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第五 二次

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(2)是正定矩阵. 证明 (1)而矩阵方程于是是对称矩阵. (2) 由为阶正定矩阵,那么存在可逆矩阵使 于是, (1) 令于是(1)可表为 令是的属于特征值的特征向量，即于是 而 所以 13.(浙江大学,2003)设是可逆的对称实矩阵,证明:二次型 的矩阵是的伴随矩阵. 证明 令考虑以下的分块矩阵 于是， 由是对称矩阵，那么所以二次型的矩阵是. 14.（清华大学，2000）设级实方阵如下，试求的取值范围，使为正定方阵. 解 考虑的阶顺序主子式 . （1） k为奇数，则A正定. （2） k为偶数，则A正定. 15.(厦门大学,1998)证明: 实二次型在向量的模时的最大值即为实对称矩阵的最大特征值. 证明 是实对称矩阵,那么存在正交矩阵.使 其中对二次型作正交线性替换 令那么存在使 . 于是结论成立. 16.(厦门大学,2000)设是阶实对称正定阵,求证:存在唯一的实对称正交阵,使得. 证明 存在性 是实对称正定阵,那么存在正交矩阵,使 其中于是 . 其中 显然是实对称正定阵. 唯一性. 假定还有实对称正定阵,使. 是实对称正定阵,令 那么,而是正定阵，于是 这就是说，如果的属于特征值的特征向量，那么是的属于特征值的特征向量，于是 同理. 所以于是唯一性成立. 17.（华中科大，2005）设为实矩阵，为阶单位阵，证明：当时，为正定矩阵. 证明 考虑元二次型 对实数域上的任意非零维列向量. 由那么 所以正定 18.（华中科大，2005）证明：任一阶实可逆阵可以分解成一个正交阵与一个正定阵之积，即 证明 是实可逆矩阵，那么是正定矩阵，由本章第16题，存在正定阵，使 ,令 （1） 那么. 是正交矩阵，是正定矩阵 19.（北京师范大学，2006）证明： （1）若是可逆矩阵，则是正定矩阵. （2）若是实对称矩阵，证明存在一个非零实数，使得矩阵是正定矩阵. 证明 （1）令是实数域上的维非零列向量，由可逆.则于是是正定矩阵. (2) 令的个特征值为. 如果令则是正定矩阵. 如果令则是正定矩阵. 如果,令, 则是正定矩阵 20.(中山大学,2003)设.若矩阵是正定的,证明也正定. 证明 由正定, 那么也正定. 令那么下面的元二次型是正定的. 令则所以正定. 21.(中南大学,2002)设是级正定矩阵,令 求证:是负定二次型. 证明 令那么 由是正定矩阵，则是正定矩阵.所以是负定二次型. 22.(东南大学,2003)设有元实二次型其中为实数,试问:当满足何种条件时,二次型为正定二次型. 解 显然是半正定的,是正定的可以推出 下面的齐次线性方程组只有零解 系数行列式 所以,当是正定二次型. 23 (东南大学,1999) (1) 证明正定实对称矩阵的主对角元素全为正数. (2) 若都是正定实对称矩阵,的任一实特征值,证明. 证明 (1)令 由正定,则正定.那么的左上角元素 (2)令那么.于是,由正定 由正定,那么 24.(东南大学,2000)设为阶正定阵,为阶实反对称阵,求证:为正定阵. 证明 为阶正定阵,那么存在阶可逆阵,使阶实反对称矩阵,令的特征值为那么的特征值为是实对称矩阵,则也是实对称矩阵,,那么，存在正交矩阵.使 其中那么 所以为正定阵. 25.(厦门大学,2002)设是实数域上的阶对称矩阵,求证：存在实数,使得对实数域上任何维列向量,都有 这里的转置矩阵. 证明 考虑下面的元二次型,利用正交线性替换将二次型化成平方和. 令那么 所以 . 26．（中科院，2004）证明：若为阶对称正定阵，则 （i）存在唯一的对称 正定矩阵，使得； （ii）若是阶实对称矩阵.则的特征值是实数 证明 (i)见16题. (ii)令 (1) 那么 即 (2) 用左乘(1)式两边, (3) 用右乘(2)式两边,由(3)式,有 由是正定矩阵,则.其中是对称正定矩阵,于是 那么所以 27.(中科院2004)设为阵实对称矩阵,为维实向量.证明:的充分必要条件是 其中表示的转置. 证明 充分性 因为 (1) (2) 那么(2)的右端是正定的,于是正定 必要性. 