=时，求S的值（2）求S关于m（m2）的函数解析式（3）若S=时，求的值；当m2时，设=k，猜

17、想k与m的数量关系并证明解：（1）点A在二次函数y=x2的图象上，AEy轴于点E且AE=m，点A的坐标为（m，m2），当m=时，点A的坐标为（，1），点B的坐标为（0，2），BE=OE=1AEy轴，AEx轴，ABECBO，=，CO=2，点D和点C关于y轴对称，DO=CO=2，S=BEDO=12=；（2）（I）当0m2时（如图1），点D和点C关于y轴对称，BODBOC，BEABOC，BEABOD，=，即BEDO=AEBO=2mS=BEDO=2m=m；（II）当m2时（如图2），同（I）解法得：S=BEDO=AEOB=m，由（I）（II）得，S关于m的函数解析式为S=m（m0且m2）（3）如图3，

18、连接AD，BED的面积为，S=m=，点A的坐标为（，），=k，SADF=kSBDFSAEF=kSBEF，=k，k=；k与m之间的数量关系为k=m2，如图4，连接AD，=k，SADF=kSBDFSAEF=kSBEF，=k，点A的坐标为（m，m2），S=m，k=m2（m2）9. (2014 四川省攀枝花市) 如图，抛物线y=ax28ax+12a（a0）与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，点D的坐标为（6，0），且ACD=90（1）请直接写出A、B两点的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）抛物线的对称轴上是否存在点P，使得PAC的周长最小？若存在，求出点P的坐标及周长的最小值；若不存在，说明理由；（4）平行于y轴的直线m从点D出发沿x轴向右平行移动，到点A停止设直线m与折线DCA的交点为G，与x轴的交点为H（t，0）记ACD在直线m左侧部分的面积为s，求s关于t的函数关系式及自变量t的取值范围解：（1）抛物线的解析式为：y=ax28ax+12a（a0），令y=0，即ax28ax+12a=0，解得x1=2，x2=6，A（2，0）