人教版初三数学二次函数知识点及难点总结

1、初三数学二次函数知识点总结二次项系数 a 决定二次函数图像的开口方向和大小.当 a0 时 , 二次函数图像向上开口；当 a0 时, 抛物线向下开口 . |a| 越大 , 则二次函数图像的开口越小 .1、决定对称轴位置的因素一次项系数 b 和二次项系数 a 共同决定对称轴的位置 .当 a 与 b 同号时（即 ab0）, 对称轴在 y 轴左； 因为对称轴在左边则对称轴小于0, 也就是 - b/2a0,所以 b/2a 要小于 0, 所以 a、b 要异号可简单记忆为左同右异 , 即当 a 与 b 同号时（即 ab0）, 对称轴在 y 轴左；当 a 与 b 异号时（即 ab 0 ）, 对称轴在 y 轴右

2、 .事实上 ,b 有其自身的几何意义：二次函数图像与y 轴的交点处的该二次函数图像切线的函数解析式（一次函数）的斜率k 的值 . 可通过对二次函数求导得到.2、决定二次函数图像与y 轴交点的因素常数项 c 决定二次函数图像与y 轴交点 .二次函数图像与y 轴交于（ 0，c)一、二次函数概念：1二次函数的概念：一般地，形如yax2bxc （ a ，b ，c 是常数，a0 ）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a0 ，而 b ，c 可以为零二次函数的定义域是全体实数2. 二次函数 y ax 2 bx c 的结构特征： 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式， x

3、 的最高次数是 2 a ，b，c 是常数， a 是二次项系数， b 是一次项系数， c 是常数项二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式： y ax2 的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。a 的符开口方顶点坐对称性质号向标轴x 0 时， y 随 x 的增大而增大； x0a0向上0 ，0y 轴时， y 随 x 的增大而减小； x0 时，y 有最小值 0 x 0时， y 随 x 的增大而减小； x0a0向下0 ，0y 轴时， y 随 x 的增大而增大； x0 时，y 有最大值 0 2.y ax2c 的性质：上加下减。a 的符开口方顶点坐对称性质号向标轴x0时， y 随 x 的增大而增大

4、；a0向上0 ，cy 轴x0时， y 随 x 的增大而减小；x0时， y 有最小值 c x0时， y 随 x 的增大而减小；a0向下0 ，cy 轴x0时，y 随 x 的增大而增大时， y 有最大值 c 3.ya xh 2 的性质：左加右减。a 的符开口方顶点坐对称性质号向标轴xh 时，y 随 x 的增大而增大；a0向上h ，0x=hxh 时，y 随 x 的增大而减小；xh 时，y 有最小值0 xh 时，y 随 x 的增大而减小；a0向下h ，0x=hxh 时，y 随 x 的增大而增大；xh 时，y 有最大值0 4.2k 的性质：y a x ha 的符开口方顶点坐对称性质号向标轴x h 时， y

5、 随 x 的增大而增大；a 0向上h ，kx=hx h 时， y 随 x 的增大而减小；x h 时， y 有最小值 k x h 时， y 随 x 的增大而减小；a 0向下h ，kx=hx h 时， y 随 x 的增大而增大；x h 时， y 有最大值 k 三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一： 将抛物线解析式转化成顶点式 y a x h2k ，确定其顶点坐标 h ，k ；保持抛物线 yax2 的形状不变，将其顶点平移到h ，k 处，具体平移方法如下：向上 (k0)【或向下 (k0)【或左 (h0)【或左 ( h0)【或左 (h0)【或下 ( k0) 【或下 (k0) 】平移 |k |个

6、单位y=a (x-h) 2+k2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”概括成八个字“ 左加右减，上加下减 ”方法二：yax2bxc 沿y 轴平移 :向上（下）平移m 个单位，yax 2bxc 变成yax2bxcm （或yax 2bxcm ）yax2bxc 沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，yax 2bxc 变成ya( xm) 2b( xm)c （或ya( xm) 2b(xm)c ）四、二次函数 y a x h2ax2bxc的比较k 与 y从解析式上看， ya x2k 与 yax2bx c 是两种不同的表达形式，后者通过配hb2b2b4ac2方可以得到前者

