12章 高斯定理.ppt

1、高斯定理的应用,电场线,电通量,高斯定律,今天学什么？,12.4 电场线 电通量,为形象表示电场假想的线。,b. 空间一点的电场强度矢量与那一点的电场线相切。,c. 垂直穿过单位面积的电场线的数目正比于此区域的电场强度。,所以，电场线越密集，场强越大，越稀疏，场强越小。,一、电场线,二、 定量描述,场强的大小为垂直于电场方向单位面积的电场线数。,a. 始于正电荷或无穷远,三、 电场线的连续性,c. 无电荷处不中断,d. 电场线不相交,b. 止于负电荷或无穷远,四、一些典型电场线形状,d.一对等量正点电荷的电力线,c.一对等量异号电荷的电力线,f.无限长均匀带电直线的电场,e.一对异号不等量点电

2、荷的电力线,g. 带异号电荷平行板,h. 带正电荷平板,其大小代表面元的面积。 其方向定义为法向。,五、 定义:矢量面元,为面元法线方向单位矢量,1.穿过面元dS电通量,dS范围内视为均匀电场,六、 电通量,穿过某个面的电场线的条数,2.穿过任意曲面的电通量,3.穿过闭合曲面的电通量,规定：取闭合面外法线方向为正向。,电力线穿出闭合面为正通量，,电力线穿入闭合面为负通量。,12.5 高斯定理,高斯(Gauss,1777-1855),德国数学家、天文学家和物理学家，有“数学王子”美称,一、定理表述,静电场中穿过闭合曲面的电通量，等于面内电荷代数和除以 0 。,穿过球面的电通量,左边,球面上各点E

3、大小相等， E/dS , cos =1,二、定理证明,1.以点电荷位于半径为R的闭合球面中心为例：,左边=右边,高斯定理成立,2.点电荷位于闭合面外,左边,穿入与穿出的电力线根数相同，正负通量抵消。,单个点电荷位于任意闭合面内,高斯定理成立,右边,左边=右边,高斯定理成立,推广：任意闭合曲面内有多个电荷都成立。,3.点电荷系：设有 1、2、k 个电荷在闭合面内，k+1、k+2、n 个电荷在闭合面外,由场叠加原理，高斯面上的场强为：,面内电荷的场,面外电荷的场,左边,=右边,证毕,三、明确几点,1.高斯面为闭合面。,3. E 为高斯面上某点的场强，是由空间所有电荷产生的，与面内面外电荷都有关。,

4、2.电通量 只与面内电荷有关，与面外电荷无关。,4. = 0，不一定面内无电荷，有可能面内电荷 等量异号。,5. =0，不一定高斯面上各点的场强为 0。,高斯定理在解场方面的应用,常见的电量分布的对称性： 球对称 柱对称 面对称,均匀带电的,球体 球面 (点电荷),无限长 柱体 柱面,无限大 平板 平面,在电荷分布具有良好对称性的情况下,四、选取高斯面原则,2.高斯面要经过所研究的场点。,1.要求电场具有高度对称性。,3.高斯面应选取规则形状。,5.高斯面上另一些部分各点的场强大小相等，方向与高斯面法线方向一致。,才能求出,4.高斯面上某些部分各点的场强方向与高斯面法线方向垂直，该部分的通量为

5、0。,五、解题方法及应用举例,1.场对称性分析。,2.选取高斯面。,3.确定面内电荷代数和,4.应用定理列方程求解。,。,例1：均匀带电的球壳内外的场强分布。设球壳半径为 R，所带总电量为 q。,解：,第1步：根据电荷分布的对称性，分析场强分布的 对称性选取合适的高斯面(闭合面),第2步：从高斯定理等式的左方入手 计算高斯面的电通量,第3步：求高斯面内电量代数和,第4步：根据高斯定理列方程，解方程，得解。,第5步：记住简单的基本结论，并且能熟练使用来解更复杂的题。,当 高斯面内电荷为q，所以,当 高斯面内电荷为 0,（1）均匀带电球壳外的场强:等同于球面上的电荷都收缩到球心所形成的点电荷在球外

6、的场强。 （2）在球面内的场强均为零。,第5步：记住简单的基本结论，并且能熟练使用来解更复杂的题。,例2：半径 R、带电量为 q 的均匀带电球体，计算球体内、外的电场强度。,解：1.球体外部 r R,作半径为 r 的球面；,面内电荷代数和为,球面上各点的场强 E 大小相等，方向与法线同向。,与点电荷的场相同。,2.球体内部 r R,作半径为 r 的球面；,面内电荷代数和为,球面上各点的场强 E 大小相等，方向与法线相同。,例3：无限长带电直线，线电荷密度为 ，计算电场强度 E 。,解：作半径为r高为h的闭合圆柱面，,侧面上各点的场强E 大小相等，方向与法线相同。,例4：半径为R的“无限长”均匀

7、带正电的圆柱面， 电荷面密度为 ， 计算柱内外场强。,解：,r,R,高斯面内电荷,解：因为电荷均匀分布在无限大的平面上，所以电场分布对该平面对称。所以在平面两侧形成均匀电场垂直于平面， 当0 场强指离平面。 当0 场强方向指向平面。,例5：无限大带电平面，面电荷密度为 ，求平面附近某点的电场强度。,选取圆筒式封闭面作为高斯面 S。,场强方向指离平面;,场强方向指向平面。,场强方向垂直于带电平面。,例6：两无限大带电平面（平行板电容器），面电荷密度分别为 + 和 - ， 求：电容器内、外的电场强度。,解：极板左侧,极板右侧,两极板间,例7：如图所示，一厚为 a 的“无限大”带电平板，电荷体密度r = kx (0 xa) k为一正的常数。求： （1）板外两侧任一点 M1、M2的电场强度大小；（2）板内任一点M的电场强度；（3）场强最小的点在何处。,解：(1)在x处取厚为 dx 的平板，此平板带电量,电荷面密度为,则,（2）板内任一点 M 左侧产生的场强方向沿 x 轴正向