第一线曲线积分【精品PPT课件】

返回返回后页后页前页前页 1 第一型曲线积分 本节将研究定义在平面或空间曲线段 上的第一型曲线积分 .此类积分的典型物 理背景是求非均匀分布的曲线状物体的 质量 . 二、第一型曲线积分的计算 一、第一型曲线积分的定义 返回返回 返回返回后页后页前页前页 一 第一型曲线积分的定义 上的 连续 函 是定 义 在 设 某物体的密度函数 数当 是直线段时 , 应用定积分就能计算得该物体 的质量 . 现在研究当 是平面或空间中某一可求长度的曲线 段时物体的质量的计算问题 . (2) 近似求和：在 每一个 上任取一点 由于 (1) 分割：把 分成 个可求 长 度的小曲 线 段 返回返回后页后页前页前页 上的 连续 函数 , 故当 的弧 长 都很小 时 , 每一小段 的 质 量可近似地等于 其中 为小曲线段 的长度 . 于是在整个 上的质量就近似地等于和式 (3) 当 对 的分割越来越 细 密 (即 ) 时 , 上述和式的极限就应是该物体的质量 . 由上面看到 , 求物质曲线段的质量 , 与求直线段的质 返回返回后页后页前页前页 量一样 , 也是通过 “分割、近似求和、取极限 ”来得 到的 . 下面给出这类积分的定义 . 个可求 长 度的小曲 线 段 的弧 长 ,它把 定 义 在 上的函数 . 对 曲 线 做分割 分成 记为 分割 的 细 度 为 在 上任 取 一点 若有极限 为 平面上可求 长 度的曲 线 段 , 定 义 1 设 为 返回返回后页后页前页前页 且 的 值 与分割 的取法无关 , 则 称此 极 限为 上的 第一型曲线积分 , 记作 为 空 间 可求 长 曲 线 段 , 若 为 定 义 在 上 的函数 , 则 可 类 似地定 义 在空 间 曲 线 上 的第一型曲线积分 , 并且记作 于是前面 讲 到的 质 量分布在曲 线 段 上的物体的 质 返回返回后页后页前页前页 量可由第一型曲线积分 (1) 或 (2) 求得 . 1. 若 在 为 常数 , 则 也存在 , 且 2. 若曲 线 段 由曲 线 首尾相接而 成 , 都存在 , 则 也存在 , 且 返回返回后页后页前页前页 3 都存在 , 且在 则 4 也存在 , 且 返回返回后页后页前页前页 5 存在 , 的弧 长为 则 存在常数 使得 6. 第一型曲线积分的几何意义 为 L若 为 坐 标 平面 上的分段光滑曲 线 , 上定义的连续非负函数 . 由第一型曲线的定义 , 易见 以 为 准 线 , 母 线 平行于 轴 的柱面上截取 返回返回后页后页前页前页 的部分的面 积 就是 返回返回后页后页前页前页 二 第一型曲线积分的计算 定理 20.1 设有光滑曲线 为定义在 上的连续函数 , 则 证 由弧长公式知道 , 上由 的弧长 的连续性与积分中值定理 , 有 返回返回后页后页前页前页 所以 这里 则有 返回返回后页后页前页前页 令 现在证明 因 为 复合函数 连续 , 所以在 闭 区 间 上有界 , 即存在常数 使 对 一切 都有 返回返回后页后页前页前页 再由 上 连续 , 所以它在 上一致连续 , 即对任给的 使当 时 , 从而 所以 返回返回后页后页前页前页 因此当在 (4)式两边取极限后 , 即得所要证的 (3)式 . 上有连续的导函数时 , (3)式成为 再由定积分定义 当曲线 由方程 表示 , 且 在 返回返回后页后页前页前页 上有连续导函数时 , (3)式成为 例 1 设 是半圆周 试计算第一型曲线积分 解 当曲线 L由方程 表示 , 且 在 返回返回后页后页前页前页 例 2 一段 (图 20-2), 试计 算第一型曲 线积 分 解 由参 仿照定理 20.1, 对 于空 间 曲 线积 分 (2), 当曲 线 量方程 表示 时 , 返回返回后页后页前页前页 其计算公式为 : 例 3 计 算 其中 为 球面 被平面 所截得的圆周 . 解 由对称性知 所以 返回返回后页后页前页前页 *例 4 计算 其中 为内摆线 解 由对称性知 返回返回后页后页前页前页 其中 *例 5 求 圆柱面 被圆柱面 所 而内摆线的参数方程为 因此 返回返回后页后页前页前页 包围部分的面积 A. 解 图中直影线部分为被围柱面在第一卦限的部分 , 它的面积为 把 平面上的 位于第一象限的四分之一圆周记为 , 则被围柱面 在第一卦限部分正是以曲线 L 为准线母线平行于 z 积分的几何意义可知它的面积为 的那部分柱面 . 由第一型曲面 轴的 返回返回后页后页前页前页 L 的参数方程为 : 因此 , 定 义 , 线 密度 为 的 曲线状物体对于 x , y 轴的转动惯量分别为 注 由第一型曲线积分的 返回返回后页后页前页前页 例 6 求线密度为 的曲线段 对于 y 轴的转动惯量 . 解 和 返回返回后页后页前页前页 复习思考题 1.若 在光滑曲 线 上 连续 , 是否一定存在 使得 其中 s 是曲线 L 的弧长 . 2. 设 在光滑曲线 L 上连续 , L满足条件 : 返