02第二章 自动控制系统的数学模型

第二章 自动控制系统的数学模型 基本内容 重点和难点 典型例题 分析 习题 一。基本内容 1 学习建立系统数学模型的方法； 2 熟练掌握传递函数的定义、性质、零点与极点； 3 了解非线性数学模型线性化的方法； 4 熟练掌握典型环节的数学模型及特点； 5 熟练掌握结构图的绘制和等效方法及梅逊公式的应用。 掌握这些重点内容的目的是求出系统的传递函数，现将求解系统传递函数的方法图 示如下： 工 作 原 理 图 信 号 流 图结 构 图系 统 时 域 响 应 表 达 式 传 递 函 数系 统 微 分 方 程 二重点和难点 1 数学模型 研究一个自动控制系统，除了对系统进行定性分析外，还必须进行定量分析，进而 探讨改善系统稳态和动态性能的具体方法。因此首先需要建立其数学模型描述系统运 动规律的数学表达式。 数学模型有多种形式，如微分方程、传递函数、结构图、信号流图、频率特性及状 态空间描述等，本章主要介绍三种，即微分方程、传递函数和结构图。 2控制系统的动态微分方程式的列写 常用的列写系统或环节的动态微分方程式的方法有两种一种是机理分析法，即根 据各环节所遵循的物理规律（如力学电磁学运动学热学等）来编写。另一种方法 是实验辩识法，即根据实验数据进行整理编写。在实际工作中，这两种方法是相辅相成 的，由于机理分析法是基本的常用方法，本章着重讨论这种方法。 列写元件微分方程式的步骤可归纳如下： （1）根据元件的工作原理及其在控制系统中的作用，确定其输入量和输出量； （2）分析元件工作中所遵循的物理规律或化学规律，列写相应的微分方程； （3）消去中间变量，得到输出量与输入量之间关系的微分方程，即数学模型。 一般情况下，应将微分方程写成标准形式，即与输入量有关的项写在方程的右端， 与输出量有关的项写在方程的左端，方程两端变量的导项均按降幂形式排列。 3传递函数 自动控制理论学习指导 5 建立系统数学模型的目的是为了对系统的性能进行分析。利用拉氏变换能把以线性 微分方程式描述系统的动态性能的数学模型，转换为在复数域的数学模型传递函数。 传递函数不仅可以表征系统的动态性能，而且可以用来研究系统的结构或参数变化对系 统性能的影响。经典控制理论中广泛应用的频率法和根轨迹法，就是以传递函数为基础 建立起来的，传递函数是经典控制理论中最基本和最重要的概念。 (1)定义 线性定常系统的传递函数，定义为零初始条件下，系统输出量的拉氏变换与输入量 的拉氏变换之比。 传递函数一般表达式为 nnmmassabbSRsCG110)( （2）性质 传递函数具有以下性质： 传递函数是复变量 的有理真分式函数，具有复变函数的所有性质。 且所有s 系数均为实数。 传递函数是系统或元件数学模型的另一种形式，是一种用系统参数表示输出量与 输入量之间关系的表达式。它只取决于系统或元件的结构和参数，而与输入量的形式无 关，也不反映系统内部的任何信息。 传递函数与微分方程有相通性。只要把系统或元件微分方程中各阶导数用相应阶 次的变量 代替，就很容易求得系统或元件的传递函数。s 传递函数 的拉氏反变换是系统的单位脉冲响应 。)(G)(tg 是系统在单位脉冲 输入时的输出响应。此时 ，故有)(tg)(tsR1t =-1 =-1 =-1 )(tgsC)(sG)( 对于简单的系统或元件，首先列出它的输出量与输入量的微分方程，求其在零初始 条件下的拉氏变换，然后由输出量与输入量的拉氏变换之比，即可求得系统的传递函数。 对于较复杂的系统或元件，可以先将其分解成各局部环节，求得环节的传递函数，然后 利用本章所介绍的结构图变换法则，计算系统总的传递函数。 （3）典型环节 自动控制系统是由若干个典型环节有机组合而成的，典型环节的传递函数的一般表 达式分别为： 比例环节 KsG)( 惯性环节 1T 第二章 自动控制系统的数学模型 6 积分环节 TsG1)( 微分环节 振荡环节 2221)( nsss 延迟环节 seG 4系统结构图及结构图的等效变换和简化 一个复杂的系统结构图，其方框间的连接必然是错综复杂的，为了便于分析和计算， 需要将结构图中的一些方框基于“等效”的概念进行重新排列和整理，使复杂的结构图得 以简化。