五自由度串联机器人的分析

1、 项目名称：五自由度机械手（节点五） 成员：吴军、庞洪忠课程名称：机器人学指导老师：赵永生、许允斗日期：2011年12月28日 目录一、绪论1.1 项目背景简介1.2 课题主要研究内容2、 静力学和刚度分析的课题综述2.1 引言2.2 静力学和刚度分析基础 2.2.1 隔离体图和静力平衡条件 2.2.2 静力平衡方程 2.2.2.1 构件的静力平衡方程 2.2.2.2 迭代求解方法 2.2.3 基于虚功原理的静力学分析 2.2.4 静刚度分析3、 静力学分析3.1 引言3.2 连杆的受力和力雅克比推导4、 刚度和柔度4.1 引言4.2连杆的变形 小结 参考文献 第一章 绪论1.1 项目背景简介

2、我们研究的项目是分析五自由度机械手的静力学和静刚度。求得各关节驱动力与外力之间的关系，并利用运动雅克比矩阵验证其正确性。然后求得五自由度机械手的刚度和柔度矩阵。节点一的同学已经用UG建立了三维实体模型，并实现了各关节的运动学仿真。通过在各关节处建立运动学坐标系，列出了各连杆参数，对五自由度串联机器人进行位置正反解。节点二的同学已经利用D-H建系的结果，用矢量叉积法和微分变换法写出雅可比矩阵方程并求出了结果，并利用二者之间的关系对结果进行验证。节点三的同学已经建立了工作空间的和并对机器人进行了奇异位形分析。在此基础上，我们查阅大量的国内外资料，对研究串联机器人的静力学和静刚度的方法有了一定的了解

3、，而且我们要运用以上同学的结果，对机器人进行静力学分析，并验证得到的结果与节点二的结果相同，再得到机器人的刚度和柔度矩阵。与此同时，我们还要继续查阅资料，力求寻找到一种新的方法，用来更简便的方法对机器人进行静力学和静刚度分析。1.2 课题主要研究内容（1）大量查阅国内外关于求解项目组所研究的串联机器人的静力学和静刚度的方法，并撰写文献综述；（2）分析机器人机构的静力学，求得各关节驱动力与外力之间的关系，并利用运动雅克比矩阵验证其正确性；（3）分析机器人的静刚度，求得刚度和柔度矩阵； 第二章 静力学和刚度分析的课题综述2.1 引言本章研究串联机器的静力学和刚度。机器工作时，末端执行器必然要对外界

4、施加一定的力和力矩，而这些均由关节来提供。对于串联机器，驱动力通过一个开环运动链传递；对于并联机器，驱动力通过几个并联路径传递到末端执行器。它们的研究方法有一定的不同。机器的静力学是在假设机器不发生运动时，研究各关节和末端执行器所承受的力和力矩之间的关系，包括大小和方向。静力学分析对确定机器各构件和轴承的尺寸，以及确定合适的驱动器是必需的，是机器人柔顺控制（compliance control）的基础。本章中，为简化描述，我们使用关节力和操作力这样的术语来表示关节和终端上的力和力矩。 本章首先介绍机器人静力学分析的一些基础知识，包括：构件隔离体图和静力平衡方程，基于不同坐标系下的构件静力平衡方

5、程，基于虚功原理的静力学分析方法。然后又介绍了理想静刚度矩阵和静刚度的有限元分析的方法。2.2 静力学和刚度分析基础这一部分主要介绍机器人静力学和刚度分析的一些基础方法和概念，包括，机构的隔离体图，静力平衡方程，基于不同坐标系的构件静力平衡方程，虚功原理，刚度和柔度矩阵。2.2.1 隔离体图和静力平衡条件在静力学研究中，建立隔离体图(free-body diagram)是一个相当基础且重要的分析手段。它的主要思想是：将机构中的一个零件或部件与其它零部件假想分离，将它作为一个独立的单元进行分析。一个隔离体可以包含一个或多个零件，同一个机构，根据需要可以建立称多个隔离体。图是一个四杆机构，将固定构

6、件称为构件0，构件称为构件、和。图中的隔离体包含3个运动构件，作用于隔离体上的力包括一个驱动力矩和一个外力负载，以及固定构件通过关节立的单元进行分析。一个隔离体可以包含一个或多个零件，同一个机构，根据需要可以建立多个隔离体。图是一个四杆机构，将固定构件称为构件，构件施加的力和。这里，符号表示构件i施加于构件j上的力。图分别是包含个和个运动构件的隔离体图。如果要考察构件的内力，可以将构件假想分割成几个部分，建立隔离体图，如图所示。 图 2.1 平面四杆机构的隔离体图对于一个处于静力平衡的隔离体，所有外力的矢量和应等于，相对于任意点的所有力矩的矢量和也必须等于。这个条件称为静力平衡条件，可表示为

