微积分在经济中的应用

1、微积分在经济中的应用数学在经济学理论分析中的重要作用是与数学研究的内容和特点分不开的。数学是研究现实世界数量关系的学科，在经济现象中更加广泛，投入量、产出量、成本、效用、价格、价值、利率、商品量、生产量、产值、利润、消费量等。这种数量关系的分析很大程度上依赖于高等数学中的函数，导数定积分。微积分是高等数学的一个基础学科，是微分学和积分学的总称,微积分在经济学的分析中有着重要的地位。微积分作为数学知识的基础,是学习经济学的必备知识。这篇文章便主要是讨论微积分在经济中的应用。1.边际分析西方经济学中涉及边际经济变量时都是用增加某一个经济变量一个单位从而对另一个经济变量带来的影响是多少来进行分析。如

2、边际利润、边际成本、边际收益、边际替代率等等，这些概念都是经济学中非常重要的概念。而在这些经济学概念中，几乎都要用到数学导数的概念，它们的数学表达式也几乎可以用导数来表示。经济学的边际成本定义为增加一个单位产品引起总成本价的变化。边际收益定义为附加销售一个商品引起总收益的变化。总成本和总收益都是产量Q的函数，所以边际成本和边际收益在数学上可以表达为各自总函数的导数。边际概念的实质就是经济函数的导数。例如：1、边际需求与边际供给：设需求函数Q=f（p）在点p处可导（其中Q为需求量，P为商品价格），则其边际函数Q=f(p)称为边际需求函数，简称边际需求。类似地，若供给函数Q=Q(P)可导（其中Q为

3、供给量，P为商品价格），则其边际函数Q=Q(p)称为边际供给函数，简称边际供给。2、边际成本：若成本函数C(q)当产量达到q时, 再各生产一个单位产品时所增加的成本,即为MC = 或MC =3、 边际收益: 收益函数TR(q), 当销售量达到q时, 再多销售一个单位产品时所增加的销售收益,即为边际收益MR = 或MR = = 。4、边际利润: 利润函数L(q), 当销售量达到q时, 再多销售一个单位产品时所增加的利润L (q)。利润最大化问题就可以为数学表达式：求max L（q）st利用微积分的知识，上述问题有解的充分条件存在q=q，使得 L（q）=MRMC=0即MR=MC也就是说, 用生产一

4、个商品能增加的收益与因此而增加的成本相等, 利润的增值等于0, 即利润不再增加了, 所以达到了最大值。我们可以得到一般性结论:生产者以增加利润, 当边际收益等于边际成本时, 就达到了最大利润, 不能再扩大生产了, 否则就要亏本。例1：某企业每月生产Q（吨）产品的总成本C（千元）是产量Q的函数，C(Q)=Q2-10Q+20。如果每吨产品销售价格2万元，求每月生产10吨、15吨、20吨时的边际利润。解：每月生产Q吨产品的总收入函数为： R（Q）=20Q L（Q）=R（Q）-C（Q）=20Q-（Q2-1Q+20）=-Q2+30Q-20 L(Q)=(-Q2+30Q-20)=-2Q+30 则每月生产10

5、吨、15吨、20吨的边际利润分别为 L(10)=-210+30=10（千元/吨）； L(15)=-215+30=0（千元/吨）；L(20)=-220+30=-10（千元/吨）； 以上结果表明：当月产量为10吨时，再增产1吨，利润将增加1万元；当月产量为15吨时，再增产1吨，利润则不会增加；当月产量为20吨时，再增产1吨，利润反而减少1万元。 2.弹性分析“弹性”这个在经济学中无处不在的词语更是体现了数学思想方法的重要性。比如说需求的收入弹性，即需求与收入二者的变化率之比。其经济含义为其他条件不变时，收入的变化将引起多大程度的需求变化。通过几期的国民统计数据，可以算出一国在一个相对稳定的经济周期

6、中的需求收入弹性。这样政府便可以清楚知道，为刺激国民需求需要，使个人的可支配收入大概达到何种水平。从而制定相关政策，从宏观上引导国家经济健康成长。经济学的价格弹性是供求量变化率同价格变化率之比，也可以用导数解决。弹性原是物理学上的概念,意指某一物体对外界力量的反应力。经济学中弹性是指经济变量存在函数关系时,因变量对自变量变动的反应程度,其大小可以用两个变量变动的百分比之比,即弹性系数来表示。弹性的一般公式为弹性系数= 若两个经济变量之间的函数关系为Y = f (x) ,以x 、y 分别表示变量x 、y 的变动量,以e 表示弹性系数,则弹性公式为e = = (1)式若经济变量的变化量趋于无穷小,

7、即当x 0 , y 0 时,则弹性公式为e = = (2)式 (1) 式称为弧弹性, (2) 式称为点弹性。弹性的经济意义为:当自变量化为1 %时,函数变化为e%。弹性的经济意义：需求的价格弹性表示的是某种商品需求量对本身价格变化的反应程度。其系数就是需求量变化的相对量对价格变化的相对量的比值，即为：需求的价格弹性系数 需求量变化的百分比价格变化的百分比如果用Ed 表示需求的价格弹性系数，用P 表示价格，P 表示价格的变化量，Q，Q 分别表示需求量及需求的变化量，那么需求的价格弹性一般表示为：Ed= 一般情况下，价格与需求量成反方向变化的关系，需求的价格弹性系数是负值。例2：设某商品的需求函数