由于方框间的基本连接方式只有串联、并联和反馈连接三种。因此，结构图简 化的一般方法是移动引出点或比较点，将串联、并联和反馈连接的方框合并。在简化过 程中应遵循变换前后变量关系保持不变的原则。 （结构图简化（等效变换）的基本规则略） 5系统传递函数 自动控制系统在工作过程中，经常会受到两类输入信号的作用，一类是给定的有用 输入信号 ，另一类则是阻碍系统进行正常工作的扰动信号 。)(tr )(tn 闭环控制系统的典型结构可用图 2-1 表示。 )(1sG)(2sG)(sH)(sN)(sC)(sR)(sB)(sE )(1sG)(2sG)(sH)(sC)(sR)(sB)(sE )(1sG)(2s)(sH)(sC)(sN 图 2-1 闭环控制系统的典型结构图 图 2-2 作用下的系统结构图 tr 图 2-3 作用下的系统结构图)(tn 研究系统输出量 的变化规律，只考虑 的作用是不完全的，往往还需要考虑)(tc)(tr 的影响。基于系统分析的需要，下面介绍一些传递函数的概念。)(t （1）系统开环传递函数 系统的开环传递函数，是用根轨迹法和频率法分析系统的主要数学模型。在图 2-1 中， 将反馈环节 的输出端断开，则前向通道传递函数与反馈通道传递函数的乘积)(sH 自动控制理论学习指导 7 称为系统的开环传递函数。相当于 。)()(21sHGs )(sEB （2）系统闭环传递函数 作用下的系统闭环传递函数 )(tr 令 ，图 2-1 简化为图 2-2，输出 对输入 的传递函数为 0n )(tc)(tr )()(1)(2sHGssRC 称 为 作用下的系统闭环传递函数。 )(str 作用下的系统闭环传递函数n 为了研究扰动对系统的影响，需要求出 对 的传递函数。)(tcn 令 ，图 2-1 转化为图 2-3，由图可得 0)(tr )()(1)(2sHGssNCn 称 为 作用下的系统闭环传递函数。)(snt 系统的总输出 当给定输入和扰动输入同时作用于系统时，根据线性叠加原理，线性系统的总输出 应为各输入信号引起的输出之总和。因此有 )()(1)()(1)()()( 22 sHGsNsHGsRsNsRsCn （3）闭环系统的误差传递函数 误差大小直接反映了系统的控制精度。在此定义误差为给定信号与反馈信号之差， 即 )()(sBRsE 作用下闭环系统的给定误差传递函数)(tr e 令 ，则可由图 2-1 求得0n )()()(sCHss 第二章 自动控制系统的数学模型 8 )()(1)(1)()( 2sHGssRCHsRsEe 作用下闭环系统的扰动误差传递函数tn en 取 ，则可由图 2-1 求得0)(r )()(sCsBE )()(1)()( 2sHGssNHsen 系统的总误差 根据叠加原理，系统的总误差为 )()()( ssRsEene 对比上面导出的四个传递函数 、 、 和 的表达式，可以看出，)(en 表达式虽然各不相同，但其分母却完全相同，均为 ，这是闭环控制12sHGs 系统的本质特征。称 为系统的特征方程式。0)()(12sHGs 6信号流图与梅逊公式 控制系统的信号流图与结构图一样都是描述系统各环节之间信号传递关系的数学图 形。利用梅逊公式可以直接求出任意两个变量之间的传递函数，而不需要进行化简。但 是，信号流图只适用于线性系统，而结构图不仅适用于线性系统，还可用于非线性系统。 梅逊公式： k NP1 式中 前向通道的条数N 信号流图的特征式，即 mLL)(132 所有不同回环传输之和；L 所有每两个互不接触回环传输乘积之和；2 所有每三个互不接触回环传输乘积之和；3 任意 个互不接触回环传输乘积之和；m 第 条前向通道的传输；kP 余子式，即与第 条前向通道不接触部分的 值（在 中去掉与第 条前kk 向通道接触部分，包括有公共节点部分） 。 本章难点 自动控制理论学习指导 9 （1）用综合基础知识（如机械电气热力液压气动等方面的基本定律）建立 正确的微分方程； （2）建立系统的结构图或信号流图； （3）系统结构图的等效变换的灵活运用；梅逊公式的应用。 三典型例题分析 例 2-1 列写图 2-4 所示 网络的微分方程。RLCLrucuiC 图 2-4 网络RL 解: 1.