实验六常微分方程性态和R-K法的稳定性

1、数值分析实验六 常微分方程性态和R-K法的稳定性班级：11级数本 姓名 ：宋梦琪 学号： 一、实验名称：常微分方程性态和R-K法的稳定性二、实验目的：考察下面微分方程右端项中函数y前面的参数对方程性态的影响（它可使方程为好条件的或坏条件的）和研究计算步长对R-K法计算稳定性的影响。三、实验内容及要求： 实验题目：常微分方程初值问题其中，。其精确解为。四、实验要求：本实验题都用4阶经典R-K法计算（1）对参数a分别取4个不同的数值：一个大的正值，一个小的正值，一个绝对值小的负值和一个绝对值大的负值。取步长h=0.01，分别用经典的R-K法计算，将四组计算结果画在同一张图上，进行比较并说明相应初值

2、问题的性态。（2）取参数a为一个绝对值不大的负值和两个计算步长，一个步长使参数ah在经典R-K法的稳定域内，另一个步长在经典R-K法的稳定域外。分别用经典R-K法计算并比较计算结果。取全域等距的10个点上的计算值，列表说明。五、实验代码Matlab程序如下：function charp5_1%数值试验5.1：常微分方程性态和R-K法稳定性试验%输入：参数a，步长h%输出：精确解和数值解图形对比%clf;result=inputdlg(请输入-50，50间的参数a:,实验5.1,1,-40);a=str2num(char(result); if (a50) errordlg(请输入正确的参数a!

3、); return;endresult=inputdlg(请输入（0 1）之间的步长:,实验5.1,1,0.01);h=str2num(char(result);if (h=1) errordlg(请输入正确的（0 1）间的步长!); return;endx=0:h:1;y=x;N=length(x);y(1)=1;func=inline(1+(y-x).*a);for n=1:N-1 k1=func(a,x(n),y(n); k2=func(a,x(n)+h/2,y(n)+k1*h/2); k3=func(a,x(n)+h/2,y(n)+k2*h/2); k4=func(a,x(n)+h,y

4、(n)+k3*h); y(n+1)=y(n)+h*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;endy0=exp(a*x)+x;plot(x,y0,g+);hold on;plot(x,y,b-);xlabel(x);ylabel(y0=exp(ax)+x: + and R-K(x)-);六、实验步骤及结果分析：1、 对参数a分别取4个不同的数值3（题中要取大的正值，但a大于5时其它曲线在图中不好显示），1，-8，-40，将四组计算结果画在同一张图上。观察图像可知：4阶经典R-K算法的绝对稳定区域是，本实验中。因此，当h=0.01时， ，该方法才稳定。现有，因此a的稳定区域为。当a处于稳定性范围内时，结果收敛，为好条件。图中显示，四个参数下结果均收敛，是好条件的。2、 取参数a为一个绝对值不大的负值a=-8，故时，该方法稳定。取h=0.02和h=0.5作比较。00.10.20.30.40.50.60.70.80.91.0y精1.00000.54930.40190.39070.44080.51830.60820.70370.80170.90071.0003y0.021.00000.54930.40190.39070.44080.51830.60820.70370.80170.90071.0003y0.51.00005.500026.00