第3讲 算符 schrodinger equation.ppt

1、1,量子力学,光电子科学与工程学院 王可嘉,第三讲 力学量的平均值 算符 薛定谔方程 量子力学中的基本假设,2,第三讲目录,一、 简短的回顾 二、力学量的平均值 三、力学量用算符表示 四、薛定谔方程 五、量子力学的基本假设,3,一、简短的回顾(1),4,一、简短的回顾(2),5,一、简短的回顾(3),2、任意粒子的波函数 对于描述任意粒子波动性的波函数，可以看作无限多个平面波的叠加。,6,一、简短的回顾(4),7,一、简短的回顾(5),8,二、力学量的平均值(1),表示粒子出现在点 附近的概率，那么粒子坐标的平均值，例如： 的平均值 ，,又如，势能 是 的函数，其平均值为:,9,二、力学量的平

2、均值(2),10,三、力学量用算符表示(1),算符：作用在一个函数上得出另一个函数的运算符号，设某种运算把函数 变为 ，表示为：,作用到平面波波函数,11,三、力学量用算符表示(2),以坐标和动量为自变量的波函数之间的关系为，,动量的平均值 ，将(2)取复共轭带入,12,三、力学量用算符表示(3),13,三、力学量用算符表示(4),动量的平均值，用以动量为自变量的波函数表示：,用以坐标为自变量的波函数表示：,其中， 为动量 的算符,即：动量算符,坐标算符为坐标自身,14,三、力学量用算符表示(5),15,三、力学量用算符表示(6),量子力学中，力学量用算符表示，若在经典力学中有力学量 ，则在量

3、子力学中相应的力学量算符为： 量子力学假设之二,力学量 的平均值为：,若在经典力学中 ，则在量子力学中：,16,三、力学量用算符表示(7),一个问题：根据坐标平均值的计算公式：,坐标平均值可否表示为：,对比前面的问题：,答案是肯定的,17,四、薛定谔方程(1),经典力学，确定粒子的坐标，即可确定所有的力学量：,坐标随时间演化方程：,问题：既然波函数 完全确定微观粒子的状态（基本假设），那么 如何随时间演化？,牛顿方程,薛定谔方程,18,四、薛定谔方程(2),设任意状态微观粒子的波函数为： 根据Fourier变换，可以由平面波的叠加来表示,能量算符,利用能量算符，可以给出量子力学中的基本方程：薛

4、定谔方程,19,四、薛定谔方程(3),经典粒子的能量：,两边同乘粒子的波函数:,根据量子力学的基本假设之二:,得到薛定谔方程：,量子力学的基本假设之三：描述体系状态的波函数 其时空演化行为满足薛定谔方程。,20,四、薛定谔方程(4),E. 薛定谔（1887-1961） Nobel Prize in Physics(1933),“我确信，通过薛定谔的关于量子条件的公式表述，已作出了决定性的进展。在这些对量子规则作深刻阐明的新尝试中，我最满意的是薛定谔的表述方式。” A. Einstein,21,四、薛定谔方程(5),薛定谔方程的推论：连续性方程,由 得：,概率密度,概率(粒子)流密度,得到连续性

5、方程,定义：,22,四、薛定谔方程(6),连续性方程的回顾：,电磁学中： 为电荷密度， 为电流密度。,由Guass定理：,23,四、薛定谔方程(7),电磁学：左边表示在区域 内电荷在单位时间内的增量，右边单位时间内通过 的封闭表面 流入 内的总电流。电荷守恒,量子力学：左边表示在区域 内找到粒子概率单位时间内的增量，右边单位时间内通过 的封闭表面 流入 内的概率。概率守恒,粒子数目在全空间中保持不变,24,四、薛定谔方程(8),能量本征方程,薛定谔方程:,若 不显含 ，则可令 ，有,因此， 满足的方程,称为能量本征方程 ， 称为能量本征函数， 称为能量本征值。,25,四、薛定谔方程(9),本征

6、方程,数学定义：设 为算符， 为一个数，若,则称(1)为算符 的本征方程， 为本征函数， 为本征值,能量本征方程,令： ，称 为哈密顿算符,因为本征值 具有能量的量纲，故此方程被之为能量本征方程， 被称为能量本征函数， 被称为能量本征值。,26,五、量子力学的基本假设（1）,1、微观体系的状态被一个波函数完全描述，从这个波函数可以得出体系的所有性质。,2、力学量用厄米算符表示，表示力学量的算符有组成完全系的本征函数。,3、体系的状态波函数满足薛定谔方程：,五条基本假设,27,五、量子力学的基本假设（2）,4、将体系的状态波函数 用算符 的本征函数 展开，其中：,则在体系 态中测量力学量 得到结果为 的概率为 ，得到结果 范围内的概率是 。,5、在全同粒子所组成的体系中，两全同粒子相互调换不改变体系的状态。(全同性