第4章-10GMM及其与其他估计方法的比较

1、5.1 广义矩估计（GMM, Generalized Method of Moments）,一、广义矩估计的概念 二、计量经济学模型的广义矩估计 三、OLS和ML估计是GMM估计的特例 四、假设检验,关于GMM的主要文献,关于GMM最早的系统的描述 L. Hansen, 1982: Large Sample Properties of GMM Estimation, Econometrica 50, p1029-1054 关于GMM 的总结 A. Pagan and M. Wickens, 1989: A Survey of Some Recent Economertic Methods, E

2、conomic Journal 99, p962-1025,关于GMM发展的讨论 R. Davidson and J. MacKinnon, 1993: Estimation and Inference in Econometrics, New York Oxford Univ. Press,一、广义矩估计的概念,几个重要的性质,从方法论角度 变量设定的相对性：直接与间接、内生与外生、随机与确定。 经验信息（样本数据）的充分利用。 具有包容性：实际上是已有估计方法的概括和一般化。 适用于大样本并显示其优越性。,几个重要的性质,从技术角度 无须要求正规方程组中方程数目与待估参数数目相等。 无须进

3、行高阶矩阵的求逆运算。,参数的矩估计,参数的矩估计就是用样本矩去估计总体矩。 用样本的一阶原点矩作为期望的估计量。 用样本的二阶中心矩作为方差的估计量。 从样本观测值计算样本一阶（原点）矩和二阶（原点）矩，然后去估计总体一阶矩和总体二阶矩，再进一步计算总体参数（期望和方差）的估计量。,样本的一阶矩和二阶矩,总体一阶矩和总体二阶矩的估计量,总体参数（期望和方差）的估计量,参数的广义矩估计,选择的矩估计方程个数多于待估参数个数。 使得欧氏距离函数 达到最小：,计量经济学模型的广义矩估计,如果模型的设定是正确，则存在一些为0的条件矩。广义矩估计的基本思想是利用矩条件估计模型参数。 等于0的条件矩的数

4、目大于待估计模型参数的数目。 假设理论上有模型关系：,二、计量经济学模型的广义矩估计, 估计方法的原理,一组矩条件，普通最小二乘估计的正规方程组。,如果不存在随机解释变量、异方差和序列相关等问题，有：,一组矩条件，工具变量估计的正规方程组。,继续考虑这个设定模型，且考虑存在随机解释变量状况：,须寻找工具变量z，则有：,工具变量估计的正规方程组。,继续展开:,工具变量估计正规方程组的解就是,一阶极值条件的解。,如果工具变量Jk，并且考虑随机项存在异方差和序列相关,W矩阵的阶数：JJ,因此，恰当的选择权矩阵W就成为GMM技术中的关键问题。,以多元线性模型为例,如果满足所有基本假设，OLS的正规方程

5、组为：,该方程组是如何得到的？,如何从矩条件出发得到该方程组？,如何求解该方程组？,如果x2为随机变量，z1为它的工具变量，IV的正规方程组为：,为什么将x2换为z1？,如何求解该方程组？,该方程组是如何得到的？,4个等于0的矩条件，求解4个参数,如果x2为随机变量，z1、z2 为它的工具变量，GMM关于参数估计量的矩条件为：,如何求解该方程组？,5个等于0的矩条件，求解4个参数,该方程组是如何得到的？, GMM估计量,min Q()=(1/n)Z(Y-X)W(1/n)Z(Y-X)的1阶极值条件（偏导为0）： -2XZWZY+2XZWZX=0 XZWZX=XZWZY 这是一个有K个未知参数，K

6、个方程的线性方程组。 当lK时，ZX是一个列满秩于K的矩阵。从而(XZWZX)KK非奇异，于是有： =(XZWZX)-1XZWZY 即为原模型Y=X+的一个广义矩估计量。,如果l=K，这时ZX为KK方阵且可逆。于是： =(ZX)-1W -1(XZ)-1XZWZY =(ZX)-1ZY 可见，GMM=IV, 这时W的选择对结果无影响。 如果lK，这时根据W选取的不同，有不同的解GMM，但只要W是对称正定矩阵，估计结果都满足一致性。 尽管不同的权矩阵W都可得到的一致估计量，但估计量的方差矩阵可能是不同的。因此，可以选择最佳的W，以使估计量更有效(有小的方差)。,权矩阵的选择,关于权矩阵的选择，是GM

7、M估计方法的一个核心问题。,权矩阵可根据每个样本矩条件估计的精确程度来设置（用方差来度量）。例如，对估计较精确的矩条件给予较大的权重，对估计较不精确的矩条件给予较小的权重。,调整思路：利用矩条件之间的协方差进行调整。对于协方差矩阵中具有较大数值的元素就赋予较小的权重。具体如下：,如此构造权矩阵体现了上述设置权矩阵的原则。 权矩阵调整的是J个矩条件之间的关系，而不是n个样本点之间的关系。 W应是(1/n)Var(Z)-1的一致估计。 权矩阵的阶,Hansens(1982)提出最佳的权矩阵为：,L. Hansen, 1982: Large Sample Properties of GMM Esti

