数值分析实验题

1、数值分析实验报告第一题 实验题1.21、实验内容实验1.2 体会稳定性在选择算法中的地位，误差扩张的算法不稳定，而误差衰竭的算法是稳定的。分别采用E.1.6（即E.1.4）E1=1e,En=1-nEn-1,n=2，3和算法算法E.1.7（即E.1.5）En-1=1-Enn,n=N-1，N-2，3，2两种算法。2、源程序%function t_charpt1%数值试验1.2:误差传播与算法稳定性%输入:递推公式选择与递推步数%输出：各步递推值及误差结果，以及递推值和误差与递推步数的关系图 clear;clc;promps = 请选择递推关系式，若选(1.4),请输人1,否则输入2:;result

2、 = inputdlg(promps,charpt 1_2,1,1);Nb = str2num(char(result);if(Nb= 1)&(Nb= 2) errordlg(请选择递推关系式，若选(1.4),请输人1,否则输人2!); return;endresult = inputdlg(请输人递推步数 n:,charpt 1_2,1, 10);steps = str2num(char(result);if(steps1) errordlg(递推步数错误!); return;endresult = inputdlg(请输入计算中所采用的有效数字位数：,charpt 1_2,1,5);Sd

3、= str2num(char(result);format long %设置显示精度result=zeros(1,steps) ; %存储计算结果err=result; %存储计算的绝对误差func=result; %存储用库函数quadl计算出的积分的近似值%用库函数quadl计算积分的近似值 for n= 1:steps fun=(x) x.n.* exp(x-1); func(n) = quadl(fun,0,1);endif(Nb=1) %用算法(1.4)计算 digits(Sd); %控制有效数字位数 result(1) = subs(vpa(1/exp(1); for n=2:1:

4、steps result(n)=subs(vpa(1-n * result(n-1); end err=abs(result-func);elseif(Nb=2) %用算法(1.5)计算 digits(Sd); %控制有效数字位数 result(steps)=0; for n=steps:-1:2 result(n-1) = subs(vpa(1-result(n)/n); end err=abs(result-func);endclf;%清除当前图像窗口 disp(递推值：);disp(sprintf(%e , result);disp(误差：);disp(sprintf( %e ,err)

5、;plot(1:steps,result,-,LineWidth,2);set(gca,linewidth,0.5,fontsize,16);grid on hold on;plot(1:steps,err,r-,LineWidth,2);xlabel(steps n,FontSize,18);ylabel(En-and ERR n-,FontSize,18);legend(En,err(n);title(Algorithm (1., num2str(Nb+3),) Significant Digits , num2str(Sd),FontSize,18);% text(2,err(2),up

6、arrow err(n);% text(4,result(4),downarrow En);3、实验结果（1）算法E1.6，有效数字5位递推值：3.e-01 2.e-01 2.e-01 1.e-01 1.e-01 1.e-01 1.e-01 7.e-02 2.e-01 -1.e+00 误差： 5.e-07 1.e-06 3.e-06 1.e-05 6.e-05 4.e-04 2.e-03 2.e-02 2.e-01 2.02（2）算法E1.6，有效数字6位递推值：3.e-01 2.e-01 2.e-01 1.e-01 1.e-01 1.e-01 1.e-01 1.e-01 -6.e-02 1.

7、e+00 误差： 4.e-07 8.e-07 2.e-06 1.e-05 5.e-05 3.e-04 2.e-03 1.e-02 1.e-01 1.60（3）算法E1.6，有效数字7位递推值：3.e-01 2.e-01 2.e-01 1.e-01 1.e-01 1.e-01 1.e-01 1.e-01 7.e-02 2.e-01 误差： 4.e-08 8.e-08 2.e-07 9.e-07 4.e-06 2.e-05 2.e-04 1.e-03 1.e-02 1.49（4）算法E1.7，有效数字5位递推值：3.e-01 2.e-01 2.e-01 1.e-01 1.e-01 1.e-01 1

8、.e-01 1.e-01 1.e-01 0.e+00 误差： 5.e-07 1.e-06 3.e-06 3.e-06 2.e-06 1.e-05 1.e-04 9.e-04 8.e-03 8.38（5）算法E1.7，有效数字6位递推值：3.e-01 2.e-01 2.e-01 1.e-01 1.e-01 1.e-01 1.e-01 1.e-01 1.e-01 0.e+00 误差： 5.e-07 1.e-07 3.e-07 4.e-07 3.e-06 1.e-05 1.e-04 9.e-04 8.e-03 8.38（6）算法E1.7，有效数字7位递推值：3.e-01 2.e-01 2.e-01