7、，即4ac，其中byaxh，2a4a2a4a五、二次函数 y ax2bxc 图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数y ax2bxc 化为顶点式 ya(xh) 2k ，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图. 一般我们选取的五点为： 顶点、与 y 轴的交点0 ，c 、以及 0 ，c 关于对称轴对称的点2h ，c 、与 x 轴的交点 x1 ，0 ， x2，0 （若与 x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与 y 轴的交点 .六、二次函数 y ax2bxc 的性质1.当 a0 时，抛物线开口向

8、上，对称轴为xb ，顶点坐标为b ，4acb22a2a4a当 xb时， y 随 x 的增大而减小；当 xb时， y 随 x 的增大而增大；2a2a当 xb时， y 有最小值 4ac b22a4a2.当 a0 时，抛物线开口向下，对称轴为xb ，顶点坐标为b ，4acb22a2a4a当 xb时， y 随 x 的增大而增大；当 xb 时， y 随 x 的增大而减小；2a2a2当 xb时， y 有最大值 4ac b 2a4a七、二次函数解析式的表示方法1.一般式： yax2bx c （ a ， b ， c 为常数， a0 ）；2.顶点式： ya(xh) 2k （ a ， h ， k 为常数， a0）

9、；3.两根式： ya(xx1 )(xx2 ) （ a 0 ， x1 ， x2 是抛物线与注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，都可以写成交点式，只有抛物线与 x 轴有交点，即x 轴两交点的横坐标） . 但并非所有的二次函数2b4ac0 时，抛物线的解析式才可以用交点式表示二次函数解析式的这三种形式可以互化 . 八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数 a二次函数 y ax2bx c中， a 作为二次项系数，显然 a 0 当 a 0时，抛物线开口向上， a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； 当 a0 时，抛物线开口向下， a 的值越小，开口越小，反之a

10、 的值越大，开口越大总结起来， a 决定了抛物线开口的大小和方向， a 的正负决定开口方向， a 的大小决定开口的大小2. 一次项系数 b在二次项系数 a 确定的前提下， b 决定了抛物线的对称轴 在 a0 的前提下，当 b0 时，b0，即抛物线的对称轴在 y 轴左侧；2a当 b0 时，b0，即抛物线的对称轴就是 y 轴；2a当 b0 时，b0，即抛物线对称轴在 y 轴的右侧2a 在 a0的前提下，结论刚好与上述相反，即当 b0时，b0，即抛物线的对称轴在 y 轴右侧；2a当 b0 时，b0，即抛物线的对称轴就是 y 轴；2a当 b0 时，b0，即抛物线对称轴在 y 轴的左侧2a总结起来，在

11、a 确定的前提下， b 决定了抛物线对称轴的位置ab 的符号的判定：对称轴 xb 在 y 轴左边则 ab 0，在 y 轴的右侧则 ab0 ，2a概括的说就是“左同右异”总结：3. 常数项 c 当 c 0 时，抛物线与 y 轴的交点在 x 轴上方，即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为正； 当 c0 时，抛物线与 y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0 ； 当 c0 时，抛物线与 y 轴的交点在 x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负总结起来， c 决定了抛物线与y 轴交点的位置总之，只要 a ，b ，c都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的二次函数解析式的确定：根据已知条件确定

12、二次函数解析式，通常利用待定系数法用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便 一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与 x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达1. 关于 x 轴对称yax2bxc 关于 x 轴对称后，得到的解析式是yax2bxc ；ya x2k 关于 x 轴对称后，得到的解析式是ya2k ；hx h2.

13、 关于 y 轴对称yax2bxc 关于 y 轴对称后，得到的解析式是yax2bxc ；ya x2k 关于 y 轴对称后，得到的解析式是yax2k ；hh3. 关于原点对称yax2bxc 关于原点对称后，得到的解析式是yax2bxc ；ya xh2ya xh2；k 关于原点对称后，得到的解析式是k4.关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180）2yax2bxc 关于顶点对称后，得到的解析式是yax2bxcb ；2 aya x2k 关于顶点对称后，得到的解析式是yax h2k h5. 关于点 m，n 对称2k 关于点 m，n 对称后，得到的解析式是2y a x hy a x h 2m2n k根据对称