7、(2.1) (2.2) 对于平面机构，式和包含了个标量方程。对于空间机构，上述方程包含了个标量方程。求解这些方程就可以获得所有关节上的力和力矩。2.2.2 静力平衡方程2.2.2.1 构件的静力平衡方程在开环机构中，每个构件均通过关节与个或个其它构件相连接，下面就根据上节介绍的静力平衡条件，推导构件上的静力平衡方程。图表示作用于一个典型构件上的力和力矩。构件通过关节和分别与构件和相连。可以将构件对构件的作用归结为关于坐标系原点的合力和合力矩。同样，构件作用于构件上的力可以归结为关于坐标系原点的力和力矩。 图 作用于构件上的力和力矩：构件基于点施加于构件上的合力，显然，。：构件基于点施加于构件上

8、的合力矩，。：重力加速度矢量。：构件的质量。：构件的质心相对于的位置矢量。：坐标系原点相对于坐标系的位置矢量。如图1.2所示，作用于构件的力包括、和。力的平衡方程可以写为 (2.3) 作用于构件的力矩有两个：和。另外，和分别对点产生力矩。因此，基于点的力矩平衡方程可写为 (2.4) 和被称为构件和构件之间的作用力（reaction force）和作用力矩（reaction moment）。当时，和表示基础构件作用于第一个运动构件的力和力矩。当时，和表示末端执行器对外界的输出力和力矩。对于每一个运动构件，重复使用式(2.3)和(2.4)一次。如果机构具有个构件，就会产生个矢量方程，这时，方程具有

9、个变量，因此，必须事先知道其中的两项，方程组才能求解。例如，当给定操作任务求解关节力时，和是给定的矢量。为方便起见，通常将构件之间的作用力和力矩组合成一个维矢量，如 (2.5) 被称为在处构件作用于构件的一个力螺旋（wrench）。2.2.2.2 迭代求解方法本节介绍一种静力分析的迭代方法。这种方法一次只针对一个构件，求解其作用力和力矩，而不需要同时求解个矢量方程。为便于分析，将式(1.3)和(1.4)写成如下的迭代形式： (2.6) (2.7) 式和均被表示在固定坐标系下。但通常情况下和都是在构件坐标系下指定的，就需要利用构件的旋转矩阵进行变换，即： (2.8) (2.9) 当给定输出力和力

10、矩时，就可以根据式和，从开始，一次计算一个构件上的作用力和力矩，依次计算出全部构件上的作用力和力矩。同样，也可以基于某一个构件坐标系来计算构件间的作用力和力矩，这时，式和就表示为 (2.10) (2.11)只要得到了基于构件坐标系下的作用力，就可以根据构件坐标系之间的旋转矩阵将其转化为构件坐标系下的矢量，形式如下： (2.12) (2.13)式和中的是重力加速度矢量在构件坐标系下的表示，通常在固定坐标系下是已知的，也就是当时，已知，然后利用下式计算其它的： (2.14)同样，如果输出力和力矩是在固定坐标系下给定的，就必须将其按照下式转化为基于终端坐标系的矢量： (2.15) (2.16) 只要

11、求出了构件间的作用力，各驱动器产生的驱动力和力矩就可以很容易确定。对于移动关节，驱动力沿关节轴线方向，假设关节间的摩擦力忽略不计，驱动力可按下式计算： (2.17) 式中，是指向第个关节轴的单位矢量。从式可看出，驱动器仅仅承受中沿关节轴线方向的一部分力，而中的另外一部分力则由关节轴承来承担。同样，对于一个旋转关节，驱动器施加一个相对于关节轴线的力矩，可表示为: (2.18)与移动关节类似，驱动器只承受中沿关节轴线方向的一部分力矩，其它的部分则由轴承来承担。在式和 中得到的统一被称为等效关节力矩（equivalent joint torque）。2.2.3 基于虚功原理的静力学分析本节引入虚功原

12、理来阐述关节力和操作力之间的关系。一个系统的虚位移是，在外力作用下，系统位形可能发生的微小变化。由于位形的这种微小变化可能发生，也可能不发生，因此被称为虚位移，以区别于由于外力或约束发生变化而产生的实际位移。一般用符号来表示虚位移，以区别于实际位移的符号或。对于一个机器，各关节处的虚位移可表示为末端执行器的虚位移可表示为。设操作力由终端输出的力和力矩组成，可表示为 (2.19)关节力矩矢量为 (2.20)假设，各关节处的摩擦力忽略不计，也就是所有的关节均看做是理想关节，所有的约束均为理想约束，则各关节处的约束反力所做的虚功总和等于零。这样，假如忽略重力的影响，机构所有主动力做的虚功为 (2.2