9、1.e-01 1.e-01 1.e-01 1.e-01 1.e-01 1.e-01 0.e+00 误差： 5.e-08 1.e-08 1.e-07 5.e-07 2.e-06 1.e-05 1.e-04 9.e-04 8.e-03 8.384、结果分析采用算法E1.7（即算法E1.5）能得到更精确的结果，当然，有效数字越多，结果越准确。当采用算法E.1.6（即算法E.1.4）时：设En的真实值为En*,则真实值 En*=1-nEn-1* (1)又有 En=1-nEn-1 (2)(1)-(2)得： En*-En=-n(En-1*-En-1) (3)对(3)式两边取绝对值得 en=nen-1 (4

10、)由(4)可计算得 en=n!e1 (5) 当采用算法E.1.7（即算法E.1.5）时：同理：设En的真实值为En*,则真实值 En-1*=1-En*n (6)又有 En-1=1-Enn (7)(6)-(7)得： En-1*-En-1=-(En*-En)n (8)对(8)式两边取绝对值得 n=1nn-1 (9)由(9)可计算得 n=1n1n+11N-11NN (10)算法E.1.6（即算法E.1.4）的e1很小，当n增大时，en增长速度很快，而算法E.1.7（即算法E.1.5）中的N虽然比较大，但是当n减小时，n呈现递减趋势。所以比较两个算法，当某一步产生误差后，算法E.1.6（即算法E.1.

11、4）对后面的影响是扩张的，而算法E.1.7（即算法E.1.5）对后面的影响是衰减的。通过理论分析与计算实验，算法E1.7（即算法E1.5）更加稳定。第二题 实验题3.11、实验内容实验3.1 编制以函数为基的多项式最小二乘拟合程序2、源程序function charpt3format long;%数值实验三:含实验3.1和实验3.2%子函数调用:dlsa%输入:实验选择%输出:原函数及求得的相应插值多项式的函数的图像以及参数alph和误差rresult=inputdlg(请选择实验,若选3.1,请输入1,否则输入2:,charpt_3,1,1);Nb= str2num(char(result)

12、;if(Nb=1)&(Nb=2) errordlg(实验选择错误!); return;endx0=-1:0.5:2;y0=-4.447 -0.452 0.551 0.048 -0.447 0.549 4.552;n=3;%n为拟合阶次if(Nb=1)alph=polyfit(x0,y0,n);y=polyval(alph,x0);r=(y0-y)*(y0-y);%平方误差x=-1:0.01:2;y=polyval(alph,x);plot(x,y,k-);xlabel(x);ylabel(y);hold on;plot(x0,y0,*);title(离散数据的多项式拟合);grid on;el

13、se result=inputdlg(请输入权向量w:,charpt_3,1,1 1 1 1 1 1 1); w=str2num(char(result); a,b,c,alph,r=dlsa(x0,y0,w,n);enddisp(平方误差:,sprintf(%g,r);disp(参数alph:,sprintf(%gt,alph)%-functiona,b,c,alph,r=dlsa(x,y,w,n)%功能:用正交化方法对离散数据作多项式最小二乘拟合。%输入:m+1个离散点(x,y,w),x,y,w分别用行向量给出。%拟合多项式的次数n,0nm.%输出:三项递推公式的参数a,b,拟合多项式s(

14、x)的系数c和alph,%平方误差r=(y-s,y-s),并作离散点列和拟合曲线的图形m=length(x)-1;if(n=m) errordlg(错误:n=m!); return;end%求三项递推公式的参数a,b,拟合多项式s(x)的系数c,其中d(k)=(y,sk);s1=0;s2=ones(1,m+1);v2=sum(w);d(1)=y*w;c(1)=d(1)/v2;for k=1:n xs=x.*s2.2*w;a(k)=xs/v2; if(k=1) b(k)=0; else b(k)=v2/v1; end s3=(x-a(k).*s2-b(k)*s1; v3=s3.2*w; d(k+