14、的性质，显然无论作何种对称变换， 抛物线的形状一定不会发生变化，因此 a 永远不变 求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向， 再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程 ax2bxc0 是二次函数yax2bxc 当函数值 y0 时的特殊情况 .图象与 x 轴的交点个数： 当24ac 0 时，图象与 x 轴交于两点 a x1 ，0 ，b x2 ，0 ( x1x2

15、 ) ，其中的 x1 ，x2 是b一元二次方程 ax2bx c 0 a 0 的两根这两点间的距离 abx2 x1b 24ac .a 当0时，图象与 x 轴只有一个交点； 当0时，图象与 x 轴没有交点 .1当 a0 时，图象落在 x 轴的上方，无论 x 为任何实数，都有 y0 ；2当 a0 时，图象落在 x 轴的下方，无论 x 为任何实数，都有 y 0 2. 抛物线 yax2bx c 的图象与 y 轴一定相交，交点坐标为 (0 ， c) ；3. 二次函数常用解题方法总结：求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程； 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶

16、点式；根据图象的位置判断二次函数yax2bxc 中 a ， b ， c 的符号，或由二次函数中a ， b ， c的符号判断图象的位置，要数形结合； 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与 x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标 .与二次函数有关的还有二次三项式， 二次三项式 ax2bxc(a0) 本身就是所含字母 x 的二次函数；下面以a0 时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程 之0抛物线与 x 轴 二次三项式的值一元二次方程有两个不相等实根间 的有两个交点可正、可零、可负内 在0抛物线与 x 轴 二次三项式的值一元二次方程有两个

17、相等的实数根联只 有一个 交 为非负系：点0抛物线与 x 轴 二次三项式的值一元二次方程无实数根 .无交点恒为正二次函数图像参考：y=2x 2y=3(x+4)2y=3x 2y=3(x-2)2y=x 2x 2y=y=2x 2y=2(x-4) 22y=2(x-4) 2-3y=2 x 2 +2y=2 x 2y=2 x 2 -4x2y= -2y= -x 2y=-2(x+3)2y=-2x 2y=-2x 2y=-2(x-3) 2十一、函数的应用刹车距离二次函数应用何时获得最大利润最大面积是多少二次函数考查重点与常见题型1、考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：已知以 x 为自变量的二次函

18、数y(m2) x2m2m2 的图像经过原点，则 m 的值是2、综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如：如图，如果函数ykxb 的图像在第一、二、三象限内，那么函数ykx2bx1 的图像大致是（）yyyy0xo-1 x0x0 -1 xabcd1、考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如：已知一条抛物线经过 (0,3) ，(4,6) 两点，对称轴为 x5 ，求这条抛物线的解析式。32、考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值，有关试题为解答题，

19、如：已知抛物线yax2bxc （a0）与 x 轴的两个交点的横坐标是1、3，与 y 轴交点的纵坐标是32（ 1）确定抛物线的解析式；（2）用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标 .5 考查代数与几何的综合能力，常见的作为专项压轴题。【例题经典】由抛物线的位置确定系数的符号例 1 （1）二次函数 yax2bxc 的图像如图1，则点 m (b, c) 在（）aa第一象限b第二象限c 第三象限d 第四象限（ 2）已知二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图象如图 2 所示， ? 则下列结论：a、b 同号；当 x=1 和 x=3 时，函数值相等； 4a+b=0；当 y=-2 时， x 的值只

20、能取 0. 其中正确的个数是（ ）a1 个b2 个c3 个d4 个(1)(2)【点评】弄清抛物线的位置与系数a，b，c 之间的关系，是解决问题的关键例 2. 已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴交于点 (-2 ，o)、(x 1，0) ，且 1x12，与 y 轴的正半轴的交点在点 (o，2) 的下方下列结论：abo；4a+co，其中正确结论的个数为( )a 1个 b. 2个 c. 3个 d 4 个会用待定系数法求二次函数解析式例 3. 已知：关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c=3 的一个根为 x=-2 ，且二次函数 y=ax2+bx+c 的对称轴是直线 x=2，则抛物线的

