2020版高中数学第三章空间向量与立体几何3.2.2平面的法向量与平面的向量表示（第2课时）课件.pptx

1、3.2.2平面的法向量与平面的向量表示,第三章 空间向量与立体几何,引入课题,上一节,我们把向量从平面推广到空间, 并利用空间向量解决了一些立体几何问题. 本节我们进一步学习立体几何中的向量方法. 立体几何研究的基本对象是点、直线、平面 以及由它们组成的空间图形. 为了用空间向量解决立体几何问题, 首先必须把点、直线、平面的位置用向量表示出来.,知识点一：平面的法向量,给一个定点和一个定方向(向量), 能确定一个平面在空间的位置吗?,给定一点A和一个向量 a , 过点A, 与向量 a 垂直的平面是确定的.,a,A,法向量： 如果表示向量 a 的有向线段所在直线垂直于平面， 则称这个向量垂直于平

2、面，记作 a ， 如果 a ，那么向量 a 叫做平面的法向量.,知识点二：求平面的法向量,一个平面有多少个法向量？ 它们是什么关系？ 如何求平面的一个法向量？,b,c,d,e,(1)设出平面的法向量 n =(x,y,z)； (2)取平面内两个不共线的向量 a =(a1,b1,c1)， b =(a2,b2,c2)； (3)由 n a =0， n b =0建立关于 x、y、z的方程组； (4)取方程组的一组解.,两个方程 三个未知数,非零向量,a,b,n,知识点二：向量与平行,(1)线面平行 设直线l的方向向量为 a (a1，b1，c1)， 平面的法向量为 u (a2，b2，c2)，,(2)面面平

3、行 设平面，的法向量分别为 u (a1，b1，c1)， v (a2，b2，c2)， 则 u v _.,u v,l a u _ _,a u 0,a1a2b1b2c1c20,知识点三：向量与垂直,设直线l的方向向量是 u (a1，b1，c1)， 平面的法向量是 v (a2，b2，c2)， 则l u v _,u k v,l,u,v,设平面的法向量 u (a1，b1，c1)， 平面的法向量 v (a2，b2，c2)， 则_ _ _ ,u v,u v 0,a1a2b1b2c1c20,u,v,典例分析,例1 (1)设 u ， v 分别是不同的平面，的法向量， 根据下列条件判断，的位置关系； u (1，1，

4、2)， v (3，2， 1 2 )； u (3，0，0)， v (2，0，0)；,解：, u (1，1，2)， v (3，2， 1 2 )， u v 3210， u v ，. u (3，0，0)， v (2，0，0)， u 3 2 v ， u v ，.,典例分析,(2)设 u 是平面的法向量， a 是直线l的方向向量， 根据下列条件判断平面与l的位置关系； u (2，2，1)， a (6，8，4)； u (2，3，0)， a (8，12，0),解：, u (2，2，1)， a (6，8，4)， u a 124160， u a ，l或l. u (2，3，0)， a (8，12，0) u 1 4

5、a ， u a ，l.,跟踪训练,1.根据下列各条件，判断相应的直线与直线、平面与平面、 直线与平面的位置关系 (1)平面、的法向量分别是 u (1，3，0)， v (3，9，0)； (2)直线l的方向向量、平面的法向量分别是 a (1，4，3)， (2，0，3)； (3)直线l的方向向量、平面的法向量分别是 a (3，2，1)， u (1，2，1),跟踪训练,解：(1) u (1，3，0)， v (3，9，0)， v 3 u ， u v ，. (2) a (1，4，3)， u (2，0，3)， a 与 u 即不共线，也不垂直， l与平面斜交 (3) a (3，2，1)， u (1，2，1)，

6、 a u 3410， a u ， l或l.,典例分析,例2 如图，ABCD是直角梯形，ABC90，SA平面ABCD， SAABBC1，AD 1 2 ，求平面SCD与平面SBA的法向量,D,B,A,C,z,y,x,S,解：,AD、AB、AS是三条两两垂直的线段， 以A为原点，以 AD 、 AB 、 AS 的方向 为x轴，y轴，z轴的正方向建立坐标系， 则A(0，0，0)，D( 1 2 ，0，0)，C(1，1，0)， S(0，0，1)， AD ( 1 2 ，0，0)是平面SAB的法向量，,典例分析,设平面SCD的法向量 n (1，u)， 则 n DC (1，u)( 1 2 ，1，0) 1 2 0，

7、 1 2 . n DS (1，u)( 1 2 ，0，1) 1 2 u0， u 1 2 ， n (1， 1 2 ， 1 2 ),跟踪训练,2.已知点A(a，0，0)、B(0，b，0)、C(0，0，c)，求平面ABC的一个法向量,解：设坐标原点为O， 由已知可得： AB (a，b，0)， AC (a，0，c) 设平面ABC的一个法向量为 n (x，y，z)， 则 n AB (x，y，z)(a，b，0)axby0， n AC (x，y，z)(a，0，c)axcz0. 于是得y x，z x. 不妨令xbc，则yac，zab. 因此，可取 n (bc，ac，ab)为平面ABC的一个法向量,典例分析,例3

