第六章第三节二元一次不等式组及简单的线性规划问题

一、选择题1已知变量 x，y 满足Error!则 z3xy 的最大值为( )A4 B5C6 D7解析：在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域及直线3xy0，平移 该直线，当平移到经过该平面区域内的点 B(2,1)时，相应直线在 x 轴上的截距达到最大，此 时 z3xy 取得最大值，最大值是 7.答案：D2(2011山东高考)设变量 x，y 满足约束条件Error!则目标函数 z2x3y1 的最大值为( )A11 B10C9 D8.5解析：作出不等式组表示的可行域，如 图阴影部分所示又 z2x3y1 可化为 y x ，结合图形可知23 z3 13z2x 3y1 在点 A 处取得最大值由Error! 得Error!故 A(3,1)此时 z2331110.答案：B3若 zmxy 在平面区域Error!上取得最小值时的最优解有无穷多个，则 z 的最小值是( )A1 B1C0 D0 或1解析：画出平面区域，可以判断出 z 的几何意义是直线 mxy z0 在 y 轴上的截距，只有直线 mxy z0 与直线 x2y0 重合时，才符合 题 意，此 时，相应 z 的最小值为 0.答案：C4(2012海淀模拟)P (2，t)在不等式组Error! 表示的平面区域内，则点 P(2，t )到直线3x4y100 距离的最大值为( )A2 B4C6 D8解析：如图所示，结合图形可知点 A(2,1)到已知直线距离最大，则最大值为4.|32 41 10|32 42答案：B5(2012郑州模拟)设双曲线 4x2y 21 的两条渐近线与直线 x 围成的三角形区域2(包含边界 )为 D，P (x，y )为 D 内的一个动点，则目标函数 z xy 的最小值为( )12A2 B322C0 D522解析：双曲线 4x2y 21 的两条渐近线方程为2xy0,2x y0，与直线 x 围成的三角形区域如图中的阴影部2分所示，所以目标函数 z xy 在点 P( ，2 )处取得最小 值为 z12 2 2 12 2 .2 2322答案：B二、填空题6如图，点(x，y)在四边形 ABCD 内部和边界上运动，那么2xy 的最小值为 _解析：令 b2xy，则 y2xb，如 图所示，作斜率 为 2 的平行线 y2xb，当 经过点 A 时，直 线在 y 轴上的截距最大，为b，此时 b2xy 取得最小值，为 b2111.答案：17(2012西安模拟)在平面直角坐标系中，若不等式组Error!(a 为常数) 所表示的平面区域内的面积等于 2，则 a 的值为_解析：不等式组Error!表示的区域为图中阴影部分又因为 axy10 恒过定点(0,1)，当 a0 时，不等式组Error!所表示的平面区域的面积为 ，不合题意；当 a0，此 时所围成的区域为三角形，其12面积为 S 1(a1)2，解之得 a3.12答案：3三、解答题8若点 P 在区域Error! 内，求点 P 到直线 3x4y 12 0 距离的最大值解：不等式组Error!所表示的可行域如图所示，当目标函数 z3x4y 所表示的平行直线系过点 A(0,2)时，目标函数取得最小值，此 时对应的直线 方程为 3x4y 80，其与直线 3x4y120 的距离为 d4，即得点 P 到直线 3x4y120 距离的最大值为8 1232 424.9变量 x、y 满足Error!(1)设 z ，求 z 的最小值；yx(2)设 z x2y 2，求 z 的取值范围解：由约束条件Error!，作出( x，y)的可行域如图所示由Error!解得 A(1， )225由Error! 解得 C(1,1)由Error! 解得 B(5,2)(1)z .yx y 0x 0z 的值即是可行域中的点与原点 O 连线的斜率. 观察图形可知 zmink OB .25(2)zx 2y 2 的几何意义是可行域上的点到原点 O 的距离的平方结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中，dmin|OC| ，dmax| OB| . 2 292 z29.10(2012泰安模拟)某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐已知一个单位的午餐含12 个单位的碳水化合物，6 个单位的蛋白质和 6 个单位的维生素 C；一个单位的晚餐含 8个单位的碳水化合物，6 个单位的蛋白质和 10 个单位的维生素 C.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含 64 个单位的碳水化合物，42 个单位的蛋白质和 54 个单位的维生素 C.如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是 2.5 元和 4 元那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？解：设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为 x 个单位和 y 个单位，所花的费用为 z 元，则依题意得：z2.5x4y，且 x，y 满足Er