定义证明二重 极限

-精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 1 定义证明二重极限 定义证明二重极限 就是说当点 落在以点附近的一个小圈圈内的时候， f 与 a 的差的绝对值会灰常灰常的接近。 那么就说 f 在点的极限为 a 关于二重极限的定义，各类数学 教材中有各种不同的表述，归纳起来主 要有以下三种：定义 1 设函数在点的某 一邻域内有定义，如果对于任意给定的 正数。 ，总存在正数，使得对于所论邻 域内适合不等式的一切点 p 所对应的函 数值都满足不等式那末，常数 a 就称为 函数当时的极限.定义 2 设函数的定义域 为是平面上一点，函数在点儿的任一邻 域中除见外，总有异于凡的属于 d 的点， 若对于任意给定的正数。 ，总存在正数 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 2 a，使得对 d 内适合不等式 0 利用极 限存在准则证明： 当 x 趋近于正无穷时，的极限为 0; 证明数列xn，其中 a0，xo0,xn=/2,n=1,2,收敛，并求其 极限。 1) 用夹逼准则: x 大于 1 时,lnx0,x 0,故 lnx/x 0 且 lnx1),lnx/x 故的极限为 0 2) 用单调有界数列收敛: 分三种情况,x0=a 时,显然极限 为a x0a 时,xn-x=/2 且 xn=/2a,a 为数列下界,则极限存在. 设数列极限为 a,xn 和 x 极限都为 a. 对原始两边求极限得 a=/2.解得 a=a 同理可求 x0 综上,数列极限 存在,且为 时函数的极限： -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 3 以时和为例引入. 介绍符号:的意义,的直观意义. 定义 几何意义介绍邻域其中为充分大 的正数.然后用这些邻域语言介绍几何意 义. 例 1 验证例 2 验证例 3 验证 证 时函数的极限： 由考虑时的极限引入. 定义函数极限的“”定义. 几何意义. 用定义验证函数极限的基本思路. 例 4 验证例 5 验证例 6 验证证由 = 为使需有为使需有于是,倘限制, 就有 例 7 验证例 8 验证单侧极限: 1.定义：单侧极限的定义及记法. 几何意义:介绍半邻域然后介绍等 的几何意义. 例 9 验证证考虑使的 2.单侧极限 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 4 与双侧极限的关系: th 类似有:例 10 证明:极限不存在. 例 11 设函数在点的某邻域内单 调.若存在,则有 =2 函数极限的性质 教学目的：使学生掌握函数极限 的基本性质。 教学要求：掌握函数极限的基本 性质：唯一性、局部保号性、不等式性 质以及有理运算性等。 教学重点：函数极限的性质及其 计算。 教学难点：函数极限性质证明及 其应用。 教学方法：讲练结合。 一、组织教学： 我们引进了六种极限:,.以下以极 限为例讨论性质.均给出证明或简证. 二、讲授新课： 函数极限的性质:以下性质均以定 理形式给出. 1.唯一性: -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 5 2.局部有界性: 3.局部保号性: 4.单调性: th4 若和都存在,且存在点的空心 邻域,使，都有证设= 註:若在 th4 的条件中,改“”为“”, 未必就有以举例说明. 5.迫敛性: 6.四则运算性质: 利用极限性质求极限：已证明过 以下几个极限： 这些极限可作为公式用.在计算一 些简单极限时,有五组基本极限作为公式 用,我们将陆续证明这些公式. 利用极限性质，特别是运算性质 求极限的原理是：通过有关性质,把所求 极限化为基本极限,代入基本极限的值, 即计算得所求极限. 例 1 例 2 例 3 註:关于的有理分式当时 的极限. -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 6 例 4 例 5 例 6 例 7 证明二重极限不存在 如何判 断二重极限不存在,是二元函数这一节的 难点,在这里笔者对这一问题不打算做详 细的讨论,只是略谈一下在判断二重极限 不存在时,一个值得注意的问题。