明确输入量、输出量 网络的输入量为电压 ，输出量为电压 。)(tur )(tuc 2.列出原始微分方程式。根据电路理论得 )(1)()( tRidtiCtdiLtr 而 uc 式中 为网络电流，是除输入量、输出量之外的中间变量。)(ti 3.消去中间变量,整理得 )()()(2 tutdtuRCdtLrccc 显然，这是一个二阶线性微分方程，也就是图 2-4 所示 无源网络的数学模型。RLC 例 2-2 试列写图 2-5 所示电枢控制直流电动机的微分方程，要求取电枢电压 为输入量，电动机转速 为输出量。图中 、 分别是电)(Vtua )(tmsrad)(a)(HLa 枢电路的电阻和电感， 是折合到电动机轴上的总负载转矩。激磁磁通为常值。cMN 第二章 自动控制系统的数学模型 10 aRaLauaiaEM _ fi 负载 mfJm 图 2-5 电枢控制直流电动机原理图 解：控制直流电动机是控制系统中常用的执行机构或控制对象，其工作实质是将输 入的电能转换为机械能，也就是由输入的电枢电压 在电枢回路中产生电枢电流 ，)(tua )(tia 再由电流 与激磁磁通相互作用产生电磁转矩 ，从而拖动负载运动。因此直流)(tia Mm 电动机的运动方程可以由以下三部分组成。 1电枢回路电压平衡方程： aaaEtiRdtiLtu)()()( （2-1） 式中 是电枢反电势，它是当电枢旋转时产生的反电势，其大小与激磁磁通及转速)(VEa 成正比，方向与电枢电压 相反，即 是反电势系数。)(tua )(tCEmea)sradV 2电磁转矩方程： )()(titMam （2-2） 式中 是电动机转矩系数， 是电枢电流产生的电磁转矩。mC)(AN )(tN 3电动机轴上的转矩平衡方程： )()()( tMttfdtJcmmm （2-3） 式中 是电动机和负载折合到电动机轴上的粘性摩擦系数，mf)(sradN mJ 是电动机和负载折合到电动机轴上的转动惯量。)2skg 由式（2-1） 、式（2-2）和式（2-3）中消去中间变量 、 及 便可得到)(tiaaE)(tMm 自动控制理论学习指导 11 以 为输出量，以 为输入量的直流电动机微分方程为)(tm)(tua )()()( )()(2 tMRdtLtuCtCftJfdtJL cacam memaa (2-4) 在工程应用中，由于电枢电路电感 较小，通常忽略不计，因而式（2-4）可简化为a )()()(21tKtutdtTcamm （2-5） 式中 是电动机机电时间常数（s） ，)(eamCfRJT ， 是电动机传递系数。1CK)(2emaCfRK 如果电枢电阻 和电动机的转动惯量 都很小而忽略不计时，式（2-5）还可进一aJ 步简化为 )(tutame （2-6） 这时，电动机的转速 与电枢电压 成正比，于是电动机可作为测速发电机使用。)(tm)(ta 例 2-3试列写图 2-6 所示速度控制系统的微分方程。+ 1K 2K功 率放 大 +-m负载gu 2R1R1R 2R au1R fuC2u1u MTG 图 2-6 速度控制系统 解：通过分析图 2-6 可知控制系统的被控对象是电动机（带负载） ，系统的输出量 第二章 自动控制系统的数学模型 12 是转速，输入量是 ，控制系统由给定电位器、运算放大器（含比较作用） 、运算放gu 大器（含 校正网络） 、功率放大器、测速发电机、减速器等部分组成。现分别列写RC 各元部件的微分方程。 1运算放大器 输入量（即给定电压） 与速度反馈电压 在此合成产生偏差gufu 电压并经放大，即 )(1fgKu （2-7） 式中 是运算放大器的比例系数。121RK 2运算放大器 考虑 校正网络， 与 之间的微分方程为C21u )(2dtKu （2-8） 式中 是运算放大器的比例系数， 是微分时间常数。12RKRC 3功率放大器 本系统采用晶闸管整流装置，它包括触发电路和晶闸管主回路。忽 略晶闸管控制电路的时间迟后，其输入输出方程为 23uKa （2-9） 式中 为比例系数。3K 4直流电动机 直接引用例 2-2 所求得的直流电动机的微分方程式（2-5）： )()()(21tMKtutdtTcamm （2-10） 式中 、 、 及 均是考虑齿轮系和负载后，折算到电动机轴上的等效值。