高中数学（必修1）第1章13函数的奇偶性

1、高中数学 第二章 函数第三节 函数的奇偶性（第一课时）讲课稿德阳市中江城北中学 姚志华教材：人教版全日制普通高级中学教科书（必修）数学第一册（上）一：情景设置提出问题：同学们，上一节我们学习了的函数的单调性，大家还记得我们是用什么方式来研究的吗？学生回答（众）：数形结合教师分析：对，我们是“利用函数的图象来理解函数的性质”，是先从函数的图象看出“随着自变量的增大函数值随之增大或减小”，然后利用函数解析式（从数的角度）进行研究。这一节我们继续学习函数的另一个性质。请大家请观察一下站在你们面前的老师具有怎样的数学特征？把老师画下来是个“轴对称图形”，左耳与右耳是对称的，左眼与右眼是对称的，左手与手

2、耳是对称的，这是我们初中学过的对称图形知识，那么大家还记得什么叫轴对称图形？什么叫中心对称图形？学生回答：沿着一条直线对折后的两部分能够完全重合的图形叫轴对称图形。图形围绕某一个点旋转1800得到的图形与原图形重合的图形叫中心对称图形。大自然的物质结构是用对称语言写成的，生活中的对称图案、对称符号丰富多彩，十分美丽（演示4个图形）。教师分析：这一章我们学习的是函数，函数的图象也是一种图形，当函数的图像也是轴对称图形或中心对称图形时，我们又如何利用函数的解析式来刻画函数图象的几何特征呢？二：基本知识（一）偶函数概念Oxy教师提问：请大家观察函数y=x2与函数y=|x|2的图像有什么特征？大家能否

3、用对称的观点来研究函数的图象呢？（1）反映在形：函数图像是轴对称图形，对称轴是y轴。即若点（x，f（x）是函数y=x2图像上的任意一点，则它关于y轴的对称点（x，f（x）也在函数y=x2的图像上，这样的函数称之为偶函数。（2）反映在数上：对于函数y=x2有x3210123f（x）=x29410149对于函数y=|x|2有x3210123f（x）=|x|21012101f（1）=（1）2=12=f（1）；f（2）=（2）2=22=f（2）；f（）=（）2=（）2=f（）；（不完全归纳法），这里的数是取之不完的，因此与函数单调性一样，利用字母x代替。教师分析：我们的上述活动实际上已经完成了这样的数

4、形对应：形的特征数的特征图象横坐标成相反数函数自变量成相反数图象纵坐标相等函数值相等横坐标成相反数时纵坐标相等当x1=x时，f（x）=f（x）图象性质：关于y轴对称f（x）=f（x）也就是说，若自变量x取一对相反数，则函数值相等，即f（x）=（x）2=f（x）（这一结论是猜想出来的）。于是得到偶函数的概念：如果对于函数y=f（x）的定义域内任意一个x，都有f（x）=f（x），那么函数y=f（x）是偶函数。任意的含义（因x取不尽，所以利用任意来定义）【例1】已知偶函数f（x）=ax2+bx+3a+b的定义域为a1，2a，求函数y=f（x）的解析式。答案：f（x）=x2+1。变式：已知偶函数f（x

5、）=ax2+bx+c，x2a+1，a2，求a，b的值。教师分析：大多数学生都能通过偶函数的定义出发由f（x）=f（x），得b=0，而如何求a呢？教师提问：函数f（x）=3x2，x0，2是偶函数吗？为什么？学生回答：不是，因为函数的图象不关于y轴对称。教师提问：导致函数图象不关于y轴对称的根源在哪里？学生回答：函数的定义域不关于原点对称。教师分析：也就是说，偶函数的定义域有何特点？学生回答：必须是关于原点对称的集合。Oxy教师点评：通过自然界的对称实例和对于函数y=x2与函数y=|x|2图像的直观观察，学生头脑中建立了函数奇偶性的直观表象，学生初步理解了函数奇偶性的几何意义，这样的引入有助于帮助

6、学生找准新旧知识的连接点，唤起与新知相关的旧知，使学生的原认知结构对新知识的学习具有某种“召唤力”。（二）奇函数概念教师问题：与研究偶函数概念的方法一样，请大家考察函数y=与函数y=x3的图像具有怎样的对称性？学生回答：关于原点对称提出问题：从函数函数y=与函数y=x3本身而言，其特点是什么？（1）反映在数上：f（1）=（1）3=13=f（1）；f（2）=（2）3=23=f（2）；f（）=（）3=（）3=f（）（不完全归纳法），也就是说，若自变量x取一对相反数时，则函数值也得到一对相反数，即f（x）=（x）3=f（x）。（2）反映在形上：若点（x，f（x）是函数y=x3图像上的任意一点，则它关