由二重 极限的定义知,要讨论 limxx0yy0f 不存在,通常的方法是:找几条通过定点 的特殊曲线,如果动点沿这些曲线趋于时,f 趋于不同的值,则可判定二重极限 limxx0yy0f 不存在,这一方法一般人 都能掌握,但是在找一些特殊曲线时,是 有一定技巧的,不过不管找哪条曲线,这 条曲线一定要经过,并且定点是这条曲线 的非孤立点,这一点很容易疏忽大意,特 别是为图方便,对于型如 limxx0yy0fg 的极限,在判断其不存 在时,不少人找的曲线是 f-g=0,这样做就 很容易出错。例如,容易知道 limx0y0x+yx2+y2=0,但是若沿曲线 x2y-=0时,所得的结论就不同1)。为 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 7 什么会出现这种情况呢? 仔细分析一下 就不难得到答案 2 若用沿曲线，一 g=0 趋近于来讨 论，一 0g，y。 。可能会出现错误，只有 证明了不是孤立点后才不会出错。 o13a1673-38780l_0l02_02 如何判断二 重极限不存在。是二元函数这一节的难 点，在这里笔者对这一问题不打算做详 细的讨论。只是略谈一下在判断二重极 限不存在时。一个值得注意的问题。由 二重极限的定义知，要讨论 limf 不存在， 通常 x10yy0 的方法是：找几 条通过定点的特殊曲线，如果动点沿这 些曲线趋于时，f 趋于不同的值，则可 判定二重极限 limf 不存在，这一方 i 10ry0 法一般人都能掌握，但是在 找一些特殊曲线时，是有一定技巧的， 不过不管找哪条曲线，这条曲线一定要 经过，并且定点是这条曲线的非孤立点， 这一点很容易疏忽大意，特别是为图方 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 8 便，对于型如 2 的极限，在判卜 iogx，yyy0 断其不存在时，不少人 找的曲线是 f 一 g：0，这样做就很容易 出错。 3 当沿曲线 y=-x+x 趋于时，极限 为 lim/x =-1; 当沿直线 y=x 趋于时，极限为 limx /2x=0。故极限不存在。 4 x-y+x +y f= x+y 它的累次极限存在： x-y+x +y limlim=-1 y-0x-0x+y x-y+x +y limlim=1 x-0y-0x+y 当沿斜率不同的直线 y=mx,-时， 易证极限不同，所以它的二重极限不存 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 9 在。 例 1、用数列极限定义证明： limn?2?0 n?n2?7 n?2 时 n?22n2nn?2224|2?0|?2?2?2? nn?7n?7n?7n?nn?1n?n 2 上面的系列式子要想成立，需要 第一个等号和不等号、 、均成立方可。 第一个等号成立的条件是 n2；不等号 成立的条件是 2 n4，即 n2；不等 号成立的条件是 n?，故取 n=max7, 2? 44 。这样当 nn 时，有 n7，n?。 ? 4 因为 n7,所以等号第一个等号、 不等式、 、能成立；因为 n?，所以不等 号成立的条件是 1? |不等式能成立，因此当 nn 时， 上述系列不等式均成立，亦即当 nn 时， 在这个例题中，大量使用了把一 个数字放大为 n 或 n?2?0|?。 n2?7n 的 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 10 方法，因此，对于具体的数， 2 可把它放大为的形式 kn n?4?0 n?n2?n?1 n?4n?4n?4 时 n?n2n2|2?0|?2?2? n?n?1n?n?1n?n?1n2n 22 不等号成立的条件是 n?,故取 n=max4, ,则当 nn 时，上面的不等式 都成?例 2、用数列极限定义证明：lim 立。 注：对于一个由若干项组成的代 数式，可放大或缩小为这个代数式的一 部分。如： n2?n?1?n2 n2?n?1?n n?n?n22 n2?n?1 n 例 3、已知 an?，证明数列 an 的 极限是零。 2 n11 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 11 证明：?0，欲使|an?0|?|?成 立 22n?1 11?解得：n?1 ，由于上述式子 中的等式和不等号对于任意的正整 n?1? 1 数 n 都是成立的，因此取 n?