2019秋九年级数学上册第2章一元二次方程2.3用公式法求解一元二次方程课件（新版）北师大版.pptx

1、第二章一元二次方程,初中数学（北师大版） 九年级 上册,知识点一用公式法求解一元二次方程,例1用公式法解下列方程: (1)(3x+2)(x+3)=x+14; (2)5x2+1=-7x.,解析(1)(3x+2)(x+3)=x+14可化为3x2+10 x-8=0. 这里a=3,b=10,c=-8. b2-4ac=102-43(-8)=1960, x=,即x1=,x2=-4. (2)5x2+1=-7x可化为5x2+7x+1=0, 这里a=5,b=7,c=1. b2-4ac=72-451=290,x=, 即x1=,x2=. 温馨提示用公式法解一元二次方程时,要注意两点:(1)一定要把方程化为一般形式;

2、(2)一定要计算b2-4ac的值,且b2-4ac的值大于或等于0时,才能代入求根公式求解.,知识点二一元二次方程根的判别式,例2不解方程,判断下列方程的根的情况: (1)2x2+3x-4=0;(2)16y2+9=24y;(3)5(x2+1)-7x=0.,分析 先化成一元二次方程的一般形式,求出根的判别式=b2-4ac,然后判断是否有实数根.,解析(1)2x2+3x-4=0, =b2-4ac=9+32=410, 故方程有两个不相等的实数根. (2)16y2+9=24y,16y2-24y+9=0, =b2-4ac=576-4169=0, 故方程有两个相等的实数根. (3)5(x2+1)-7x=0,

3、5x2-7x+5=0, =b2-4ac=49-455=-510, 故方程没有实数根.,题型一利用b2-4ac由根的个数确定字母的值或范围,例1已知关于x的一元二次方程2x2-4x+k=0. (1)当k时,方程有两个不相等的实数根; (2)当k时,方程有两个相等的实数根; (3)当k时,方程没有实数根.,解析(1)当方程有两个不相等的实数根时,b2-4ac0,即(-4)2-42k0,k2.,答案(1)2 点拨根的判别式在解一元二次方程的相关问题中应用十分广泛,可以利用它判断方程根的情况,也可以根据根的情况来确定方程中未知字母的值或范围.,题型二用公式法解一般的一元二次方程,例2解下列方程: (1

4、)2x2-4x-1=0; (2)5x+2=3x2.,解析(1)a=2,b=-4,c=-1, b2-4ac=(-4)2-42(-1)=240, x=, x1=,x2=. (2)将原方程变形为3x2-5x-2=0, a=3,b=-5,c=-2, b2-4ac=(-5)2-43(-2)=490, x=, x1=2,x2=-. 点拨用公式法解一元二次方程时,一定要把方程化为一般形式,在解答过程中要注意各项的符号,正确应用公式,准确计算.,知识点一用公式法求解一元二次方程,1.(2019广西贺州富川中学月考)用公式法解一元二次方程3x2+3=-2x时,首先要确定a、b、c的值,下列叙述正确的是() A.

5、a=3,b=2,c=3B.a=-3,b=2,c=3 C.a=3,b=2,c=-3D.a=3,b=-2,c=3,答案A3x2+3=-2x,3x2+2x+3=0,这里a=3,b=2,c=3,故选A.,2.用公式法解下列方程: (1)3x2=4x+1;(2)y2+2=2y;(3)5x2=4x-1.,解析(1)移项,得3x2-4x-1=0, a=3,b=-4,c=-1. b2-4ac=(-4)2-43(-1)=280, x=, 故x1=,x2=. (2)移项,得y2-2y+2=0, a=1,b=-2,c=2. b2-4ac=(-2)2-412=0, y=,即y1=y2=.,(3)移项,得5x2-4x+

6、1=0,a=5,b=-4,c=1. b2-4ac=(-4)2-451=-40, 此方程无实数根.,知识点二一元二次方程根的判别式,3.(2017河南中考)一元二次方程2x2-5x-2=0的根的情况是() A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根 C.只有一个实数根D.没有实数根,答案B=(-5)2-42(-2)=25+16=410,所以该一元二次方程有两个不相等的实数根,故选B.,4.(2018江苏泰州靖江实验中学月考)已知关于x的一元二次方程x2+2x-(m-3)=0有实数根,则m的取值范围是() A.m2B.m2C.m2D.m2,答案C根据题意知,=22-41-(m-3)0, 解得m