21、顶点坐标为 ( )a(2， -3)b.(2，1)c(2，3)d(3 ，2)答案： c例 4、如图（单位： m），等腰三角形 abc以 2 米 / 秒的速度沿直线 l 向正方形移动，直到 ab与 cd重合设 x 秒时，三角形与正方形重叠部分的面积为 ym2（ 1）写出 y 与 x 的关系式；（ 2）当 x=2，3.5 时，y 分别是多少？（ 3）当重叠部分的面积是正方形面积的一半时，三角形移动了多长时间？求抛物线顶点坐标、对称轴 .例 5、已知抛物线 y= 1 x2 +x- 5 22（ 1）用配方法求它的顶点坐标和对称轴（ 2）若该抛物线与 x 轴的两个交点为 a、b，求线段 ab的长【点评】本

22、题（ 1）是对二次函数的“基本方法”的考查，第（ 2）问主要考查二次函数与一元二次方程的关系例 6、 “已知函数 y1 x2bxc 的图象经过点 a（c， 2），2求证：这个二次函数图象的对称轴是x=3。”题目中的矩形框部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字。（ 1）根据已知和结论中现有的信息，你能否求出题中的二次函数解析式？若能，请写出求解过程，并画出二次函数图象；若不能，请说明理由。（ 2）请你根据已有的信息，在原题中的矩形框中，填加一个适当的条件，把原题补充完整。点评： 对于第（ 1）小题，要根据已知和结论中现有信息求出题中的二次函数解析式，就要把原来的结论“函数图象的对称轴是 x=3”当

23、作已知来用，再结合条件“图象经过点 a（c，2）”，就可以列出两个方程了， 而解析式中只有两个未知数，所以能够求出题中的二次函数解析式。对于第（ 2）小题，只要给出的条件能够使求出的二次函数解析式是第（ 1）小题中的解析式就可以了。而从不同的角度考虑可以添加出不同的条件， 可以考虑再给图象上的一个任意点的坐标， 可以给出顶点的坐标或与坐标轴的一个交点的坐标等。 解答 （1）根据 y1 x 2bx c 的图象经过点 a（c，2），图象的对称轴是 x=3，21 c 2bc c2,2解得 b3,得b3,c2.212所以所求二次函数解析式为y1 x 23x2. 图象如图所示。（2）在解析式中令 y=0

24、，得 12x23x20 ，解得 x1 35, x2 35.2所以可以填“抛物线与 x 轴的一个交点的坐标是（ 3+5,0) ”或“抛物线与 x 轴的一个交点的坐标是 (35,0). 令 x=3 代入解析式，得 y5 ,2所以抛物 y1 x 23x 2 的 点坐 (3, 5 ),22所以也可以填抛物 的 点坐 (3,5 ) 等等。2函数主要关注： 通过不同的途径（图象、解析式等）了解函数的具体特征；借助多种现实背景理解函数；将函数视为“变化过程中变量之间关系”的数学模型；渗透函数的思想；关注函数与相关知识的联系。用二次函数解决最 例 1 已知 4 的正方形截去一个角后成 五 形abcde（如 ）

25、，其中 af=2，bf=1 在 ab上求一点 p，使矩形 pndm有最大面 【 析】本 是一道代数几何 合 ， 把相似三角形与二次函数的知 有机的 合在一起，能很好考 学生的 合 用能力同 ，也 学生探索解 思路留下了思 空 例 2 某 品每件成本 10 元， 段每件 品的 售价x（元） ? 与 品的日 售量 y（件）之 的关系如下表：x（元） 123若日 售量 y 是 售价 x 的一次函数500（1）求出日 售量 y（件）与 售价 x（元）的函数y（件） 221关系式；500（2）要使每日的 售利 最大，每件 品的 售价 定 多少元？ ? 此 每日 售利 是多少元？【解析】（1） 此一次函数

26、表达式 y=kx+b 15kb25,2kb20解得 k=-1 ，b=40，? 即一次函数表达式 y=-x+40 （ 2） 每件 品的 售价 定 x 元，所 售利 w元w=（x-10 ）（40-x ）=-x 2+50x-400=- （x-25 ）2+225 品的 售价 定 25 元，此 每日 得最大 售利 225 元【点 】解决最 用 的思路与一般 用 似，也有区 ，主要有两点：（1） 未知数在“当某某 何 ，什么最大（或最小、最省） ”的 中，? “某某”要 自 量， “什么”要 函数； （2）? 的求解依靠配方法或最 公式，而不是解方程二次函数 一、 1. 二次函数 y x2 4x 7 的