13、1)根据虚功原理，假如一个系统处于平衡，对于任意虚位移，作用于系统上的所有外力的虚功之和等于零。根据前面介绍的机构微分运动学，和不独立，存在以下关系 (2.22)式中，为机构在该瞬时的正向矩阵。将式代入式，可得 (2.23)上式对于任意虚位移均成立，所以可得 (2.24)对上式取转置，可得 (2.25)方程反映了操作力矢量和关节力矢量之间的关系。由于矩阵是依赖于机构位形的，这种映射关系也依赖于机构位形。2.2.4 静刚度分析静载荷下抵抗变形的能力称为静刚度。静刚度一般用结构的在静载荷作用下的变形多少来衡量；计算刚度的理论分为小位移理论和大位移理论。大位移理论根据结构受力后的变形位置建立平衡方程

14、，得到的结果精确，但计算比较复杂。小位移理论在建立平衡方程时暂时先假定结构是不变形的，由此从外载荷求得结构内力以后，再考虑变形计算问题。首先作如下假设： 1. 机构中各构件均为刚体，不发生变形。 2. 关节处的摩擦力忽略不计，所有关节处的约束均为理想约束。 3. 忽略各运动构件重力的影响。 4. 机器的变形只来源于传动系统和伺服系统。 设为机构主动关节力矩矢量，是主动关节处的变形矢量。可以用一个的对角矩阵表示和关系如下 (2.26) 式中，是一个的对角阵，是关节处的刚度常数。对于并联机构，关节位移和末端执行器的变形量有如下关系 (2.27) 式中，是机构的逆向矩阵。将式代入式，并所得结果代入式

15、，可得 (2.28) 式中， (2.29)被称为并联机器的理想刚度矩阵。一般情况下，非奇异，是一个对称的半正定矩阵，它反映了终端变形和操作力之间的关系。在很多并联机构中（例如机构、或机构），各支链的结构相同，这时，每个驱动支链的刚度常数相同，即 (2.30)这时，理想刚度矩阵可以写为 (2.31)2.2.4.1 静刚度的有限元分析有限元分析是用较简单的问题代替复杂问题后再求解。它将求解域看成是由许多称为有限元的小的互连子域组成，对每一单元假定一个合适的(较简单的）近似解，然后推导求解这个域总的满足条件(如结构的平衡条件），从而得到问题的解。这个解不是准确解，而是近似解，因为实际问题被较简单的问

16、题所代替。由于大多数实际问题难以得到准确解，而有限元不仅计算精度高，而且能适应各种复杂形状，因而成为行之有效的工程分析手段。 对于不同物理性质和数学模型的问题，有限元求解法的基本步骤是相同的，只是具体公式推导和运算求解不同。有限元求解问题的基本步骤通常为： 第一步：问题及求解域定义：根据实际问题近似确定求解域的物理性质和几何区域。 第二步：求解域离散化：将求解域近似为具有不同有限大小和形状且彼此相连的有限个单元组成的离散域，习惯上称为有限元网络划分。显然单元越小（网格越细）则离散域的近似程度越好，计算结果也越精确，但计算量及误差都将增大，因此求解域的离散化是有限元法的核心技术之一。 第三步：确

17、定状态变量及控制方法：一个具体的物理问题通常可以用一组包含问题状态变量边界条件的微分方程式表示，为适合有限元求解，通常将微分方程化为等价的泛函形式。 第四步：单元推导：对单元构造一个适合的近似解，即推导有限单元的列式，其中包括选择合理的单元坐标系，建立单元试函数，以某种方法给出单元各状态变量的离散关系，从而形成单元矩阵（结构力学中称刚度阵或柔度阵）。 第五步：总装求解：将单元总装形成离散域的总矩阵方程（联合方程组），反映对近似求解域的离散域的要求，即单元函数的连续性要满足一定的连续条件。总装是在相邻单元结点进行，状态变量及其导数（可能的话）连续性建立在结点处。 第六步：联立方程组求解和结果解释

