高三数学教案：圆部分知识整理

1、高三数学回归书本知识整理圆部分一、曲线和方程：在直角坐标系中，如果某曲线c 上的点与一个二元方程f (x, y)0 的实数解建立了：曲线上的点的坐标都是这个方程的解；（纯粹性）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点；（完备性）那么这个方程叫做曲线方程，这条曲线叫做方程的曲线。二、圆的定义及其方程（ 1）圆的定义：平面内与定点距离等于定长的点的集合( 轨迹 ) 叫做圆，定点叫做圆心，定长就是半径；（圆心是定位条件，半径是定型条件）（2）圆的标准方程：(xa)2( yb) 2r 2 (r 0) ；圆心 (a, b) ，半径为 r ；圆的参数方程：xar cos为参数 ) ；理解的含义；yb(r s

2、in圆的一般方程：x 2y 2dxey f0( d 2e 24f 0) ；圆心(de，半径,)22为 1d224 f；2e一般方程的特点： x2 和 y2 的系数相同，且不等于零； 没有 xy 这样的二次项； d 2e 24f0 ；特别地，圆心在坐标原点，半径为r的半圆的方程是 x 2y2r 2 ； xr cos ；yr sin若 a( x1, y1 )，b( x2 , y2 ) ， 则 以 线 段ab 为 直 径 的 圆 的 方 程 是 ：( x x1 )( x x2 ) ( y y1 )( y y2 ) 0 ；三 、点与圆的位置关系（仅以标准方程为例，其他形式，则可化为标准式后按同样方法处

3、理）设 p(x0 , y0 ) 与圆 ( xa) 2( yb) 2r 2 ；若 p 到圆心之距为d ； p 在在圆 c 外dr( x0a) 2( y0b) 2r 2 ； p 在在圆 c 内dr( x0a )2( y0b) 2r 2 ； p 在在圆 c 上dr( x0a) 2( y0b) 2r 2 ；四、直线与圆的位置关系：第 1页共 3页设直线 l : axbyc 0 和圆 c : ( xa)2( y b) 2r 2 ，圆心 c 到直线 l 之距为d ，由直线 l 和圆 c 联立方程组消去x （或 y ）后，所得一元二次方程的判别式为，则它们的位置关系如下：相离dr0 ；相切dr0 ；相交d

4、r0 ；注意：这里用 d 与 r 的关系来判定， 称为几何法， 只有对圆才实用， 也是最简便的方法；利用 判定称为代数法，对讨论直线和二次曲线的位置关系都适应。五、两圆的位置关系：（ 1）代数法：解两个圆的方程所组成的二元二次方程组；若方程组有两组不同的实数解，则两圆相交；若方程组有两组相同的实数解，则两圆相切；若无实数解，两圆相离。（2）几何法：设圆o1 的半径为 r1 ，圆 o2 的半径为 r2两圆外离| o1o2 |r1r2 ；两圆外切| o1o2 | r1r2 ；两圆相交| r2r1 | | o1o2 | r1r2 ；两圆内切| o1o2 | | r2r1 | ；两圆内含| o1o2

5、| | r2r1 | ；六、与圆的切线有关的问题：（1）若点 p( x0 , y0 ) 在圆 x2y 2r 2 ；则过点 p 点的切线方程为： xx0yy0r 2 ；若 点 p(x0 , y0 )在 圆 ( x a) 2( y b) 2r 2 ； 则 过 点 p 点 的 切 线 方 程 为 ：( x a)( x0 a)( y b)( y0b)r 2 ；若 点 p ( x0 , y 0 )在 圆 x2y2dx ey f0 ； 则 过 点 p 点 的 切 线 方 程 为 ：xx0 yy0d x x0e y y0f 0 ；22（2）斜率为 k 且与圆 x2y 2r 2 相切的切线方程为：y kxr

6、1 k 2；斜 率为 k 且 与圆 ( xa) 2( y b)2r 2 相 切的切 线方 程的求 法，可 设切 线为y kx m ，然后利用圆心到切线的距离等于半径列出方程求m ；（3）当点 p(x0 , y0 ) 在圆外面时， 可设切方程为 y y0k( xx0 ) ，利用圆心到直线之距等于半径即 dr ，求出 k 即可，或利用0 ，求出 k ，若求得 k 只有一值，则还应该有一条斜率不存在的直线x x0 ，此时应补上。（4）当直线 l 和圆 c 相切时，切点的坐标为l 的方程和圆 c 的方程联立的方程组的解，或第 2页共 3页过圆心与切线 l垂直的直线与切线l联立的方程组的解。（ 5 ）若

7、点p( x0 , y0 ) 在圆 x 2y2r 2 外一点；则过点p 点的切线的切点弦方程为：xx0yy0r 2 ；若点 p( x0 , y0 ) 在圆 (xa) 2( yb) 2r 2 ；则过点 p 点的切线的切点弦方程为：( xa )( x0a)( yb)( y 0b) r 2 ；七、圆的弦长的求法：（1）几何法：当直线和圆相交时， 设弦长为 l ，弦心距为 d，半径为 r ，则有：( l ) 2d 2r 2 ；2（ 2 ） 代 数 法 ： 设 l 的 斜 率 为 k ， l与 圆 交 点 分 别 为 a(x1, y1 )， b(x2 , y2 ) ， 则| ab |1 k 2 | x ax b |11 | y ay b |k 2（其中 | x1x2|,| y1y2|的求法是将直线和圆的方程联立消去y 或 x ，利用韦达定理求解。）八、圆系方程：（1）经过两个圆x2y2d1 x e1 y f10与22222的交点的圆系方程是xyx0de y fx2y2d1 xe1 yf1( x2