8、为Q3000，求价格为100 时的需求弹性并解释其经济意义。解：Ed （ p）= Q= -0.02p30003000=-0.02pEd（100）=-2它的经济意义是：当价格为100 时，若价格增加1，则需求减少2。由上可知，需求函数在点P 的需求价格弹性的经济意义是，在价格为P 时，如果价格提高或降低1，需求由Q起，减少或增加的百分数。需求价格弹性反映了当价格变动时需求量变动对价格变动的灵敏程度。供给价格弹性和需求的价格弹性一样，供给的价格弹性表示价格变化引起的供给量变化的反应程度。因此，供给的价格弹性系数ES 即为：ES 供给量变化的百分比价格变化的百分比=如果用ES 表示供给的价格弹性系数

9、，用P 表示价格，P 表示价格的变化量，Q，Q 分别表示供给量及供给的变化量，那么供给的价格弹性一般表示为：ES= 一般情况，由于商品的供给量的变化与价格的变化是同方向的，所以供给的价格弹性系数是正值。例3：设供给函数Q=f（P）=-12+4P+,求当P=3 时的供给价格弹性。解由于供给价格弹性解：ES=P f (P)=P ，所以，当P=3 时，ES= 。由上可知，供给函数在点P 的供给价格弹性的经济意义是，在价格为P 时，如果价格提高或降低1，供给由Q起，增加或减少的百分数。供给价格弹性反映了当价格变动时供给量变动对价格变动的灵敏程度。3.优化问题利用导数概念去解决经济中的优化问题时,关键要

10、掌握经济问题中的概念与数学中的概念之间的关系.要正确理解边际、弹性、成本、收益、利润、需求、供给及平均成本、平均收益等经济问题中常见的概念, 要掌握有关的公式及其经济意义.要选择好合适的自变量,建立正确的目标函数. 例4 已知某企业的总收益函数为,总成本函数,其中表示产品的产量.求利润函数,平均成本函数,边际收益函数,边际成本函数,以及企业获最大利润时的产量及最大利润. 例5 某商品的成本函数为, （1）生产数量为多少时,可使平均成本最小? （2）求出边际成本.考察当平均成本最小时,边际成本与平均成本的关系.例6 某厂家生产的一种产品同时在两个市场销售,售价分别为;销售量分别为;需求函数分别为

11、总成本函数为 试问:厂家如何确定两个市场的售价,能使其获得的总利润最大?最大总利润是多少?4.三种情况下的利润最优化对于企业的经营管理者，厂商的收益R 主要是来自产品市场，等于产品的产量Q 与价格P 的乘积，而产品的产量由要素市场的生产要素决定，即Q=Q(L)；厂商的成本C 主要来自于要素市场，等于要素的数量L 与价格W 的乘积。为了研究的方便，假设厂商用一种生产要素生产一种产品。在经济管理中，厂商使用生产要素的目的是为了利润的最大化。为了达到利润的最大化，厂商必须让自己使用要素的“边际收益”和“边际成本”相等。4.1 完全竞争情况下在完全竞争情况下，厂商在产品市场和要素市场都是完全竞争的。在

12、产品市场上，产品的价格是既定的常数P，厂商获得的收益R 等于产量Q 与价格P 的乘积，即R=PQ，其中产量Q 由生产要素决定（Q=Q(L)），所以R=PQ(L)是关于要素L 的函数。在要素市场上，要素的价格是既定的常数W，厂商的成本C 等于要素的价格W 与数量L 的乘积，即C=WL。因此，厂商获得的利润=R-C=PQ(L)-WL。显然 是关于L 的函数，为了达到最大利润，必须使。所以PMP=VMP=W。4.2 卖方垄断情况下卖方垄断是指，厂商在产品市场（作为产品的卖方）是垄断者，而在要素市场（作为要素的买方）是完全竞争者。在产品市场上，厂商是垄断者，产品的价格由产品的产量决定，即P=P(Q)，

13、厂商的收益为R=P(Q)Q=P(Q(L)Q(L)。在要素市场上，厂商是完全竞争者，要素的价格是既定的常数W，厂商的成本为C=WL。因此，厂商的利润为=P(Q(L)Q(L)-WL。显然 是L 的函数，为了达到最大利润，必须使 其中，是产品的边际效益，记作MR。所以MRMP=W。令MRMP=MRP，则MRP=W（其中称MRP 为边际收益产量）。4.3 买方垄断情况下买方垄断是指，厂商在要素市场（作为要素的买方）是垄断者，而在产品市场（作为产品的卖方）是完全竞争者。在产品市场上，厂商是完全竞争者，产品的价格是既定的常数P，厂商的收益为R=PQ(L)。在要素市场上，厂商是垄断者，要素的价格由厂商拥有的要素数量决定，即W=W(L)，所以厂商的成本为C=W(L)L。因此，厂商的利润函数为=PQ(L)-W(L)L。显然 是L 的函数，为了达到最大利润，必须使参考文献：1 臧忠卿. 导数在经济分析中的应用J . 商场现代化,2006