7、2,故选C.,5.(2017吉林长春期中)不解方程,判断下列方程的根的情况: (1)x2+2x-2=0; (2)4x2-x+4=0.,解析(1)=22-41(-2)=120, 方程有两个不相等的实数根. (2)=(-1)2-444=-630, 方程没有实数根.,6.已知关于x的方程2x2-(4k+1)x+2k2-1=0,根据下列条件求k的取值范围或k的值. (1)方程有两个不相等的实数根; (2)方程有两个相等的实数根; (3)方程没有实数根.,解析=b2-4ac=-(4k+1)2-42(2k2-1)=8k+9. (1)方程有两个不相等的实数根, 0,即8k+90,解得k-. (2)方程有两个

8、相等的实数根, =0,即8k+9=0,解得k=-. (3)方程没有实数根,0,即8k+90,解得k-.,1.一元二次方程x2-2x-1=0的解是() A.x1=x2=1B.x1=1+,x2=-1- C.x1=1+,x2=1-D.x1=-1+,x2=-1-,答案Ca=1,b=-2,c=-1,b2-4ac=(-2)2-41(-1)=80,x= =1,x1=1+,x2=1-.故选C.,2.一元二次方程4x2-1=4x的根的情况是() A.有两个不相等的实数根 B.只有一个实数根 C.有两个相等的实数根 D.没有实数根,答案A把方程化为一般形式为4x2-4x-1=0,=b2-4ac=(-4)2-44(

9、-1)= 320,方程有两个不相等的实数根.故选A.,3.(2017山东泰安岱岳期末)若一元二次方程x2+x-1=0的较大根是m,则 () A.m2B.m-1C.1m2D.0m1,答案Da=1,b=1,c=-1,=1-41(-1)=50,则x=,方程的 较大根m=,23,1,故选D.,1.关于x的方程(a-5)x2-4x-1=0有实数根,则a满足() A.a1B.a1且a5 C.a1且a5D.a5,答案A分类讨论: 当a-5=0,即a=5时,方程变为-4x-1=0,此时方程一定有实数根; 当a-50,即a5时,关于x的方程(a-5)x2-4x-1=0有实数根,16+4(a-5)0,a1且a5.

10、a的取值范围为a1.故选A.,2.若实数a、b满足|b-1|+=0,且一元二次方程kx2+ax+b=0有两个实 数根,则k的取值范围是.,答案k4且k0,解析实数a、b满足|b-1|+=0,b-1=0,8-2a=0,b=1,a=4.一 元二次方程kx2+ax+b=0有两个实数根,即方程kx2+4x+1=0有两个实数根,=42-4k0且k0,k4且k0.,3.已知a,b,c分别是三角形的三边长,则方程(a+b)x2+2cx+(a+b)=0的根的情况是.,答案无实数根,解析=(2c)2-4(a+b)(a+b)=4c2-4(a+b)2=4(c+a+b)(c-a-b),a,b,c分别是三角形的三边长,

11、c+a+b0,a+bc,c-a-b0,0,则方程无实数根.,4.(2018江苏无锡宜兴丁蜀第一次段测)已知关于x的一元二次方程mx2-(m+2)x+2=0. (1)证明:无论m为何值,方程总有实数根; (2)当m为何整数时,方程有两个不相等的正整数根?,解析(1)证明:由题意知m0,=-(m+2)2-8m=m2-4m+4=(m-2)2.无论m为何值,都有(m-2)20,即0,方程总有实数根. (2)解关于x的一元二次方程mx2-(m+2)x+2=0,得x= ,x1=,x2=1.方程的两个根都是正整数,是正整数, m=1或2.两根不相等,m2,m=1.当m=1时,方程有两个不相等的正整数根.,5

12、.将一条长为20 cm的铁丝剪成两段,并以每一段铁丝的长度为周长做成两个正方形. (1)要使这两个正方形的面积之和等于17 cm2,那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少? (2)两个正方形的面积之和可能等于12 cm2吗?若能,求出两段铁丝的长度;若不能,请说明理由.,解析设一段铁丝的长度为x cm,则另一段铁丝的长度为(20-x)cm. (1)由题意可列方程+=17, 整理,得x2-20 x+64=0. x=,x1=16,x2=4. 两段铁丝的长度分别为16 cm和4 cm. (2)不能.理由:若两个正方形的面积之和等于12 cm2,则可列方程+ =12,整理,得x2-20 x+104=0

13、. b2-4ac=(-20)2-41104=-160,此方程无解. 两个正方形的面积之和不可能等于12 cm2.,1.(2015广西南宁中考)对于两个不相等的实数a,b,我们规定符号maxa,b表示a,b中较大的数,如max2,4=4,按这个规定,方程maxx,-x= 的解为() A.1-B.2- C.1-或1+D.1+或-1,答案D分类讨论:当x-x,即x0时,maxx,-x=x,则x=,x2-2x-1= 0,解得x1=1-,x2=1+,经检验,x=1+符合题意; 当x-x,即x0时,maxx,-x=-x,则-x=,x2+2x+1=0,解得x1=x2=-1,经 检验,符合题意. 因此符合题意