7、于原点的对称点（x，f（x）也在函数y=x3的图像上，这样的函数称之为奇函数。教师分析：我们的上述活动实际上已经完成了这样的数形对应：形的特征数的特征图象横坐标成相反数函数自变量成相反数图象纵坐标成相反数函数值成相反数横坐标成相反数时纵坐标成相反数当x1=x时，f（x）=f（x）图象性质：关于关于原点对称f（x）=f（x）于是得到奇函数的概念：如果对于函数y=f（x）的定义域内任意一个x，都有f（x）=f（x），那么函数y=f（x）是奇函数。（三）奇偶函数概念的几点说明：（1）整体性：奇偶函数是定义在整个定义域上的概念，这与函数的单调性截然不同；（2）任意性：定义中的x必须是定义域内的任意一个

8、值，不能通过某些值或无穷多个值来判定函数的的奇偶性；（3）定义域的对称性：从奇偶函数概念可知，若f（x）有意义，则f（x）一定有意义，说明x与x是同时在函数y=f（x）的定义域内，也就是x与x是成双成对出现，换句话说，函数y=f（x）的定义域是关于原点对称。（4）奇偶函数的分类：既然一个函数可以是奇函数，可以是偶函数，请问大家能否可以根据函数奇偶性将函数进行分类呢？（1）奇偶函数；（2）偶函数；（3）非奇非偶函数；（4）既是奇函数又是偶函数。教师问题：若一个函数是奇（偶）函数，请问大家怎样判定一个函数是奇函数还是偶函数呢？【例2】试判断下列函数是奇函数还是偶函数？（1）y=x2，xR；x1，1

9、；x1，1；（2）f（x）=。第一步：求函数的定义域（若关于原点对称，则转入第二步；若不对称，则是非奇非偶函数）；第二步：求f（x）；第三步：与f（x）进行比较：若f（x）=f（x），则函数y=f（x）是偶函数；f（x）=f（x），则函数y=f（x）是奇函数。【例3】试判断下列函数是奇函数还是偶函数（1）y=x3+2x；（2）y=2x4+ 3x2；（3）y=2x2+1，x1，2；（4）y=x2+2x+5；答案：（1）奇函数；（2）偶函数；（3）非奇非偶函数；（4）非奇非偶函数；【例4】试判断下列函数是奇函数还是偶函数（1）f（x）=+；（2）f（x）=|x+4|+|x4|；（3）f（x）=+；

10、（4）f（x）=。答案：（1）既是奇函数又是偶函数；（2）偶函数。（3）非奇非偶函数；（4）奇函数。引申：试判断下列函数是奇函数还是偶函数（1）f（x）=a；（2）f（x）=|x+b|+|xb|；（3）f（x）=xnxn。答案：（1）当a=0时，既是奇函数又是偶函数；当a0时，偶函数。（2）当b=0时，既是奇函数又是偶函数；当b0时，奇函数。（3）当n=0时，既是奇函数又是偶函数；当n0时，若n为奇数，则f（x）为偶函数；若n为偶数，则f（x）为偶函数。三：基本小结四：课外阅读数学概念的教学方法：旁敲侧击式为了让学生深刻理解“必要条件”的概念，可以让学生完成下面问题：【例】已知函数f（x）=+

11、a是奇函数，则a=_。学生分析：学生往往会根据奇函数的充要条件f（x）+f（x）=0得到a=。教师分析：引导学生思考：函数f（x的定义域中有0吗？由函数f（x）为奇函数可以得到什么结论？学生会发现f（x）为奇函数的必要条件是f（0）=0，于是很快得到a=，但必须验证函数f（x）是奇函数。不直接正面叙述“必要条件”，而是在解题中，从一个侧面揭示概念的重要性，让学生在两种解法中加深了对“必要条件”的理解。五：课后补记（1）定义域的对称性是奇偶函数的本质属性之一，因为f（x）、f（x）就意味着函数在x与x处都有意义，换句话说，若函数y=f（x）的定义域不关于原点对称，则y=f（x）既不是奇函数也不是

12、偶函数。（2）f（x）=f（x）或f（x）= f（x）是奇偶函数的另一本质属性，因为这是依据定义而可以证明的，这是函数一个非常特殊的性质，也并不是所有的函数都具有这种性质。（3）判断函数的奇偶性的方法：定义法；图像法。（二）例题补记【例1】试判断下列函数是奇函数还是偶函数：（1）y=；（2）y=。答案：（1）奇函数；（2）偶函数。引申：试判断下列函数是奇函数还是偶函数（1）已知函数f（x）是奇函数，且当x0时，f（x）=x|x2|，求当x0时函数f（x）的解析式；（2）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x（0，+）时，f（x）=x（1+），求函数f（x）的解析式。答案：f（x）=。点拨