15、1)=y.*s3*w;c(k+1)=d(k+1)/v3; s1=s2;s2=s3;v1=v2;v2=v3;end%求平方误差rr=y.*y*w-c*d;%,求拟合多项式s(x)的降幂系数alphalph=zeros(1,n+1);T=zeros(n+1,n+2);T(:,2)=ones(n+1,1);T(2,3)=-a(1);if(n=2) for k=3:n+1 for i=3:k+1 T(k,i)=T(k-1,i)-a(k-1)*T(k-1,i-1)-b(k-1)*T(k-2,i-2); end endendfor i=1:n+1 for k=i:n+1 alph(n+2-i)=alph(

16、n+2-i)+c(k) * T(k,k+2-i); endend%用秦九韶方法计算s(t)的输出序列(t,s)xmin=min(x);xmax=max(x);dx=(xmax-xmin)/(25*m);t=(xmin-dx):dx:(xmax+dx);s=alph(1);for k=2:n+1 s=s.*t+alph(k);end%输出点列x-y和拟合曲线t-s的图形plot(x,y,*,t,s,-);title(离散数据的多项式拟合);xlabel(x);ylabel(y);grid on;3、实验结果平方误差:2.17619e-05参数alph:1.99911-2.99767-3.9682

17、5e-050.4、结果分析利用最小二乘法作曲线的拟合，对实验3.1给出的数据作的三次多项式的图形和数据节点拟合得较好。平方误差的数量级是10的-5次方，因此拟合效果很好。最小二乘曲线拟合实际上是在离散情形下的最佳平方逼近.由于实验观测数据本身带有误差,所求的近似曲线并不要求过所有的给定点,只要求逼近函数能反映数据的变化趋势,最好的标准是要求观测函数(xi)与yi的偏差yi-(xi)的平方和i=1Nyi-(xi)2最小。第三题 实验题4.11、实验内容实验4.1 复化求积公式计算定积分2、源程序function charpt4%数值实验四：含“实验4.1：复化求积公式计算定积分”和“实验4.2：

18、高斯数值积分法用于积分方程求解”%子函数调用：CG_L_I function(复化Gauss_Legendre I)公式、CTrapezia(复化梯形公式）、CSimpson(复化Simpson公式）%输入：实验选择、积分法选择、积分式题号选择%输出：积分（实验4.1）或方程解（实验4.2）的精确值和数值解及误差 result=inputdlg(请选择实验,若选4.1,请输入1,否则输入2:,charpt4,1,1); Nt=str2num(char(result); if(Nt=1)&(Nt=2)errordlg(实验选择错误！);return;end promps=请选择积分法,若用复化梯

19、形,输入T,用复化Simpson,输入S,用复化Gauss_Legendre,输入GL:; result=inputdlg(promps,charpt4,1,T); Nb=char(result); if(Nb=T & Nb=S & Nb=GL)errordlg(积分公式选择错误！);return;end if(Nt=1) result=inputdlg(请输入积分式题号14:,实验4.1,1,1); Nb_f=str2num(char(result); if(Nb_f4)errordlg(没有该积分式!);return;end switch Nb_f case 1 fun=inline(-2

20、./(x.2-1);a=2;b=3; case 2 fun=inline(4./(x.2+1);a=0;b=1; case 3 fun=inline(3.x);a=0;b=1; case 4 fun=inline(x.*exp(x);a=1;b=2; end tol=0.5e-7;h=0.01; if(Nb=T)%用复化梯形公式 t=(fun(a)+fun(b)*(b-a)/2; k=1;t0=0; while(abs(t-t0)=tol*3) t0=t;h=(b-a)/2k; t=t0/2+h*sum(fun(a+h:2*h:b-h); k=k+1; end elseif(Nb=S)%用复化

21、Simpson公式 t=quad(fun,a,b,tol); elseif(Nb=GL)%用复化Gauss_Legendre I N=floor(b-a)/h);t=0;xk=0; for k=0:N xk=a+k*h+h/2; t=t+fun(xk-h/(2*sqrt(3)+fun(xk+h/(2*sqrt(3); end t=t*h/2; end elseif(Nt=2) result=inputdlg(请输入方程式题号1或2:,实验4.2,1,1); Nb_f=str2num(char(result); if(Nb_f=1 & Nb_f=2)errordlg(没有该方程式!);return;end result=inputdlg(请输入步长:,实验4.2,1,0.01); h=str2num(char(result); if(h 实验4.1题(1)的计算结果:-0.40547精确解:ln2-ln3=-0.绝对误差:1.3944e-008 实验4.1题(2)的计算结果:3.1416精确解:pi=3.979绝对误差:3.9736e-008 实验4.1题(3)的计算结果:1.82