第3章随机抽样与抽样分布

第三章 1从本章起，我 们转 入 课 程的第二部分 数理统计学 。数理 统计 学与概率 论 是两个有密切 联 系的姐妹学科。大体上可以 说 ，概率 论 是数理 统计学的基 础 ，而数理 统计 学是概率 论 的重要 应 用 . 数理 统计 学是一 门 关于数据 资 料的收集、整理、分析和推断的科学。但人 们 常常将 统计这 一概念误 解 为 大量数据的收集以及 对这 些数据作一些 简单的运算 (如求和、求平均 值 、求百分比等 )，或用 图表、表格等形式把它 们 表示出来。其 实这 些工作 仅仅 是 统计 学工作的非主要部分， 统计 学 还 包括怎样设计试验 、采集数据以及怎 样对获 得的数据 进行分析、推断等其它 许 多工作。 2数理 统计 的方法及考 虑 的 问题 不同于一般的资 料条件，它更 侧 重于 应 用随机 现 象本身的 规 律性来考 虑资 料的收集、整理和分析，从而找出相应 的随机 变 量的分布律或数字特征。从理 论 上 讲，只要 对 随机 现 象 进 行足 够 多次的 观 察，被研究的随机 现 象的 规 律性一定能清楚地呈 现 出来，但实际 上所允 许 的 观 察永 远 只能是有限次的，有 时甚至是少量的，因此我 们 关心的 问题 是怎 样 有效地利用有限的 资 料，尽可能作出精确而可靠的 结论 。 根据 问题 的不同要求以及 对观 察 值 所采取的不同 处 理方法，就 产 生了数理 统计 的各个分支：参数估计、假设检验、方差分析、回归分析 等。本课 程主要介 绍 前两种方法，至于其它方法，由于教学 时 数所限，不再 讨论 。 3一、总体与样本 在 统计 学中，我 们 将 问题 所涉及的研究 对 象的全体称 为 总体 (或母体 ), 而把 组 成 总 体的每个研究 对 象称 为 个体 。 3.1 随机抽样例如，在研究某批灯泡的平均寿命 时 ， 该 批灯泡的全体就 组 成了 总 体，而其中每只灯泡就是个体。研究某批灯泡的质量总体个体4但是在 统计 学里，我 们 关心的不是个体的种种具体特征 ,而 仅仅 是它的某一 项 (或某几 项 )数量指 标 X以及 X的分布情况 .例如上述例子中的灯泡的 寿命 。由于个体的抽取是随机的 ,所以 总 体 X是一个 随机变量 ,我 们 要研究的就是 X的分布或数字特征 . 以后我们 把 总 体和数量指 标 X等同起来 .类似地，在研究某地区中学生的营养状况时，若关心的数量指标是身高和体重，我们用 X和 Y分别表示身高和体重，那么此总体就可用二维随机变量(X,Y)或其联合分布函数 F(x,y)来表示 .5再 举 一个例子。 设 有一物体，它的重量未知，要通 过 多次 测 量去估 计 它。那么在 这 个 问题 中总 体是什么呢？有人可能回答，与研究的 问题 有关的 对 象就这 个物体，故 这 个物体，或其重量，就构成 总 体。 这 个回答不 对 。实际 上，每一次 测 量所得 结 果是一个个体，而 总 体是由 “ 一切可能的 测 量 值 ” 组 成。 这 只是一个想象中存在的集合，因 为 不可能去 进 行无限次 测 量。它的个体是通 过试验 “ 制造 ” 出来的。这 种情况在 实际应 用中非常之多。 给这 种 总体同 样 可 规 定分布，例如上述例子中 说 “ 测 量 结果服从正 态 分布 ” 是容易理解的。 6一般情况下 ,对总 体的每一个个体都 进 行 观 察或 试验 是不可能的 ,这 是因 为经济 上、 时间 上不允 许 (如个体的数量很大 ),或 观 察 试验 是 带 破坏性的 (如灯泡的寿命、炮 弹 的射程 ).因此 ,必 须对总 体 进 行抽 样观 察 . 由于我 们 是利用抽 样 来 对总 体的分布 进 行推断 ,所以抽 样 必 须 是随机的 . 比如 ,要研究一大批灯泡的寿命 ,抽 样时 就希望每个灯泡等可能地被抽到 ,只有这样 才能通 过 抽 样 比 较 客 观 地了解 总 体 . 72. 独立性 ： X1,X2, Xn是相互独立的随机变量 .由于抽样的目的是为了对总体的分布进行统计推断，为了使抽取的样本能很好地反映总体的信息，必须考虑抽样方法 . 最常用的一种抽样方法叫作 “简单随机抽样 ”，它要求抽取的样本满足下面两点 :1. 代表性 ： X1,X2, Xn中每一个与所考察的总体有相同的分布 .由简单随机抽样得到的样本称为 简单随机样本 ，今后如不加声明，均指 简单 随机 样 本。 二、简单随机抽样 8事实上我们抽样后得到的资料都是具体的、确定的值 . 如我们从某班大学生中抽取 10人测量身高，得到 10个数，它们是样本取到的值而不是样本 . 我们只能观察到随机变量取的值而见不到随机变量 .总体、样本、样本值的关系9统计是从手中已有的资料 样本值，去推断总体的情况 总体分布 F(x)的性质 .总体分布决定了样本取值的概率规律，也就是样本取到样本值的规律，因而可以由样本值去推断总体 . 样本是联系二者的桥梁总体（理论分布）？ 样本 样本值10 3.2 样本的数字特征样 本是 总 体的代表和反映，但我 们 在抽取 样 本后，并不直接利用 样 本 进 行推断，而需要 对样 本 进行一番 “ 加工 ” 和 “ 提 炼 ” ，把 样 本中所包含的关于我 们 所关心的事物的信息集中起来， 这 便是 针对不同的 问题 构造 样 本的某个函数，称之 为 统计量 。 下面列出一些常用的 统计 量。 一、统计量11样本均值样本方差推导：它反映了总体均值的信息 它反映了总体方差的信息二、 样本数字特征12定理 1 证所以有13而14统计量的分布 ,称为 抽样分布 .如何在总体的分布已知时 ,求出统计量的分布函数 , 这对于数理统计学中的所谓小样问题（即在样本容量较小的情况下所讨论的各种统计问题）的研究很有用处 . 3.3 抽样分布15由于正 态 分布具有可加性，即相互独立的正 态变 量的 线 性 组 合仍 为 正 态变 量，而前已 证 明 定理 1 证 所以标准化一、 样本均数 分布16分布二、定义记为其密度函数为17来定义 .其中伽玛函数 通过积分18(1) 可加性： 可推广到多个 变 量； (2)应用中心极限定理可得，则当 n充分大时，有若19设 相互独立 , 都服从正态分布则(3)证 且相互独立，所以20定理 证略 .比较：21t(n)的密度函数为：记为 T t(n).三 、 t 分布定义独立 ,则 称随机 变 量 服从 自由度为 n的 t分布， 22偶函数 ,关于 x=0对称 .当 n 较大时 ,t 分布接近于标准正态分布 .23定理 证 由定理 1,由定理 2,24由