14、的方程的解是1+或-1.,2.已知函数y=kx的图象如图所示,则对一元二次方程x2+x+k-1=0根的情况说法正确的是() A.没有实数根 B.有两个相等的实数根 C.有两个不相等的实数根 D.无法确定,答案C根据直线y=kx的图象得出k0,方程有两个不相等的实数根,故选C.,3.若关于x的一元二次方程(a-1)x2-2x+3=0有实数解,则整数a的最大值是() A.2 B.1 C.0 D.-1,答案C方程(a-1)x2-2x+3=0是一元二次方程,a-10,解得a1.方程(a-1)x2-2x+3=0有实数解,(-2)2-4(a-1)30,即4-12a+120,解得a.a且a1.整数a的最大值

15、是0.故选C.,4.已知整数k5,若ABC的边长均满足关于x的方程x2-3x+8=0,则ABC的周长是.,答案6或12或10,解析根据题意得k0,且(-3)2-480,解得k, 整数k5,k=4,方程为x2-6x+8=0,解得x1=2,x2=4. ABC的边长均满足关于x的方程x2-6x+8=0, ABC的边长为2、2、2或4、4、4或4、4、2. ABC的周长为6或12或10.,5.(2019甘肃庆阳宁县期中)已知关于x的方程x2-2kx-1=0,求证:无论k取何值,方程都有两个不相等的实数根.,证明=(-2k)2-41(-1)=4k2+4. k20,4k2+40,即0, 无论k取何值,方程

16、都有两个不相等的实数根.,1.(2019四川绵阳江油月考,9,)一元二次方程x2+x-1=0的根是 () A.x=1-B.x= C.x=-1+D.x=,答案D=1-41(-1)=50, x=,故选D.,2.(2019江苏无锡宜兴期中,2,)一元二次方程x2-x+10=0的根的情况是() A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.不能确定,答案Ca=1,b=-1,c=10, =b2-4ac=(-1)2-4110=1-40=-390, 方程没有实数根.故选C.,3.(2018江苏苏州太仓二中期中,13,)关于x的一元二次方程x2-(2k+1)x+k2-2=0有实数根,则k

17、的取值范围是.,答案k-,解析关于x的一元二次方程x2-(2k+1)x+k2-2=0有实数根,=-(2k+1)2-4(k2-2)=4k+90,解得k-.,4.(2019辽宁锦州凌海期中,23,)嘉淇同学用配方法推导一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的求根公式时,对于b2-4ac0的情况,她是这样做的:,a,(1)嘉淇的解法从第步开始出现错误;事实上,当b2-4ac0时,方程 ax2+bx+c=0(a0)的求根公式是; (2)用配方法解方程:x2-2x-24=0.,解析(1)四;x=. (2)由x2-2x-24=0,得x2-2x=24,进而x2-2x+1=24+1, 即(x-1)2=25,

18、故x-1=5,x1=6,x2=-4.,5.用公式法解下列方程: (1)(2019山东济南历下期中,19(1),)x2+3x=2; (2)(2019湖北孝感云梦期中,17(2),)4x2-4x-1=0.,解析(1)x2+3x-2=0,=32-41(-2)=17, 所以x=,所以x1=,x2=. (2)4x2-4x-1=0, =b2-4ac=(-4)2-44(-1)=64, 所以x=, 所以x1=,x2=.,1.(2018江苏扬州树人学校月考,3,)如果关于x的一元二次方程 k2x2- (2k+1)x+1=0 有两个不相等的实数根,那么实数k的取值范围是( ) A.k-B.k-且k0 C.k-D.

19、k-且k0,答案B因为方程有两个不相等的实数根,所以0且k0,即-(2k+1)2-4k20且k0,解得k-且k0,故选B.,2.(2017安徽宿州第一次月考,16,)用公式法解下列方程:(8分) (1)x2-x-12=0; (2)2x2+5x-3=0.,解析(1)a=1,b=-1,c=-12, =b2-4ac=(-1)2-41(-12)=490, x=,x1=4,x2=-3. (2)a=2,b=5,c=-3, =b2-4ac=52-42(-3)=490, x=, x1=,x2=-3.,1.(2018内蒙古包头中考,9,)已知关于x的一元二次方程x2+2x+m-2=0有两个实数根,m为正整数,且

