应用多元统计分析课后习题答案高惠璇第六章习题解答

应用多元统计分析第六章部分习题解答1第六章 聚类分析 6-1 证明下列结论 :(1) 两个距离的和所组成的函数仍是距离 ;(2) 一个正常数乘上一个距离所组成的函数仍是距离 ;(3)设 d为一个距离 ,c0为常数 ,则仍是一个距离 ; (4) 两个距离的乘积所组成的函数不一定是距离 ; 2第六章 聚类分析(2) 设 d是 距离 ,a 0为 正常数 .令 d*=ad,显然有3第六章 聚类分析故 d*=ad是一个距离 .(3) 设 d为一个距离 ,c0为常数 ,显然有4第六章 聚类分析故 d*是一个距离 .5第六章 聚类分析6第六章 聚类分析6-2 试证明二值变量的相关系数为 (6.2.2)式，夹角余弦为 (6.2.3)式 .证明： 设变量 Xi和 Xj是二值变量，它们的 n次观测值记为 xti, xtj (t=1, n). xti, xtj 的值或为 0，或为 1.由二值变量的列联表（表 6.5）可知：变量 Xi取值 1的观测次数为 a+b,取值 0的观测次数为 c+d;变量 Xi和 Xj取值均为 1的观测次数为 a,取值均为 0的观测次数为 d 等等。利用两定量变量相关系数的公式：7第六章 聚类分析8第六章 聚类分析故二值变量的相关系数为：(6.2.2)9第六章 聚类分析利用两定量变量夹角余弦的公式：其中故有10第六章 聚类分析6-3 下面是 5个样品两两间的距离阵试用最长距离法、类平均法作系统聚类，并画出谱系聚类图 .解 :用最长距离法 : 合并 X(1),X(4)=CL4,并类距离 D1=1.11第六章 聚类分析 合并 X(2),X(5)=CL3,并类距离 D2=3. 合并 CL3,CL4=CL2,并类距离 D3=8. 所有样品合并为一类 CL1,并类距离 D4=10.12第六章 聚类分析最长距离法的谱系聚类图如下 :13第六章 聚类分析 合并 X(1),X(4)=CL4,并类距离 D1=1.用类平均法 :14第六章 聚类分析 合并 X(2),X(5)=CL3,并类距离 D2=3. 合并 CL3,CL4=CL2,并类距离 D3=(165/4)1/2. 所有样品合并为一类 CL1,并类距离 D4=(121/2)1/2.15第六章 聚类分析类平均法的谱系聚类图如下 :16第六章 聚类分析6-4 利用距离平方的递推公式来证明当 0,p0,q0,p+q+1时 ,系统聚类中的类平均法、可变类平均法、可变法、 Ward 法的单调性 .证明： 设第 L次合并 Gp和 Gq为新类 Gr后 ,并类距离 DL Dpq,且必有 Dpq2Dij2 . 新类 Gr与其它类 Gk的 距离平方的递推公式 ,当 0,p0,q0, p+q+ 1 时这表明新的距离矩阵中类间的距离均 Dpq DL ，故有 DL 1 DL ，即相应的聚类法有单调性 . 17第六章 聚类分析对于类平均法，因故类 平均法具有单调性。对于可变类平均法，因故可变类平均法具有单调性。18第六章 聚类分析对于可变法，因故 可变法具有单调性。对于离差平方和法，因故离差平方和法具有单调性。19第六章 聚类分析6-5 试从定义直接证明最长和最短距离法的单调性 .证明： 先考虑最短距离法：设第 L步从类间 距离矩阵 出发，假设 故 合并 Gp和 Gq为一新类 Gr， 这时第 L步的并类距离 :且新类 Gr与其它类 Gk的距离由递推公式可知设第 L+1步从类间距离矩阵 出发，20第六章 聚类分析故第 L 1步的并类距离 :即最短距离法具有单调性 .类似地 ,可以证明最长距离法也具有单调性 .21第六章 聚类分析6-6 设 A,B,C为平面上三个点 ,它们之间的距离为将三个点看成三个二维样品 ,试用此例说明中间距离法和重心法不具有单调性 .解 :按中间距离法 ,取 =-1/4,将 B和 C合并为一类后 ,并类距离 D1=1,而 A与新类 Gr=B,C的类间平方距离为22第六章 聚类分析故中间距离法不具有单调性。按重心法 ,将 B和 C合并为一类后 ,并类距离D1=1,而 A与新类 Gr=B,C的类间平方距离为当把 A与 B， C并为一类时，并类距离23第六章 聚类分析故 重心法 法不具有单调性。并类过程如下： 当把 A与 B， C并为一类时，并类距离AB C24第六章 聚类分析解一 : 利用如果样品间的距离定义为欧氏距离 ,则有 6-7 试推导重心