11-有限元若干问题讨论-1.ppt

1、有限元分析中的若干问题讨论,有限元方法的一个突出特点就是它的许多变量和矩阵表达式都具有确切的物理含义，这对于我们更好地理解和掌握有限元分析的实质提供了背景，本章将全面讨论这方面的内容； 另外，我们求解复杂问题的目的就是希望获取最高精度的结果，但有限元方法是一种数值方法，高精度的追求必然带来计算量的急剧增加，因此必须综合考虑求解精度和计算量这两方面因素，以达到最佳的效率，即以较合理的计算量来获得满意的精度，这就涉及到误差控制这一专题，本部分也将就这一部分内容进行讨论。,有限元分析中的若干问题讨论,为节省存贮空间，一般只需存贮非零数据，单元和节点的编号将直接影响到非零数据在整体刚度矩阵中的位置，我

2、们希望非零数据越集中越好，反映非零数据集中程度的一个指标就是带宽(bandwidth)。单元节点编号(nodal numbering)与带宽之间的关系是什么？,单元的节点编号与总刚度阵的存储带宽,有限元分析中的若干问题讨论,由于刚度矩阵是对称的，可以看出，若节点的DOF数为，则每一个单元在整体刚度矩阵的半带宽(semi bandwidth)为：,其中n为整个结构系统的单元数。显然，对于2D问题，有2，对于3D问题，有3。,因此在计算机中，一般都采用二维半带宽存储刚度矩阵的系数，为等带宽存储。,单元的节点编号与总刚度阵的存储带宽,有限元分析中的若干问题讨论,单元形函数矩阵与刚度矩阵的性质,一、形

3、状函数矩阵的性质,以一维杆单元为例来讨论一般情况下形状函数矩阵的性质,1. 考虑单元左端发生单位位移，而右端固定时的情形,(5-5),2. 考虑单元左端固定，而右端发生单位位移时的情形,有限元分析中的若干问题讨论,单元形函数矩阵与刚度矩阵的性质,单元形状函数性质1：0/1性质,3. 考虑单元发生刚体位移的情形,设单元有刚体位移 ，由于是刚体位移，则单元的位移场函数及节点位移,都为 ，即,一、形状函数矩阵的性质,有限元分析中的若干问题讨论,单元形函数矩阵与刚度矩阵的性质,单元形状函数性质2：和1性质,一、形状函数矩阵的性质,有限元分析中的若干问题讨论,单元形函数矩阵与刚度矩阵的性质,二、刚度矩阵

4、的性质,（11-2）,1. 考虑单元左端发生单位位移，而右端固定时的情形,有限元分析中的若干问题讨论,单元形函数矩阵与刚度矩阵的性质,二、刚度矩阵的性质,2. 考虑单元右端发生单位位移，而左端固定时的情形,将该性质推广到单元刚度矩阵中的对角线元素，有以下描述。,单元刚度矩阵性质1：对角线元素的1/0性质,有限元分析中的若干问题讨论,单元形函数矩阵与刚度矩阵的性质,二、刚度矩阵的性质,将该性质推广到单元刚度矩阵中的非对角线元素，有以下描述 。,单元刚度矩阵性质2：非对角线元素的1/0性质,单元刚度矩阵性质3：对称性质,有限元分析中的若干问题讨论,单元形函数矩阵与刚度矩阵的性质,二、刚度矩阵的性质

5、,单元刚度矩阵性质4：半正定性质,单元刚度矩阵是半正定(positive Semi-definite)的。,概念：设M是n阶实系数对称矩阵， 如果对任何非零向量 X=(x_1,.x_n) 都有 XMX0，就称M正定(Positive Definite)。,有限元分析中的若干问题讨论,单元形函数矩阵与刚度矩阵的性质,二、刚度矩阵的性质,单元刚度矩阵性质4：半正定性质,单元刚度矩阵是半正定(positive Semi-definite)的。,(5-16),有限元分析中的若干问题讨论,单元形函数矩阵与刚度矩阵的性质,二、刚度矩阵的性质,3. 考察位移,（5-17）,（5-18）,（5-19）,（5-

6、20）,有限元分析中的若干问题讨论,单元形函数矩阵与刚度矩阵的性质,二、刚度矩阵的性质,3. 考察位移,由刚度矩阵系数的性质1和性质2可知，式(5-24)代表节点的平衡力系,(5-21),(5-22),(5-24),有限元分析中的若干问题讨论,单元形函数矩阵与刚度矩阵的性质,二、刚度矩阵的性质,3. 考察位移,根据以上讨论，总结出以下性质:,单元刚度矩阵性质5：奇异性质,单元刚度矩阵性质6：行(或列)的代数和为零的性质,刚度矩阵的任一行（或列）代表一个平衡力系；当节点位移全部为线位移时(即为C0型问题)，任一行（或列）的代数和应为零。 刚度矩阵的任一行在数值上等于某种特定位移状态下的全部外力和

7、支反力，它们当然构成一个平衡力系；而由对称性可知，任意一列也就具有同样性质。在具体计算过程中，可以利用这一性质检查计算结果的正误。 同样，由单元刚度矩阵所组装出的整体刚度矩阵也具有以下性质：(a) 对称性；(b) 奇异性；(c)半正定性；(d) 稀疏矩阵(spars matrix)；(e) 非零元素显现带状性(banded)。,有限元分析中的若干问题讨论,边界条件的处理与支反力的计算,位移边界条件BC(u)在大多数情形下有两种类型,(5-46),有限元分析中的若干问题讨论,边界条件的处理与支反力的计算,一、处理边界条件的直接法,(5-49),(5-50),(5-51),有限元分析中的若干问题讨

8、论,边界条件的处理与支反力的计算,一、处理边界条件的直接法,“直接法”的特点,有限元分析中的若干问题讨论,边界条件的处理与支反力的计算,二、处理边界条件的置“1”法,（11-13）,有限元分析中的若干问题讨论,边界条件的处理与支反力的计算,二、处理边界条件的置“1”法,对角元素置“1”法的特点：,有限元分析中的若干问题讨论,边界条件的处理与支反力的计算,三、处理边界条件的乘大数法,有限元分析中的若干问题讨论,边界条件的处理与支反力的计算,三、处理边界条件的乘大数法,对角元素乘大数法的特点:,有限元分析中的若干问题讨论,边界条件的处理与支反力的计算,四、拉格朗日乘子法,当存在多点之间的约束耦合关系时(如斜支座)，就会出现带约束方程的表达式，其一般数学表达式可以写成,(5-61),(5-62),(5-63),力边界条件BC(p)处理：直接法、拉格朗日乘子法、罚函数法,有限元分析中的若干问题讨论,边界条件的处理与支反力的计算,四、拉格朗日乘子法,考虑到约束条件（5-61），这是一个带有约束的泛函极值问题，可以通过拉格朗日乘子法(Lagrangian multiplier algorithm)，转化为无约束的极值问题,将式（5-64）代入式 此式中，有,(5-64),(5-68),有限元分析中的若干问题讨论,边界条件的处理与支反力的计算,五、罚函数法,该方法将引入一个