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文档简介

1、(1)实数与向量的运算法则:设、为实数,则有:1)结合律:。2)分配律:,。(2)向量的数量积运算法则:1)。2)。3)。(3)平面向量的基本定理。是同一平面内的两个不共线向量,则对于这一平面内的任何一向量,有且仅有一对实数,满足。(4)与的数量积的计算公式及几何意义:,数量积等于的长度与在的方向上的投影的乘积。(5)平面向量的运算法则。1)设,则+。2)设,则-。 3)设点A,B,则。4)设,则。5)设,则。(6)两向量的夹角公式:(,)。(7)平面两点间的距离公式:(A,B)。(8)向量的平行与垂直:设,且0,则有:1)|。2) (0) 0。(9)线段的定比分公式:设,是线段的分点,是实数

2、,且,则()。(10)三角形的重心公式:ABC三个顶点的坐标分别为、,则ABC的重心的坐标为。(11)平移公式: 。(12)关于向量平移的结论。1)点按向量平移后得到点。2)函数的图像按向量平移后得到图像:。3)图像按向量平移后得到图像:,则为。4)曲线:按向量平移后得到图像:。设a=(x,y),b=(x,y)。1、向量的加法向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。 向量的加法OB+OA=OC。a+b=(x+x,y+y)。a+0=0+a=a。向量加法的运算律:交换律:a+b=b+a;结合律:(a+b)+c=a+(b+c)。12、向量的减法如果a、b是互为相反的向量,那么a=-b,b=-a,a

3、+b=0. 0的反向量为0AB-AC=CB. 即“共同起点,指向被 向量的减法减”a=(x,y)b=(x,y) 则a-b=(x-x,y-y).如图:c=a-b 以b的结束为起点,a的结束为终点。3、向量的数乘实数和向量a的乘积是一个向量,记作a,且a=a。当0时,a与a同方向当1时,表示向量a的有向线段在原方向(0)或反方向(0)上伸长为原来的倍当0)或反方向(0)上缩短为原来的倍。数与向量的乘法满足下面的运算律结合律:(a)b=(ab)=(ab)。向量对于数的分配律(第一分配律):(+)a=a+a.数对于向量的分配律(第二分配律):(a+b)=a+b.数乘向量的消去律: 如果实数0且a=b,

4、那么a=b。 如果a0且a=a,那么=。24、向量的数量积定义:已知两个非零向量a,b。作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角,记作a,b并规定0a,b定义:两个向量的数量积(内积、点积)是一个数量(没有方向),记作ab。若a、b不共线,则ab=|a|b|cosa,b(依定义有:cosa,b=ab / |a|b|);若a、b共线,则ab=ab。向量的数量积的坐标表示:ab=xx+yy。向量的数量积的运算律ab=ba(交换律)(a)b=(ab)(关于数乘法的结合律)(a+b)c=ac+bc(分配律)向量的数量积的性质aa=|a|的平方。ab =ab=0。|ab|a|b|。(该公

5、式证明如下:|ab|=|a|b|cos| 因为0|cos|1,所以|ab|a|b|)向量的数量积与实数运算的主要不同点1向量的数量积不满足结合律,即:(ab)ca(bc);例如:(ab)2a2b2。2向量的数量积不满足消去律,即:由 ab=ac (a0),推不出 b=c。3|ab|与|a|b|不等价4由 |a|=|b| ,推不出 a=b或a=-b。5、向量的向量积定义:两个向量a和b的向量积 向量的几何表示(外积、叉积)是一个向量,记作ab(这里“”并不是乘号,只是一种表示方法,与“”不同,也可记做“”)。若a、b不共线,则ab的模是:ab=|a|b|sina,b;ab的方向是:垂直于a和b,

6、且a、b和ab按这个次序构成右手系。若a、b垂直,则ab=0。向量的向量积性质:ab是以a和b为边的平行四边形面积。aa=0。a垂直b=ab=0向量的向量积运算律ab=-ba(a)b=(ab)=a(b)a(b+c)=ab+ac.注:向量没有除法,“向量AB/向量CD”是没有意义的。6、三向量的混合积定义:给定空间三向量a、b、c,向量a、b的向量积ab,再和向量c作数量积(ab)c, 向量的混合积所得的数叫做三向量a、b、c的混合积,记作(a,b,c)或(abc),即(abc)=(a,b,c)=(ab)c混合积具有下列性质:1三个不共面向量a、b、c的混合积的绝对值等于以a、b、c为棱的平行六

7、面体的体积V,并且当a、b、c构成右手系时混合积是正数;当a、b、c构成左手系时,混合积是负数,即(abc)=V(当a、b、c构成右手系时=1;当a、b、c构成左手系时=-1)2上性质的推论:三向量a、b、c共面的充要条件是(abc)=03(abc)=(bca)=(cab)=-(bac)=-(cba)=-(acb)4(ab)c=a(bc) 7.例题正方形ABCD,EFGA,CHIK首尾相连,L是EH中点,求证LBGK?设AE=a向量, AG=a, AD=c, AB=c, CH=b,CK=b有 aa=bb=cc=0, a2=a2, b2=b2 ,c2=c2,ab=ab,ac=-ac,ac=ac, bc=bc. bc=-bc*FH=-a+c+c+b LB=FH/2-b

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