13、：若函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，则f（0）=0。换句话说，奇函数图像只要与y轴相交，交点必然过原点。高中数学 第二章 函数 第三节 函数的奇偶性（第2课时）讲课稿德阳市中江城北中学 姚志华省略号的体现教材：人教版全日制普通高级中学教科书（必修）数学第一册（上）一：知识回顾1：偶函数概念：如果对于函数y=f（x）的定义域内任意一个x，都有f（x）=f（x），那么函数y=f（x）是偶函数。2：奇函数概念：如果对于函数y=f（x）的定义域内任意一个x，都有f（x）=f（x），那么函数y=f（x）是奇函数。二：基本知识（一）奇偶函数的图像特征：定理1：y=f（x）为奇函数y=f（x）的函数的

14、图像关于原点对称。定理2：y=f（x）为偶函数y=f（x）的函数的图像关于y轴对称。分析：证明对称的基本思想：（1）同一个图形上对称的证明：证明图形上任意一点关于该点（线）的对称点也在该图形上即可；（2）两个图形上对称的证明：证明其中一个图形上任意一点关于该点（线）的对称点在第二个图形上；证明第二个图形上任意一点关于该点（线）的对称点在第一个图形上，当且仅当两个方面都具备时，命题才成立。证明：设奇函数y=f（x）上的任意一点A（a，f（a），则此点关于原点的对称点为A（a，f（a），又f（a）=f（a），从而A点关于原点的对称点为A（a，f（a），故A也在奇函数y=f（x）的函数的图像上，故命

15、题成立。（二）奇偶函数的图像在对称区间上的单调性：定理1：奇函数在对称区间上具有相同的单调性（同增同减性）；定理2：偶函数在对称区间上具有相反的单调性（一增一减性）。三：基本例题例1：若函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，且方程f（x）=0有三个实数根x1、x2与x3，则（ B ）（A）1 （B）0 （C）3 （D）无法确定例2：设函数y= f（x）是定义在R上的奇函数，当x0时，f（x）=x22x+3，并画出它的图像，根据图像指出函数的单调区间。例3：已知函数f（x）与g（x）都是定义在R上的奇函数，若F（x）=af（x）+bg（x）+2且F（2）=5，则F（2）=_。分析：若令h（x）=

16、 af（x）+bg（x），则可知h（x）为奇函数，从而h（2）=h（2），于是依据题意求出h（2），从而问题迎刃而解。点拨：本题的解法运用了整体思想，即将af（x）+bg（x）视为一个整体，从而使解题的思路清晰、简捷，这种方法值得借鉴。变式：已知f（x）=x5+ax3+bx8，且f（2）=10，则f（2）=_。答案：f（2）=26。例4：已知奇函数y=f（x）在（1，1）是增函数，若f（a2）+f（4a2）0，求实数a的取值范围。变式：已知奇函数y=f（x）是定义R上的偶函数，若函数y=f（x）在（，1）单调递增，且f（2a2+a+1）f（3a22a+1），求实数a的取值范围。答案：0a3例5

17、：若函数f（x）与g（x）都是奇函数，且F（x）=af（x）+bg（x）+2在（0，+）上有最大值8，求F（x）的最小值。例6：若函数y=f（x）在(0,2)上是增函数，函数F（x）=f（x+2）是偶函数，试比较f(1),f(),f()的大小。分析：函数F（x）=f（x+2）是偶函数有f（x+2）=f（x+2）,于是可以得答案： f()f(1)f()。例7：已知函数f（x）=（a、b、cZ）是奇函数，且f（1）=2，f（2）3，试求函数y=f（x）的解析式。答案：f（x）=。四：课后补记例1：已知函数y=f（x）满足f（x+y）=f（x）+f（y）（x，yR）。（1）求证：函数y=f（x）是奇

18、函数；（2）若f（3）=a，试用a表示f（24）；（3）若xR+，f（x）0，且f（1）=0.5，试求y=f（x）在区间2，6上的最值。分析：本题的关键是y=f（x）满足一个恒等式f（x+y）=f（x）+f（y），依据解题的需要，必须充分利用这一恒等式f（x+y）=f（x）+f（y），进行灵活地对x、y进行赋值，并进形变换，以达到证明所需的结论。答案：（3）3f（x）1。五：课外阅读（一）从生活中的图形到数学中的图象概念的第一次归纳教师分析：生活中的很多例子具有另外一些独特的性质，请大家看看这样的一些实例（演示4个图形），大家观察上述图形有什么性质？学生回答：对称图形，教师分析：什么样的对称图形？学生回答：中心对称图形，图形围绕一个点旋转1800得到的图形与原图形重合，教师分析：很好，第一个图形是中心对称图形，那么第二个图形呢？大家观察它的性质学生回答