压缩感知原理

1、压缩感知原理(附程序)1压缩感知引论传统方式下的信号处理，是按照奈奎斯特采样定理对信号进行采样，得到大量的采样数据，需要先获取整个信号再进行压缩，其压缩过程如图2.1。可压缩信号高速采样压缩重构信号变换图2.1 传统的信号压缩过程在此过程中，大部分采样数据将会被抛弃，即高速采样后再压缩的过程浪费了大量的采样资源，这就极大地增加了存储和传输的代价。由于带宽的限制，许多信号只包含少量的重要频率的信息。所以大部分信号是稀疏的或是可压缩的，对于这种类型的信号，既然传统方法采样的多数数据会被抛弃，那么，为什么还要获取全部数据而不直接获取需要保留的数据呢？Candes和Donoho等人于2004年提出了压

2、缩感知理论。该理论可以理解为将模拟数据节约地转换成压缩数字形式，避免了资源的浪费。即，在采样信号的同时就对数据进行适当的压缩，相当于在采样过程中寻找最少的系数来表示信号，并能用适当的重构算法从压缩数据中恢复出原始信号。压缩感知的主要目标是从少量的非适应线性测量中精确有效地重构信号。核心概念在于试图从原理上降低对一个信号进行测量的成本。压缩感知包含了许多重要的数学理论，具有广泛的应用前景，最近几年引起广泛的关注，得到了蓬勃的发展。2压缩感知原理压缩感知，也被称为压缩传感或压缩采样，是一种利用稀疏的或可压缩的信号进行信号重构的技术。或者可以说是信号在采样的同时被压缩，从而在很大程度上降低了采样率。

3、压缩感知跳过了采集个样本这一步骤，直接获得压缩的信号的表示。CS理论利用到了许多自然信号在特定的基上具有紧凑的表示。即这些信号是“稀疏”的或“可压缩”的。由于这一特性，压缩感知理论的信号编解码框架和传统的压缩过程大不一样，主要包括信号的稀疏表示、编码测量和重构算法等三个方面。对于一个实值的有限长一维离散时间信号，可以看作为一个空间1的维的列向量，元素为，,=1，2，。空间的任何信号都可以用1维的基向量的线性组合表示。为简化问题，假定这些基是规范正交的。把向量作为列向量形成的基矩阵：= ,，于是任意信号都可以表示为： (2.1)其中是投影系数=构成的1的列向量。显然，和是同一个信号的等价表示，是

4、信号在时域的表示，则是信号在域的表示。如果的非零个数比小很多，则表明该信号是可压缩的。一般而言，可压缩信号是指可以用个大系数很好地逼近的信号，即它在某个正交基下的展开的系数按一定量级呈现指数衰减，具有非常少的大系数和许多小系数。这种通过变换实现压缩的方法称为变换编码。在数据采样系统中，采样速率高但信号是可压缩的，采样得到点采样信号；通过变换后计算出完整的变换系数集合；确定个大系数的位置，然后扔掉个小系数；对个大系数的值和位置进行编码，从而达到压缩的目的。由Candes、Romberg、Tao和Donoho等人在2004年提出的压缩感知理论表明，可以在不丢失逼近原信号所需信息的情况下，用最少的观

5、测次数来采样信号，实现信号的降维处理，即直接对信号进行较少采样得到信号的压缩表示，且不经过进行次采样的中间阶段，从而在节约采样和传输成本的情况下，达到了在采样的同时进行压缩的目的。Candes证明了只要信号在某一个正交空间具有稀疏性，就能以较低的频率采样信号，而且可以以高概率重构该信号。即，设定设长度为的信号在某正交基或框架上的变换系数是稀疏的，如果我们可以用一个与变换基不相关的观测基 ：对系数向量进行线性变换，并得到观测集合。那么就可以利用优化求解方法从观测集合中精确或高概率地重构原始信号。图2.2是基于压缩感知理论的信号重构过程框图。可压缩信号稀疏变换观测得到的维向量重构信号满足图2.2

6、基于压缩感知理论的信号重构过程基于压缩感知的信号重构主要包含了信号的稀疏表示、编码测量和重构算法三个步骤。第一步，如果信号在某个正交基或紧框架上是可压缩的，求出变换系数，是的等价或逼近的稀疏表示；第二步，设计一个平稳的、与变换基不相关的维的观测矩阵，对进行观测得到观测集合，该过程也可以表示为信号通过矩阵进行非自适应观测： (其中)，称为CS信息算子；第三步，利用0-范数意义下的优化问题求解的精确或近似逼近： s.t. (2.2)求得的向量在基上的表示最稀疏。针对上述的三个步骤，下面将一一解决其中的三个问题。2.1 信号的稀疏表示压缩感知的第一步即，对于信号，如何找到某个正交基或紧框架，使其在上

7、的表示是稀疏的，即信号的稀疏表示问题。所谓的稀疏，就是指信号在正交基下的变换系数向量为，假如对于和，这些系数满足： (2.3)则说明系数向量在某种意义下是稀疏的。如何找到信号最佳的稀疏域？这是压缩感知理论应用的基础和前提，只有选择合适的基表示信号才能保证信号的稀疏度，从而保证信号的恢复精度。在研究信号的稀疏表示时，可以通过变换系数衰减速度来衡量变换基的稀疏表示能力。Candes和Tao研究表明，满足具有幂次速度衰减的信号，可利用压缩感知理论得到恢复，并且重构误差满足： (2.4)其中r=1/p 1/2，0p=K*log(N/K),至少40,但有出错的概率)f1=50; % 信号频率1f2=10

8、0; % 信号频率2f3=200; % 信号频率3f4=400; % 信号频率4fs=800; % 采样频率ts=1/fs; % 采样间隔Ts=1:N; % 采样序列x=0.3*cos(2*pi*f1*Ts*ts)+0.6*cos(2*pi*f2*Ts*ts)+0.1*cos(2*pi*f3*Ts*ts)+0.9*cos(2*pi*f4*Ts*ts); % 完整信号% 2. 时域信号压缩传感Phi=randn(M,N); % 测量矩阵（观测矩阵）s=Phi*x; % 获得线性测量 % 3. 正交匹配追踪法重构信号(本质上是L_1范数最优化问题)m=2*K; % 算法迭代次数(m=K) Psi=

9、fft(eye(N,N)/sqrt(N); % 傅里叶正变换矩阵（正交基）% Psi=dct2(256); %dct变换T=Phi*Psi; % 恢复矩阵(测量矩阵*正交反变换矩阵)hat_y=zeros(1,N); % 待重构的谱域(变换域)向量 Aug_t=; % 增量矩阵(初始值为空矩阵)r_n=s; % 残差值for times=1:m; % 迭代次数(有噪声的情况下,该迭代次数为K) for col=1:N; % 恢复矩阵的所有列向量 product(col)=abs(T(:,col)*r_n); % 恢复矩阵的列向量和残差的投影系数(内积值) end val,pos=max(product); % 最大投影系数对应的位置 Aug_t=Aug_t,T(:,pos); % 矩阵扩充 T(:,pos)=zeros(M,1); % 选中的列置零（实质上应该去掉，为了简单我把它置零） aug_y=(Aug_t*Aug_t)(-1)*Aug_t*s; % 最小二乘,使残差最小 r_n=s-Aug_t*aug_y; % 残差 pos_array(times)=pos; % 纪录最大投影系数的位置endhat_y(pos_array)=aug_y; % 重构的谱域向量hat_x=real(Psi*hat_y.); % 做逆傅里叶变换重构得到时域信号% 4. 恢复信号和原始信号对