20、该方程的根都是整数,则符合条件的所有正整数m的和为() A.6B.5C.4D.3,答案Ba=1,b=2,c=m-2,且关于x的一元二次方程x2+2x+m-2=0有两个实数根, =b2-4ac=22-4(m-2)=12-4m0,m3. m为正整数,且该方程的根都是整数,m=2或3. 2+3=5.故选B.,2.(2018山东威海中考,14,)关于x的一元二次方程(m-5)x2+2x+2=0有实根,则m的最大整数解是.,答案4,解析关于x的一元二次方程(m-5)x2+2x+2=0有实根,=4-8(m-5)0,且m-50, 解得m5.5,且m5,则m的最大整数解是4.,3.(2018江苏南通中考,17

21、,)若关于x的一元二次方程x2-2mx-4m+ 1=0有两个相等的实数根,则(m-2)2-2m(m-1)的值为.,答案,解析由题意可知=4m2-2(1-4m)=4m2+8m-2=0, m2+2m=, (m-2)2-2m(m-1)=-m2-2m+4=-+4=.,4.(2018甘肃兰州中考,18,)解方程:3x2-2x-2=0.(5分),解析a=3,b=-2,c=-2, =b2-4ac=(-2)2-43(-2)=280, 方程有两个不相等的实数根. x=, x1=,x2=.,5.(2018北京中考,20,)关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0.(5分) (1)当b=a+2时,利用根的判别式判断

22、方程根的情况; (2)若方程有两个相等的实数根,写出一组满足条件的a,b的值,并求此时方程的根.,解析(1)依题意,得=(a+2)2-4a=a2+40. 故方程有两个不相等的实数根. (2)由题意可知,a0,=b2-4a=0. 答案不唯一,如:当b=2,a=1时,方程为x2+2x+1=0, (x+1)2=0,x1=x2=-1.,1.(2017湖南娄底中考,7,)若关于x的一元二次方程kx2-4x+1=0有实数根,则k的取值范围是() A.k=4 B.k4 C.k4且k0 D.k4,答案C由一元二次方程kx2-4x+1=0有实数根可得k0,且=(-4)2-4k0,解得k4且k0,故选C.,2.(

23、2016河北中考,14,)a,b,c为常数,且(a-c)2a2+c2,则关于x的方程ax2+bx+c=0的根的情况是() A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.无实数根 D.有一根为0,答案B由(a-c)2a2+c2,得出-2ac0,则a0,=b2-4ac0,所以方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根.,3.(2018广西玉林中考,21,)已知关于x的一元二次方程x2-2x-k-2=0有两个不相等的实数根. (1)求k的取值范围; (2)给k取一个负整数值,解这个方程.,解析(1)根据题意得=(-2)2-4(-k-2)0,解得k-3. (2)取k=-2,则方程变为x2-2

24、x=0,解得x1=0,x2=2.,4.(2016甘肃白银中考,21,)已知关于x的方程x2+mx+m-2=0. (1)若此方程的一个根为1,求m的值; (2)求证:无论m取何实数,此方程都有两个不相等的实数根.,解析(1)把x=1代入方程x2+mx+m-2=0得1+m+m-2=0,解得m=. (2)证明:=m2-4(m-2)=(m-2)2+4,(m-2)20, (m-2)2+40,即0, 无论m取何实数,此方程都有两个不相等的实数根.,5.(2015甘肃庆阳中考,23,)已知关于x的一元二次方程mx2+mx+ m-1=0有两个相等的实数根.(8分) (1)求m的值; (2)解原方程.,解析(1

25、)关于x的一元二次方程mx2+mx+m-1=0有两个相等的实数 根, =m2-4m(m-1)=0,且m0,解得m=2. (2)由(1)知m=2,则原方程为x2+2x+1=0,即(x+1)2=0,解得x1=x2=-1.,1.定义:如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)满足a+b+c=0,那么我们称这个方程为“凤凰”方程.已知ax2+bx+c=0(a0)是“凤凰”方程,且有两个相等的实数根,则下列结论正确的是() A.a=cB.a=bC.b=cD.a=b=c,答案Aax2+bx+c=0(a0)是“凤凰”方程,且有两个相等的实数根,a+b+c=0,b2-4ac=0,b=-a-c.把b=-a-c代入b2-4ac=0,得(-a-c)2-4ac=0,a2+2ac+c2-4ac=0,a2-2ac+c2=0,(a-c)2=0,a=c.故选A.,2.按下列提供的方法及范例解方程49x2+6x-=0. 一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根为x=,方程y2+by+ac=0 的根为y=,显然x=,因此要求ax2+bx+c=0(a0)的根,只要 求出y2+by+ac=0的根,再除以a就可以了. 范例:解方程72x2+8x+=0. 解:先解方程y2+8y+72=0, 由求根公式解得y1=-2,y2=-6. 方程72x2+8x+=0的两根为 x1=-,x2=-.,解析先解方程y2+6y-4