27、点坐 是 ( )a.(2,11)b.（ 2，7）c.（2，11）d.（2， 3）2. 把抛物 y2x2 向上平移 1 个 位，得到的抛物 是（）a. y2( x1)2b.y2( x 1)2c.y2x2 1 d.y 2 x2 13. 函数 ykx2k 和 yk (k 0) 在同一直角坐标系中图象可能是图中的()x4. 已知二次函数 yax2bxc(a0) 的图象如图所示 , 则下列结论 :a,b 同号 ; 当 x1 和 x 3时, 函数值相等 ; 4ab0 当 y2时, x 的值只能取 0. 其中正确的个数是 ( )a.1 个b.2个c. 3个d. 4个5. 已知二次函数 yax2bxc(a0)

28、 的顶点坐标（ -1 ，-3.2 ）及部分图象 ( 如图 ), 由图象可知关于x 的一元二次方程 ax2bx c 0的两个根分别是 x11.3和 x2（） . b.-2.3c.-0.3d.-3.36. 已知二次函数 yax2bxc 的图象如图所示， 则点 (ac,bc) 在（）a第一象限b第二象限c第三象限d 第四象限7. 方程 2x x22 的正根的个数为（）xa.0 个b.1个c.2个.3个8. 已知抛物线过点 a(2,0),b(-1,0), 与 y 轴交于点 c,且 oc=2.则这条抛物线的解析式为a.c.yx2x2b.yx2x 2yx2x2 或 yx2x 2d.yx2x 2 或 y x

29、2x 2二、填空题9二次函数 yx2bx3 的对称轴是 x2 ，则 b_。10已知抛物线 y=-2 （x+3）2 +5，如果 y 随 x 的增大而减小，那么x 的取值范围是 _.11一个函数具有下列性质：图象过点（1，2），当 x0 时，函数值 y 随自变量 x 的增大而增大；满足上述两条性质的函数的解析式是（只写一个即可）。12抛物线 y 2( x 2) 26 的顶点为，已知直线 ykx 3 过点 ，则这条直线与两cc坐标轴所围成的三角形面积为。13. 二次函数 y 2x24x 1 的图象是由 y2x2bx c 的图象向左平移1 个单位 , 再向下平移 2 个单位得到的 , 则 b=,c=。

30、14如图，一桥拱呈抛物线状，桥的最大高度是16 米，跨度是 40 米，在线段 ab上离中心 m处 5 米的地方，桥的高度是( 取 3.14).三、解答题：15. 已知二次函数图象的对称轴是 x 3 0 , 图象经过 (1,-6), 且与 y 轴的交点为(0,5 ).2(1) 求这个二次函数的解析式 ;(2) 当 x 为何值时 , 这个函数的函数值为0?第 15 题图(3) 当 x 在什么范围内变化时 , 这个函数的函数值 y 随 x 的增大而增大 ?16. 某种爆竹点燃后，其上升高度 h（米）和时间 t（秒）符合关系式 h v0t1 gt 2 （0t22），其中重力加速度2计算这种爆竹点燃后以

31、0米/ 秒的初速g 以 10 米/ 秒v =20度上升，（ 1）这种爆竹在地面上点燃后，经过多少时间离地15 米？（ 2）在爆竹点燃后的 1.5 秒至 1.8 秒这段时间内，判断爆竹是上升，或是下降，并说明理由 .17. 如图，抛物线 y x2 bx c 经过直线 y x 3 与坐标轴的两个交点 a、b，此抛物线与 x 轴的另一个交点为c，抛物线顶点为 d.（1）求此抛物线的解析式；（2）点 p为抛物线上的一个动点， 求使s apc：5：s acd4 的点 p 的坐标。18. 红星建材店为某工厂代销一种建筑材料（这里的代销是指厂家先免费提供货源，待货物售出后再进行结算， 未售出的由厂家负责处理）当每吨售价为 260 元时，月销售量为 45 吨该建材店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销经市场调查发现：当每吨售价每下降 10 元时，月销售量就会增加 7. 5 吨综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用 100 元设每吨材料售价为 x（元），该经销店的月利润为 y（元）（ 1）当每吨售价是 240 元时，计算此时的月销售量；（ 2）求出 y 与 x 的函数关系式（不要求写出 x 的取值范围）