， 则当 nn 时，不等号成立，进而上述系 列等式由不等式? 和不等式均成立，所以当 nn 时， |an?0|?。 在上面的证明中，设定 0?1， 而数列极限定义中的? 是任意的，为什 么要这样设定？这样设定是否符合数列 极限的定义？ 在数列极限定义中，n 是一个正 整数，此题如若不设定 0?1，则 n?就 有 1 ? 可能不是正整数，例如若?2， 则此时 n1，故为了符合数列极限的 定义，先设定 0?1，这样就能保证 n 是正整数了。 那么对于大于 1 的?，是否能找 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 12 到对应的 n？能找到。按照上面已经证 明的结论，当? 0.5 时，有对应的 n1， 当 nn1 时，|an?0|0.5 成立。因此， 当 nn1 时，对于任意的大于 1 的?， 下列式子成立： |an?0|0.51? ，亦即对于所 有大于 1 的? ，我们都能找到与它相对 应的 n=n1。因此，在数列极限证明中， ?可限小。只要对于较小的? 能找到对应 的 n，则对于较大的? 就自然能找到对应的 n。 极限定义证明 趋近于正无穷， 根号 x 分之 sinx 等于 0 x 趋近于负 1/2，2x 加 1 分之 1 减 4x 的平方等于 2 这两个用函数极限定义怎么证明? x 趋近于正无穷，根号 x 分之 sinx 等于 0 证明：对于任意给定的 0，要 使不等式 |sinx/x-0|=|sinx/x| |sinx/x| sinx / , -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 13 |sinx|1只需不等式 x1/ 成 立， 所以取 x=1/ ，当 xx 时，必有 |sinx/x-0| 同函数极限的定义可得 x+时，sinx/x 极限为 0. x 趋近于负 1/2，2x 加 1 分之 1 减 4x 的平方等于 2 证明：对于任意给定的 0，要 使不等式 |1-4x /2x+1-2|=|1-2x-2|=|-2x- 1|=|2x+1| 需要 0 g=maxf1,fm; 然后求极限就能得到 limg=maxa1,.am。 其实这个看起来显然，但对于求 极限能放到括号里面，但真要用极限定 义严格说明却和上面的证明差不多。 有种简单点的方法，就是 maxa,b=|a+b|/2+|a-b|/2 从而为 简单代数式。 多个求 max 相当于先对 f1，f2 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 14 求 max，再对结果和 f3 求，然后继续， 从而为有限次代数运算式， 故极限可以放进去。 2 一)时函数的极限： 以时和为例引入. 介绍符号:的意义,的直观意义. 定义 几何意义介绍邻域其中为充分大 的正数.然后用这些邻域语言介绍几何意 义. 例 1 验证例 2 验证例 3 验证 证 时函数的极限： 由考虑时的极限引入. 定义函数极限的“”定义. 几何意义. 用定义验证函数极限的基本思路. 例 4 验证例 5 验证例 6 验证证由 = 为使需有为使需有于是,倘限制, 就有 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 15 例 7 验证例 8 验证单侧极限: 1.定义：单侧极限的定义及记法. 几何意义:介绍半邻域然后介绍等 的几何意义. 例 9 验证证考虑使的 2.单侧极限 与双侧极限的关系: th 类似有:例 10 证明:极限不存在. 例 11 设函数在点的某邻域内单 调.若存在,则有 =2 函数极限的性质 教学目的：使学生掌握函数极限 的基本性质。 教学要求：掌握函数极限的基本 性质：唯一性、局部保号性、不等式性 质以及有理运算性等。 教学重点：函数极限的性质及其 计算。 教学难点：函数极限性质证明及 其应用。 教学方法：讲练结合。 一、组织教学： 我们引进了六种极限:,.以下以极 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 16 限为例讨论性质.均给出证明或简证. 二、讲授新课： 函数极限的性质:以下性质均以定 理形式给出. 1.唯一性: 2.局部有界性: 3.局部保号性: 4.单调性: th4 若和都存在,且存在点的空心 邻域,使，都有证设= 註:若在 th4 的条件中,改“”为“”, 未必就有以举例说明. 