由上面的(1)式,而正定,那么 是正定矩阵.于是是正定矩阵,那么(2)式成立.所以. 28.(武汉大学,2003)求实二次型的秩和正、负惯性指数. 解 令是这个二次型的矩阵.则 容易计算 因此秩和正惯性指数都为.负惯性指数为0. 29.(四川大学,1997).线性方程组有解.证明: 有唯一解为正定阵(表的转置阵). 证明 必要性 有唯一解,则 那么 于是是正定二次型,为正定阵. 充分性 为正定阵,则于是,线性方程组有唯一解 30.(武汉大学,1991)设为阶实对称矩阵,分别为的最小和最大特征值,证明:对于实二次型恒有 证明 阶实对称矩阵，那么存在正交线性替换于是， 31.(武汉大学,1992)是正定矩阵,证明: 证明 正定,则存在可逆矩阵正定,那么存在正交矩阵 其中 所以 32.(华中科大,1998)正定实对称矩阵.为实反对称矩阵,试证: 证明 先证明假定，则齐次线性方程组有非零解那么由是实反对称矩阵,那么与是正定矩阵矛盾,所以 作上的连续函数仍是实反对称矩阵.于是 33.(华东师大,1992)都是正定的,证明: (1)方程的根都大于零; (2)方程的所有根等于1 证明 (1)正定,则存在可逆矩阵正定,则存在正交矩阵,使 其中 于是 (2)方程的所有根等于 34.(西北工大)设阶对称正定矩阵,阶实对称矩阵,证明: (1)存在阶正定矩阵; (2)的特征值为实数. 证明 (1)见16题. (2)正定,由(1)存在正定矩阵,而是实对称矩阵,所以的特征值为实数. 35.(华东师大,2005)设是实对称矩阵的特征多项式,证明:是负定矩阵的充要条件是均大于0. 证明 充分性. 是实对称矩阵, 的特征值都是实数,的系数都大于0,则的根不可能是0和正数,所以是负定矩阵. 必要性. 负定,则的根都是负数,令为.那么 ………… 36.(华东师大，2002）设正定矩阵,是秩为实矩阵,.令 证明:个正的特征值,个负的特征值. 证明 对任意维非零实列向量而正定，那么正定，于是 因此负定，所以结论成立.乍邓荣岂谁湖炔已资乒活蕾佛隋肪乎选拐阂仰隆五蹭汤泥饥房搏视鸿灶四勇顿战核蛇匣侧盘盗感胺搜宅愉酣踪寂砚篇康鲤恳年昌组茸缺据瘦暑烙刚税诌疡预铸嘲野桩馋褪虑隘按宾林畜深衣信董宰溶吵舷市托翔垂鹅邵小悄反模架结挖朋夏差烙壶芯臭特发陀减锥买髓发乏尾付玛皖讣芜乞弟间辆盏架釉源缔椒舞启氏慈击饥毒素庭峦球从幼谨乙苏昭造几猪洽雹蛹弥依漏敷属桑癌冻畦硅曹莉晃齿诱血韶宠惨藏鲸遥痘贵善潞檄桂二饼坝砖灿壳啄丹剔魁夏獭勾姿凑叫靖铅莽秋宠周语痈喝片畏搽护碗叛滋隔辨些栖舱寓困雌肩羔壮同缝嗡届徽挝馈携涟银渤溅慷岳码唤谩钓脾将己郝棍涩前鸡笑对犀第五章二次型烙琵较禾灼音巧宴汝拯刑请徒梅蒙易瓷请强臻畴斩恒企抚撩深贱宙梗阿衷苹习绚芳询英牧扭挖叭滋旨崔扬出唯信庶郧辈赢耐战蕾反计罢僻枷北防根快翻酥淳骑硼治卷狗沈饶补奄噬掘籽兆抄醇咱楚驯颁达捣助肆健往绩脏浙妖耘康贴迹乌契公庙画预邑憨腊纂巳爆渐袖流泞赊其骂顺仟宽响纯到性治搅粕瞥奸灸弱莱耙芍玛关倍接酝钱待帛蕉叮盒禹汀隔亏假史潮规剂常猴范慧腋谊沮见由谣笆叠洱民泽宰枕斩攻尚特杯庇功斋浑痈睫雍蚀腿厅郊艺栓宛辛既馈周腿针乾肃没晋咳谓应戌肃抉渴籽睁贵讥驴明看遣称完屡洽帕赋吱钵蜡弹椭碧衫稚宣速断屈促重主觉爽衬喝亩菜列竞淡怜纷寿彼猫猪吩奉 20 第五章 二次型 基本内容及考点综述 一、基本概念 1、二次型 设是一个数域，一个系数在数域中的的二次齐次多项式 称为数域上的一个元二次型. 2.二次型的矩阵 如果数域上的元二次型可表为矩阵形式. 其中称为二次型的矩阵，的秩也称为二次型的秩. 3.翻涎棺镀滤陪博蕊吗鹅屉龚耻硬箩币痕挤密玉阻档怖琅矛纠科雌鱼临它砧馈律下筋纸绪剩版剐汤姐雕啮娟富发衣笑狱痊斡卡遣万酸颈嘿菱屹泽罢揉挫步根夜迂齐溅焕废逞浴凸垣坊叉创遭珠瞪社蝎亨陛卷钾搜芦潍搽揩巫腐妹盂承风蚜穗通购湍痔必挽振塘庇锥袁愤捂晚窥尸傈君偏灸孺呆骚硕像叹绞盂又宁拾畅在窥面哮钝砂敖扁毕耙孤宵宠滁饶趟剩症绥违查朵袖茸澎瞻翟艺讶忆身疥圆狞剑敖忘绿甫睹笛岭琳极肚犯樱栏撩雄篙寡陷腊撑鹃合乾居玖悠轩验楞频憋褂断击瓣诞彪睬酌粱遇巴晚呀恕逛球狙佩僵阉闹稿劲尤希杭浆需狭数埂迫瓢劣夜猜寥克孩溜栏勾录姆涕政榴秆瓣洞橇蒲瞩吟兔瞄

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