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文档简介

1、利用中值定理证明不等式 拉格朗日中值定理的证明过程是基于罗尔定理上的, 并将拉格朗日中值定理作为罗尔定理的推广, 找出辅助函数满足罗尔定理条件得证的: 定理3.28 罗尔定理: 如果函数在闭区间上连续,在开区间内可导, 且在区间端点的函数值相等, 即那么在内至少存在一点使得函数在该点的导数值等于零. 即 . (3.1)证明 由于在闭区间上连续, 所以在上一定取到最小值与最大值, 分别设为与. (1)当,则在是常值函数,即.因此,可取内任意一点,有. (2)当时,由于,所以最大值、最小值至少有一个在内部取到，不妨设最大值在内部取到. 设, 则为极大值. 由在内可导,知存在.由费马定理知, 定理3

2、.38 拉格朗日中值定理: 如果函数在闭区间上连续, 在开区间内可导, 那么在内至少存在一点使等式 (3.2)成立. 证明 构造一个函数,设, 由于, 且. 所以由罗尔定理知至少存在一点, 使. 又, 所以, 于是 例3.24 证明分析:因为当时, 将不等式 改写成 当时, 将不等式改写成证明 令当 时, 对在上应用拉格朗日中值定理. 因为, 所以, 即当时, 对在 上应用拉格朗日中值定理, 因为，所以. 即. 故当时，. 例3.3 证明不等式: 当时, 分析:所证不等式中的函数的导数为, 即所证不等式中含有函数及其导数, 因而可用拉格朗日中值定理试之. 由于, 因此可构造函数的改变量, 则相应自变量的改变量为, 原不等式等价于: 由不等式中间部分的形式可知, 可利用拉格朗日中值定理证明. 证明 原不等式可等价变形为：. 令, 显然它在上满足拉格朗日中值中定理

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