18、：有限元法最终导致联立方程组。联立方程组的求解可用直接法、迭代法和随机法。求解结果是单元结点处状态变量的近似值。对于计算结果的质量，将通过与设计准则提供的允许值比较来评价并确定是否需要重复计算。 简言之，有限元分析可分成三个阶段，前置处理、计算求解和后置处理。前置处理是建立有限元模型，完成单元网格划分；后置处理则是采集处理分析结果，使用户能简便提取信息，了解计算结果 第三章 静力学分析3.1 引言 机器人与外界环境相互作用时，在接触的地方要产生力和力矩。本章着重讨论五自由度串联机器人操作臂在静止状态下的受力分析和平衡关系。本章还讨论了外界作用力和力矩与操作臂各连杆的变形之间的关系。众所周知，如

19、果外界作用力和力矩太大，那么，操作臂末端的变形是不可忽略的，并且变形的大小与操作臂的刚性有关。3.2 连杆的受力和力雅克比推导 根据静力从一个连杆向另一连杆传播的形式： (3.1) (3.2)可以求出每个关节的驱动力矩或力。1、将操作臂末端受到的外力和力矩组合而成的6维矢量称为终端广义力矢量；2、各个关节驱动力（或力矩）组成的n维矢量称为关节力矩矢量，下列建立两者之间的关系。设手腕施加力矢量为，力矩为认为作用在5坐标系原点推导关节驱动力和驱动力矩:该机器人具有5个转动关节，所以具有5个自由度，雅克比矩阵J式65阶的矩阵。节点一报告中已经求出，可求出。其中 ， ， ， ， (3.3) 设则式中：

20、 对于旋转关节，若不考虑关节中的摩擦，除了绕转轴的扭矩之外，其余各方向的力和力矩分量都由机械构件承受。为了保持连杆平衡，关节驱动力应等于: (3.4)此机器为5个旋转关节，所以将各关节驱动力写成矩阵形式为即： (3.5) 式中： ，而。从中可以得到为操作臂的力雅可比矩阵，这与我们在节点二的机器人机构雅克比矩阵分析中得出的相同。 第四章 刚度和柔度4.1 引言 机械零件和构件抵抗变形的能力称为刚度。在弹性范围内，刚度是零件载荷与位移成正比的比例系数，即引起单位位移所需的力。它的倒数称为柔度，即单位力引起的位移。刚度可分静刚度和动刚度。静载荷下抵抗变形的能力称为静刚度。本章着重介绍了五自由度串联机

21、器人的静刚度矩阵和柔度矩阵。4.2 连杆的变形操作臂终端在外力的作用下会产生变形。变形的大小与操作臂的刚度以及作用力的大小有关。操作臂的刚度影响它的动态特性和在负载情况下的定位精度首先作如下假设： 1. 机构中各构件均为刚体，不发生变形。 2. 关节处的摩擦力忽略不计，所有关节处的约束均为理想约束。 3. 忽略各运动构件重力的影响。 4. 机器的变形只来源于传动系统和伺服系统。 设为机构主动关节力矩矢量，是主动关节处的变形矢量。可以用一个的对角矩阵表示和关系如下 (4.1) 式中，是一个的对角阵，是关节处的刚度常数。再从微分运动可知，由各关节变形产生的末端变形为： (4.2) 当各关节都是主驱

22、动系统时，各关节刚度k不为零，矩阵K的逆存在，因此可以得到： (4.3) 式中矩阵C称为末端操作臂的柔度矩阵。即： (4.4) 对五自由度串联机器人操作臂有： 其中： 式中： ， 小结本文通过查阅大量的国内外资料，对串联机器人的静力学和静刚度的方法进行了研究并且进行了一定的总结，而且运用了项目组其他节点同学的结果，对机器人进行了静力学分析，并验证得到的结果与节点二的雅克比矩阵结果相同，又通过计算得到机器人的刚度和柔度矩阵。在对串联机器人进行静力学分析，求外力与各关节驱动力的关系时，其计算确实是个复杂的过程，在接下来的时间里，我们会继续查阅资料以进行更深入地研究，力求寻找到一种新的方法，用来更简便的方法对机器人进行静力学和静刚度分析。本节点是在项目组其他节点同学的基础上分析研究并完成的，通过此项目深刻的了解到串联机器人对我们的生产和生活所带来的巨大意义。参考文献1 包世华. 结构力学. 武汉工业大学出版社, 2001 2 范钦珊. 材料力学教程. 高等教育出版社, 1996 3 温瑞健. 结构矩阵分析与程序设计. 冶金工业出版社, 1998 4 王勖成, 邵敏. 有限元单元法基本原理和数值方法.清华大学出版社，19975 熊有伦. 机器人学. 机械工业出版社.6 Svinin M M, Hosoe S, Uchiyana M. On