5.迫敛性: 6.四则运算性质: 利用极限性质求极限：已证明过 以下几个极限： 这些极限可作为公式用.在计算一 些简单极限时,有五组基本极限作为公式 用,我们将陆续证明这些公式. 利用极限性质，特别是运算性质 求极限的原理是：通过有关性质,把所求 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 17 极限化为基本极限,代入基本极限的值, 即计算得所求极限. 例 1 例 2 例 3 註:关于的有理分式当时 的极限. 例 4 例 5 例 6 例 7 2 习题 1?3 1. 根据函数极限的定义证明: lim?8;x?3 lim?12;x?2 x2?4?4;limx?2x?2 1?4x3 lim?2. x?2x?12 1 证明 分析 |?8|?|3x?9|?3|x?3|, 要使|?8|? , 只须 |x?3|?.3 1 证明 因为? ?0, ?, 当 0?|x?3|?时, 有|?8|? , 所以 lim?8.x?33 1 分析 |?12|?|5x?10|?5|x?2|, 要使 |?12|? , 只须 |x?2|?.5 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 18 1 证明 因为? ?0, ?, 当 0?|x?2|?时, 有|?12|? , 所以 lim?12.x?25 分析 |x?|?.x2?4x2?4x?4x2?4?|x?2|?|x?|, 要 使?, 只须 x?2x?2x?2 x2?4x2?4?, 所以 lim?4.证明 因为? ?0, ?, 当 0?|x?|?时, 有 x?2x?2x?2 分析 1?4x3111?4x31?2?, 只须 |x?|?.?2?|1?2x?2|?2|x?|, 要使 2x?12x?1222 1?4x3111?4x3 ?2?, 所以 lim 证明 因为? ?0, ?, 当 0?|x?|?时, 有? 2.12x?12x?122x?2. 根据函数极限的定 义证明: lim1?x3 2x3 sinxx?1;2limx?x?0. 证明 分析 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 19 |x|?1 1?x32x311?x3?x3?22x3?12|x|3, 要使 1?x32x3?11?, 只须?, 即 322|x|2?. 证明 因为? ?0, ?x?分析 sinxx?0? 12? , 当|x|?x 时, 有 1x 1?x32x311?x31?, 所以 lim?. x?2x322 1x ?, 即 x? sinxx |sinx|x ?, 要使 sinx 证明 因为?0, ?x? ?2 , 当 x?x 时, 有 xsinxx ?0?, 只须 ? . -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 20 ?0?, 所以 lim x? ?0. 3. 当 x?2 时,y?x2?4. 问?等于多 少, 使当 |x?2| 解 由于 x?2, |x?2|?0, 不妨设|x?2|?1, 即 1?x?3. 要使 |x2?4|?|x?2|x?2|?5|x?2|?0. 001, 只要 |x?2|? 0.001 ?0.0002, 取?0. 0002, 则当 0?|x?2|?时, 就有|x2?4|?0. 001.5 x2?1x?3 4. 当 x?时, y? x2?1x2?3 ?1, 问 x 等于多少, 使当|x|x 时, |y?1| 解 要使?1? 4x2?3 ?0.01, 只|x|? ?3?397, x?.0.01 5. 证明函数 f?|x| 当 x?0 时极限 为零. x|x| -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 21 6. 求 f?, ?当 x?0 时的左右极限, 并说明它们在 x?0 时的极限是否存在 . xx 证明 因为 x limf?lim?lim1?1, x?0?x?0?xx?0?x limf?lim?lim1?1, x?0?x?0?xx?0?limf?limf,? x?0 x?0 所以极限 limf 存在. x?0 因为 lim?lim? x?0 x?0 |x|?x ?lim?1,?x?0xx|x|