高一数学教案：函数的解析式

1、2.2函数的表示法（ 2）解析式教学目的： 1.掌握求函数解析式的几种常见方法.教学重点 : 求函数解析式的方法 .教学难点 : 求复合函数的解析式 .教学过程 :一、复习引入1 、常用的函数的表示方法有哪些？（解析法、列表法、图象法.）2 、什么叫函数解析式？（把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析式 .3 、函数解析式有什么优点？（函数关系清楚，容易从自变量的值求出其对应的函数值） .函 数解析式只表示一 种对 应关 系， 与所取的字母无关 ，如 yx22x3 与u t 2 2t 3 是同一个函数 .本节将通过具体例子来说明求函数解析式的几种常用方法.二、讲解新课求

2、函数解析式的常用方法有：1、待定系数法例 1、（ 1）已知二次函数f (x) 满足 f (1)1 ， f ( 1)5 ，图象过原点，求f (x) ；（2）已知二次函数f ( x) ，其图象的顶点是( 1,2) ，且经过原点，f ( x) 解：（1）由题意设f ( x)ax2bxc ，f (1)1， f ( 1)5 ，且图象过原点，abc1a3 abc5 b2c0c0f ( x)3x22x（ 2）由题意设f (x)a( x1)22 ，又图象经过原点，f (0)0 ，a20得 a2 ，f ( x)2x24x 说明：（ 1）已知函数类型，求函数解析式，常用“待定系数法”；（ 2）基本步骤：设出函数的

3、一般式（或顶点式或两根式等） ，代入已知条件，通过解方程（组）确定未知系数。第1页共 4页2、代入法例 2、根据已知条件，求函数表达式（1 ）已知 f (x)x24 x3 ，求 f ( x1) （2 ）已知 f (x)3x21， g(x)2x1，求 f g( x) 和 g f ( x) .解：（1）f (x) x24x3f ( x 1) ( x 1)24( x 1) 3 x22x （2）f (x) 3x21， g( x) 2x 1f g (x)3 g( x) 213(2 x1)2112x212x 4g f (x)2 f ( x)12(3x21) 1 6x21说明：已知 f (x) 求 f g(

4、 x) ，常用“代入法”.基本方法：将函数 f(x) 中的 x 用 g(x) 来代替，化简得函数表达式3、配凑法与换元法：例 3、（1）已知 f ( x1)x22x ，求 f (x) .（2）已知 f (x1)x2 x ，求 f (x1) 解：（1 ）法一配凑法：f (x 1) ( x 1)22x 1 2x (x 1)24x 1 ( x 1)24( x 1) 3f (x)x24x3 法二换元法：令 x1 t ，则 xt1，f (t )(t1)22(t1)t 24t3 f ( x) x24x 3 （2 ）设 ux1 1，则 x = u 1， x (u 1)2于是 f (u)(u1)22(u1)u

5、 21(u1)f (x) x21(x1)f (x 1) ( x 1)21 x22x( x 1 1)即 f ( x 1) x22x(x 0) .说明：已知 f g( x) 求 f ( x) 的解析式，常用配凑法、换元法；换元时，如果中间量涉及到定义域的问题，必须要确定中间量的取值范围4、构造方程法例 3、已知 f(x) 满足 2 f ( x)f ( 1 )3x ，求 f (x) .x第2页共 4页解：2 f ( x)f ( 1 )3x- x1将中 x 换成得112 f ( ) f (x) 3() - xx2- 得 3 f ( x)36 xx1f (x) 2xx说明：已知 f (x) 与 f (

6、x) ，或 f ( x) 与 f (1) 之间的关系式，求 f ( x) 的解析式，可通x过“互换”关系构造方程的方法，消去 f ( x) 或 f (1) ，解出 f ( x) .x三、课堂练习 ：若 f(1/x)=1/(1+x), 则 f(x)=；已知 f(x)是二次函数，且满足f(0)=1,f(x+1)-f(x)=2x ，则 f(x)=；已知 g(x)=1-2x ， fg(x)=(1-x2)/x 2(x 0),则 f(1/2)=；(4)已知函数 f(x) 满足 f(ab)=f(a)+f(b) 且 f(2)=p ，f(3)=q ，则 f(36)=.解：令 u=1/x ，则 x=1/u ，f(

7、u)=u/(1+u) ，f(x)=x/(1+x) ；设 f(x)=ax 2 +bx+c(a0)，f(0)=1, c=1 ，又 f(x+1)-f(x)=2x ，a(x+1) 2+b(x+1)+1-ax 2 -ba-1=2x ，即 2ax+a+b=2x ，比较系数得 2a=2 且 a+b=0 ， a=1 ，b=-1 ，f(x)=x 2 -x+1.由 g(x)=1-2x=1/2 ，得 x=1/4 ，f(1/2)=1-(1/4) 2/(1/4) 2=15. f(36)=f(6 6)=f(6)+f(6)=2f(6)=2f(2 3)=2f(2)+f(3)=2(p+q).四、小 结1 、函数解析式是函数与自

8、变量之间的一种对应关系，与所取的字母无关.2 、求函数解析式的方法一般有待定系数法、代入法、换元法和构造方程法等.3 、实际操作中要学会灵活应用这些方法.五、布置作业填空：第3页共 4页若f(x)=2x+1 ，则ff(2)=； f(-x)=； ff(x)=.若f(x+1)=x 2 -2x+5 ，则 f(x)=.若 f(x)=2x+3 ，g(x+2)=f(x) ，则 g(x)=.若 3f(x)+2f(1/x)=4x ，则 f(x)=.若 f(x)=x 2 -mx+n ，f(n)=m ，f(1)=-1 ，则 f(-5)=.2、已知函数 f(x)=4x+3 ，g(x)=x 2 , 求 ff(x)，fg(x)， gf(x)， gg(x).答案与提示 ： ff(2)=f(5)=11,f(-x)=-2x+1,ff(x)=2f(x)+1=4x+3；f(x)=x 2-4x+8 ；g(x)=2x-1 ；f(x)=(12x 2 -8)/5x(x0)；将 f(n)=m 与 f(1)=-1 并成方程组，解得 m=1,n=-1, 可知 f(x)=x 2-x-1 f(-5)=29