8、 已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，E、F分别是BB1、DD1的中点， 求证：(1)FC1平面ADE；(2)平面ADE平面B1C1F.,D1,D,A,B,C,A1,B1,C1,z,y,x,如图所示建立空间直角坐标系Dxyz， 则有D(0，0，0)、A(2，0，0)，C(0，2，0)， C1(0，2，2)，E(2，2，1)，F(0，0，1)， B1(2，2，2)， 所以 1 (0，2，1)， (2，0，0)， (0，2，1).,证明：,E,F,典例分析,(1)设 n1 (x1，y1，z1)是平面ADE的法向量， 则 n1 ， n1 ， 即2x1=0, 2y1+z1=0， 得令z12，

9、则y11， 所以 n1 (0，1，2) 因为 FC1 n1 220，所以 FC1 n1 . 又FC1平面ADE，FC1平面ADE. (2) C1B1 (2，0，0)， 设 n2 (x2，y2，z2)是平面B1C1F的一个法向量,由 n2 FC1 ， n2 C1B1 ，得 得2y2+z2=0,2x2=0， 令z22得y21， 所以 n2 (0，1，2)， 因为 n1 n2 ， 所以平面ADE平面B1C1F.,跟踪训练,3.如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N，E，F分别是棱A1B1，A1D1，B1C1，C1D1的中点 求证：平面AMN平面EFDB.,D1,D,A,B,C,A1,B1

10、,C1,z,y,x,N,M,F,E,证明：如图，建立空间直角坐标系D-xyz. 设正方体棱长为a， 则A(a，0，0)，A1(a，0，a)，D1(0，0，a)， B1(a，a，a)，B(a，a，0)，C1(0，a，a) N( 2 ，0，a)，M(a， 2 ，a)， E( 2 ，a，a)，F(0， 2 ，a)，,跟踪训练, ( 2 ，0，a)， ( 2 ， 2 ，0)， (a，a，0)， (0， 2 ，a)， 设平面AMN与平面EFDB的法向量分别为 m (x1，y1，z1)和 n (x2，y2，z2)，,则,m AN =0， m NM =0，, 2 1 +0+ 1 =0， 2 1 + 2 1

11、+0=0，,y1x12z1，取z11， 平面AMN的一个法向量为m(2，2，1)，,同理可得平面EFDB的一个 法向量为 n (2，2，1)， m n ， 平面AMN平面EFDB.,典例分析,例4 如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O为AC与BD的交点， G为CC1的中点，求证：A1O平面GBD.,D1,D,A,B,C,A1,B1,C1,z,y,x,G,O,如图建立空间直角坐标系D-xyz 设正方体棱长为2， 则O(1，1，0)，A1(2，0，2)，G(0，2，1)， B(2，2，0)，D(0，0，0)， 1 (1，1，2)， (1，1，0)， (2，0，1)，,证明：,典例分析,

12、而 1 1100， 1 2020. 1 ， 1 ， 即OA1OB，OA1BG， 而OBBGB，且A1O面GBD， OA1面GBD.,跟踪训练,4.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是BB1、D1B1的中点 求证：EF平面B1AC.,D1,D,A,B,C,A1,B1,C1,z,y,x,F,E,证明：设正方体的棱长为2， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(2，0，0)，C(0，2，0)，B1(2，2，2)， E(2，2，1)，F(1，1，2) (1，1，1)， 1 (0，2，2)， (2，2，0),跟踪训练, 1 (1，1，1)(0，2，2) (1)0(1)2120， (

13、1，1，1)(2，2，0)2200， 1 ， ，EFAB1，EFAC. 又AB1ACA，EF平面B1AC.,建系如图，取A(0，0，a)， 则易得B(0，0，0)，C( 3 2 a， 3 2 a，0)， D(0， 3 a，0)，E( 3 4 a， 3 4 a， 2 )，F(0， 3 2 a， 2 )， BCD90，CDBC. 又AB平面BCD，ABCD. 又ABBCB，CD平面ABC，,典例分析,例5 在四面体ABCD中，AB平面BCD，BCCD，BCD90， ADB30，E、F分别是AC、AD的中点， 求证：平面BEF平面ABC.,D,B,C,A,E,F,x,y,z,证明：,典例分析, (

14、3 2 a， 3 2 a，0)为平面ABC的一个法向量 设平面BEF的法向量 n (x，y，z)， n 0， 即(x，y，z) ( 3 4 a， 3 4 a，0)0，xy. 由n 0，即(x，y，z)(0， 3 2 a， 2 )0， 有 3 2 ay 2 z0z 3 y. 取y1，得 n (1，1， 3 ). n (1，1， 3 ) ( 3 2 a， 3 2 a，0) 0， n ，平面BEF平面ABC.,跟踪训练,5.在正三棱锥PABC中，三条侧棱两两互相垂直，G是PAB的重心， E、F分别为BC、PB上的点，且BEECPFFB12. 求证：平面GEF平面PBC；,F,C,G,E,P,B,A,z,y,x,证明：如图，建立空间直角坐标系 令PAPBPC3， 则A(3，0，0)、B(0，3，0)、C(0，0