8、mation, Econometrica 50, p1029-1054,若随机误差项存在异方差且不存在自相关，White(1980)提出权矩阵的估计量为：,White, 1980: A heteroskedasticity-consistent convariance matrix and direct test for heteroskedaticity, Econometrica 48, 817-838,Eviews 中GMM方程设定页面选择“cross section”，即为该情况。,若随机误差项存在自相关，Newey和West(1987)提出权矩阵的估计量为：,Newey and We

9、st, 1987: A Simple positive semi-definite, heteroskedasticity and Autocorrelation consisitent covariance matrix, Econometrica 55,703-708,Eviews 中GMM方程设定页面选择“time series”，在HAC optons的Kernel options中选择Bartlett，然后在Bandwidth selection中选择 Fixed，再填写NW即为该情况。 其中Kernel options选择Bartlett，即是：,其它选择的含义 Eviews 中G

10、MM方程设定页面选择“time series”，在HAC optons的Kernel options中选择Bartlett，然后在Bandwidth selection中选择 Fixed，如果填写1个具体的数字，例如2，表示L=2。,Eviews 中GMM方程设定页面选择“time series”，在HAC optons的Kernel options中选择Bartlett，然后在Bandwidth selection中选择 Andrews，表示采用Andrews1991年论文中提出的选择方法。 Andrews,1991: Heteroskedasticity and autocorrelati

11、on consistent covariance matrix estimation, Econometrica 59, 817-858,Eviews 中GMM方程设定页面选择“time series”，在HAC optons的Kernel options中选择Bartlett，然后在Bandwidth selection中选择 Variable-Newway-West，表示采用Newey-West 1994年论文中提出的选择方法。 Newey and West,1994: Automatic lag selection in covariance matrix estimation, Rev

12、iew of Economic Studies 61, 631-,Eviews 中GMM方程设定页面选择“time series”，在HAC optons的Kernel options中选择Quadratic，然后在Bandwidth selection中进行选择。表示采用Quadratic 核函数。,Eviews 中GMM方程设定页面选择“time series”，在HAC optons中选择Prewhitening,然后在Kernel options中和Bandwidth selection中进行选择。表示在权矩阵计算之前，设置简单的AR(1)模型，加到估计的模型中。, 估计方法的步骤,采

13、用OLS估计模型，求得参数的一组估计量，目的在于求得权矩阵的估计量。 计算权矩阵的估计量。如果采用Newey和West(1987)提出的权矩阵估计量，则要首先选择L的值。当模型不存在序列相关时，取L=1；当模型存在序列相关时，可以采用广义差分法判断L的取值。权矩阵为JJ阶矩阵。 将权矩阵的估计量代入二次型表达式，得到参数的GMM估计量。 迭代：得到有效可行的GMM估计量。,例题,居民消费CONS由GDP、CONS(-1)解释。 OLS估计 以GDP(-1)作为CONS(-1)工具变量的IV估计 以C、GDP、GDP(-1)、政府消费CONSG作为工具变量的GMM估计,OLS估计结果,IV估计结

14、果,GMM估计结果,三、OLS和ML估计是GMM估计的特例, OLS是GMM的特例,选择解释变量作为工具变量构造矩条件，权矩阵为单位阵，GMM即为OLS。即有： 参数估计值相同,参数估计量的方差协方差矩阵一般不相同,GMM的方差-协方差矩阵,ui同方差且序列不相关时,ui存在异方差或序列相关时,2.IV是GMM的特例,GMM中方程个数等于参数个数时，即等价于工具变量估计法。 即工具数量等于方程个数时候，方程组被恰好识别。此时GMM与IV一致。,3.2SLS是GMM的特例,2SLS是工具变量估计方法的特殊情形，而工具变量估计是GMM估计的特殊情形。 如果GMM中利用了所有先决变量， 2SLS与

15、GMM估计等价。,2SLS估计,第1阶段估计,第2阶段估计,GMM估计,大括号部分的一阶极值条件,四、假设检验,提示,对于GMM，关键是两项检验： 一是检验过度识别限制是否有效。即Jk的那部分是否有效。如果经过检验无效，那么GMM在这个意义上就没有优越性。 二是检验构造的矩条件是否成立。如果矩条件不成立，就要从模型设定方面寻找原因。 另外，如果对模型参数施加约束，则需要进行参数约束检验。,矩条件和过度识别约束的检验,如果拒绝原假设，意味着并非所有的总体矩条件都成立。,在应用软件中，被称为J统计量，但应该是nJ2(l-K),检验步骤 得到参数的一个一致估计 计算残差 计算检验统计量 如果Test

16、小于临界值，将接受过度识别限制有效的假设。 如果拒绝原假设，而且没有进一步的信息，就不能判断哪个矩条件不成立，或者说哪个工具变量无效。,当l=K时，称模型参数“恰好识别” ，这时不论总体矩条件是否真的成立，都存在唯一解，意味着当l=K时，总体矩条件不可检验。 当lK时，称模型参数“过度识别” ，该检验称为过渡识别约束检验。 过渡识别约束检验也称为Sargan检验或者Hansen-Sargan检验。,当随机误差项同分布且序列不相关时，检验统计量具有特别简单的形式：,首先求出GMM估计量，计算残差项ei，再用残差项ei对所有的工具变量Zi做OLS回归，称为辅助回归；然后用上述辅助回归的可决系数R2乘以样本容量n