mTKcM 5齿轮系 设齿轮系的速比为 ，则电动机转速 经齿轮系减速后变为 ，故有im mi1 （2-11） 6测速发电机 测速发电机的输出电压 与其转速 成正比，即有tu ttK （2-12） 式中 是测速发电机比例系数 。tK)(sradV 从上述各方程中消去中间变量，经整理后便得到控制系统的微分方程 自动控制理论学习指导 13 )( tMKudtKdtTcggm （2-13） 式中 tmcctmg t gtm KiKiKiT 321321 321321 例 2-4 试求图 2-7 所示多回路系统的闭环传递函数。 解：按照图 2-8 所示的步骤，根据环节串联、并联和反馈连接的规则简化。可以求 得系统的闭环传递函数为 1323231)(1)( HGHGsRC 1G2G3G1H3H2)(sR )(sC 图 2-7 多回路系统结构图1G2G3G 1H 32H)(sR )(sC 1G1H)(sR )(sC)(1 323232HG1G 1H)(sR )(sC)(1 3232321HG )(sR )(sC 13213232 321)(1 HGHGG 图 2-8 系统结构图的化简过程 例 2-5设多环系统的结构图如图 2-9 所示，试对其进行简化，并求闭环传递函数。 解：此系统中有两个相互交错的局部反馈，因此在化简是首先应考虑将信号引出点 或信号比较点移到适当的位置，将系统结构图变换为无交错反馈的图形，例如可将 2 输H 入端的信号引出点移至 点。移动时一定要遵守等效变换的原则。然后利用环节串联和A 反馈连接的规则进行化简，其步骤如图 2-10 所示。 第二章 自动控制系统的数学模型 14 A)(sR )(sC1G2G3G43H1H2H 图 2-9 例 2-5 系统结构图 (1) A)(sR )(sC1G2G3G43H1H24H (2) A)(sR )(sC1G 4G31H24321G (3) )(sR )(sC1H322434311HGG (4) )(sR )(sC1432132243 43211 HGGHGHG 图 2-10 例 2-5 结构图的变换 例 2-6一系统信号流图如图 2-11 所示，试求系统的传递函数。)(sR )(sC1abcd1fge 图 2-11 例 2-6 信号流 图 解：由图可知此系统有两条前向通道 ，其增益各为 和 。有三2nabcdP1f2 个回路，即 ， ， ，因此 。上述三个beL1abcdg2fdgL3 3LL 自动控制理论学习指导 15 回路中只有 与 互不接触， 与 及 都接触，因此 。由此得系统的1L32L13 31Lcb 特征式为 befdgfabcdge Lc1)(3121 由图可知，与 前向通道相接触的回路为 、 、 ，因此在 中除去 、 、 得P1231L23 的特征余子式 。又由图可知，与 前向通道相接触的回路为 及 ，因此在11P23 中除去 、 得 的特征余子式 。由此的系统的传递函数为2L3 beL11 dgbefacfbedPPk )(11212 应该指出的是，由于信号流图和结构图本质上都是用图线来描述系统各变量之间的 关系及信号的传递过程，因此可以在结构图上直接使用梅逊公式，从而避免繁琐的结构 图变换和简化过程。但是在使用时需要正确识别结构图中相对应的前向通道、回路、接 触与不接触、增益等，不要发生遗漏。 例 2-7试求图 2-12 所示系统的传递函数 解：1求 此系统关键是回路数要判断准确，一共有 5 个回路，回路增益分别为 、121HGL 、 、 、 ，且各回路相互接触，故232HGL3213GL414L24HGL241321321251Ha 2求 、kP 系统有两条前向通道 ，其增益各为 和 ，而且这两条前向2n321GP41 通道与 5 个回路均相互接触，故 。21 3)求系统传递函数 第二章 自动控制系统的数学模型 16 2413212312 41)( HGHGsRC 1G 2G3G1H 2H)(sR )(sC4G 图 2-12 例 2-7 系统结构图 四习题 2-1 写出图 2-13 所示各电路网络的传