2020版高中数学第二章数列专题突破二数列的单调性和最大小项课件新人教B版.pptx

1、专题突破二数列的单调性和最大(小)项,第二章 数列,一、数列的单调性 (1)定义：若数列an满足：对一切正整数n，都有an1an(或an1an)，则称数列an为递增数列(或递减数列). (2)判断单调性的方法 转化为函数，借助函数的单调性，如基本初等函数的单调性等，研究数列的单调性. 利用定义判断：作差比较法，即作差比较an1与an的大小；作商比较法，即作商比较an1与an的大小，从而判断出数列an的单调性.,例1已知函数 f (x) (x1)，构造数列anf (n)(nN).试判断数列的单调性.,an1an. 数列an是递减数列.,方法二设x1x21，则,x1x21，x110，x210，x2

2、x10， f (x1)f (x2)0， 即f (x1)f (x2)， f (x)在1，)上为减函数， anf (n)为递减数列.,反思感悟研究数列的单调性和最大(小)项，首选作差，其次可以考虑借助函数单调性.之所以首选作差，是因为研究数列的单调性和研究函数单调性不一样，函数单调性要设任意x1x2，而数列只需研究相邻两项an1，an，证明难度是不一样的.另需注意，函数f(x)在1，)上单调，则数列anf(n)一定单调，反之不成立.,跟踪训练1数列an的通项公式为an32n223n1，nN.求证：an为递增数列.,证明an1an32n123n(32n223n1) 3(2n22n1)2(3n3n1)

3、 32n243n1,an1an0，即an1an，nN. an是递增数列.,二、求数列中的最大(或最小)项问题 常见方法： (1)构造函数，确定函数的单调性，进一步求出数列的最值.,45，44,故数列an在0n44，nN时递减，在n45时递减，,反思感悟本题考查根据数列的单调性求数列的最大项和最小项，此类题一般借助相关函数的单调性来研究数列的单调性，然后再判断数列的最大项与最小项.,跟踪训练2已知数列an的通项公式an (nN)，则an的最大项是 A.a3 B.a4C.a5 D.a6,且1n5时，an0，n6时，an0. an的最大值为a5.,例3已知数列an的通项公式为ann25n4，nN.

4、(1)数列中有多少项是负数？,解由n25n40，解得1n4. nN，n2，3. 数列中有两项是负数.,(2)n为何值时，an有最小值？并求出其最小值.,当n2或n3时，an有最小值，其最小值为225242.,反思感悟有时也可借助函数最值来求数列最值.但应注意函数最值点不是正整数的情形.,跟踪训练3已知(1)na1 对任意nN恒成立，则实数a的取值范围是 _.,解析设f(n)1 ，n1，则f(n)单调递增. 当n为奇数时，有a1,当n3，nN时，an1an0. 综上，可知an在n1，2，3时，单调递增； 在n4，5，6，7，时，单调递减.所以存在最大项.,反思感悟如果本例用函数单调性来解决，就会

5、变得很麻烦.,当n1，2，3，4，5时，bn1bn0，即b1b2b3b4b5. 当n6，7，8，时，bn1bn0，即b6b7b8，,三、利用数列的单调性确定变量的取值范围 常利用以下等价关系： 数列an递增an1an恒成立；数列an递减an1an恒成立，通过分离变量转化为代数式的最值来解决.,例5已知数列an中，ann2n，nN. (1)若an是递增数列，求的取值范围.,解由an是递增数列an(2n1)，nN3. 的取值范围是(3，).,(2)若an的第7项是最小项，求的取值范围.,解得1513，即的取值范围是15，13.,k的取值范围为(2，).,跟踪训练5数列an中，an2n1k2n1，n

6、N，若an是递减数列，求实数k的取值范围.,解an12(n1)1k2n112n1k2n，an1an2k2n1. an是递减数列， 对任意nN，有2k2n10，,达标检测,DABIAOJIANCE,1,2,3,4,5,1.设an2n229n3，nN，则数列an的最大项是,当n7时，an取得最大值， 最大值为a72722973108.故选D.,A.有最大项，没有最小项B.有最小项，没有最大项 C.既有最大项又有最小项D.既没有最大项也没有最小项,即t1时，an取最大值.,所以该数列既有最大项又有最小项.,1,2,3,4,5,2,3,4,5,解析ann210n11是关于n的二次函数， 数列an是抛物线f(x)x210 x11上的一些离散的点， an前10项都是正数，第11项是0， 数列an前10项或前11项的和最大.故选C.,3.设ann210n11，则数列an从首项到第几项的和最大 A.10 B.11 C.10或11 D.12,1,2,3,4,5,4.数列an中，a12，an2an1(nN，2n10)，则数列a