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12.11 近似法计算自振频率 近似法通常有三种途径: (1) 能量法:对体系的振动形式给以简化假设,但不改变结构的 刚度和质量分布,然后根据能量守恒原理求得自振频率。 (2) 集中质量法:将体系的质量分布加以简化,以集中质量代 替分布质量,用有限自由度体系代替无限自由度体系求频率。 (3) 迭代法:采用近似算法求解,算出自振频率。 All Rights Reserved重庆大学土木工程学院 12.11.1 能量法求第一自振频率瑞利(Rayleigh)法 瑞利法适用于求第一自振频率;瑞利里兹(Rayleigh-Ritz)法 是其推广形式,可用于求最初几个频率。 1.出发点(依据) 瑞利法的出发点是能量守恒原理,即一个无阻尼的弹性体系 自由振动时,它在任一时刻的总能量(应变能U与动能T之和) 应当保持不变,即 机械能=应变能(U)+动能(T)=常数 2.位移表达式 All Rights Reserved重庆大学土木工程学院 梁的动能: 其最大值为: 4.梁的弯曲应变能 All Rights Reserved重庆大学土木工程学院 其最大值为 5.应用能量守恒原理 根据能量守恒原理,可知 Tmax=Umax All Rights Reserved重庆大学土木工程学院 由此,求得计算频率的公式为 (12-124) 上式就是瑞利法求自振频率的公式。 6.能量法的关键 能量法的关键是假设振型函数 : 1) 若假设的位移形状函数正好与第i个主振型相符,则可求得 该wi的精确值。此法一般用于计算第一自振频率w1。 All Rights Reserved重庆大学土木工程学院 2) 振型函数 的假定原则:应满足边界条件 两端位移边界条件(必须满足) 3) 通常对 作如下选择: 其一,选取某个静力荷载q(x)(例如结构自重)作用下的弹性曲 线作为 的近似表示式,由式(12-124)即可求得第一频 率的近似值。此时,应变能可用相应荷载q(x)所做的功来代 替,即 All Rights Reserved重庆大学土木工程学院 因而式(12-124)可改写为 (12-125) 其二,选取结构自重作用下的变形曲线作为 的近似表达式( 注意,如果考虑水平振动,则重力应沿水平方向作用),则应变 能可用重力所做的功来代替,即 于是式(12-124)可改写为 (12-126) All Rights Reserved重庆大学土木工程学院 【例12-34】试用瑞利法计算图12-93所示等截面两端固定梁的 第一自振频率。设EI常数,梁单位长度的质量为。 解: (1) 假设振幅曲线 为 满足几何边界条件和力的边界条件中梁端弯矩非零的要求, 但梁端剪力为零则与实际情况不符。 (a) 将式(a)代入式(12-124),得 All Rights Reserved重庆大学土木工程学院 故第一自振频率 与精确值 相比,其误差为+1.9%。 All Rights Reserved重庆大学土木工程学院 (2)改取均布荷载q作用下的挠度曲线 作为振型函数,这时, 满足全部边界条件。 将式(b)代入式(12-125),得 (b) All Rights Reserved重庆大学土木工程学院 故第一自振频率 与精确值相比,其误差为+0.4%。 【讨论】由以上结果可以看出:所选的两种振型函数,或 是大部或是全部符合边界处位移和力的实际情况,因此所 得结果误差都很小。由于第二种振型函数更接近第一振型 ,所得结果精度更高。 All Rights Reserved重庆大学土木工程学院 【例12-35】试用瑞利法计算图12-94a所示三层刚架的第一自 振频率。 解: (1) 选择自重作用下的弹性曲线作为振型曲线(注意:应 在各楼层水平方向分别施加自重m1g、m2g、m3g),如图所示。 All Rights Reserved重庆大学土木工程学院 于是,可得 (2)求 : All Rights Reserved重庆大学土木工程学院 (3)求Umax(用外力所做的功来代替): (4)求Tmax: (5)由Tmax=Umax求第一频率:由式(12-126),可得 All Rights Reserved重庆大学土木工程学院 故第一自振频率 精确解为13.46s-1,其误差为+1.56%。 【注】采用瑞利法计算w1,其计算结果一般均高于精确值。 这是因为假设某一与实际振型有出入的特定曲线作为振型曲 线,即相当于给体系加上某种约束,增大了体系的刚度,使 其变形能增加,从而使计算的自振频率偏大。因此,用这种 方法所求的基本频率为真实频率的高限。在对用此法求得的 近似结果加以选择时,应取频率最低者。 All Rights Reserved重庆大学土木工程学院 12.11.2 集中质量法求自振频率 如果把体系中的分布质量换成集中质量,则体系即由无限自由 度换成单自由度或多自由度。关于质量的集中方法很多,诸如 : 1) 静力等效的集中质量法; 2) 动能等效的集中质量法; 3) 转移质量法等。 下面,着重介绍静力等效的集中质量法。 根据静力等效原则,把无限自由度换成单自由度或多自由度 ,使集中后的重力与原来的重力互为静力等效(它们的合力彼 此相等)。例如,每段分布质量可按杠杆原理换成位于两端的 集中质量。 All Rights Reserved重庆大学土木工程学院 【例12-36】用集中质量法求图a所示简支梁自振频率。 解: (1) 求最小自振频率: 将原简支梁简化为单自由度体系,如图所示,得 其精确解为 ,故误差为-0.7%。 (a)(b) All Rights Reserved重庆大学土木工程学院 (2)计算前两个自振频率: 将体系简化为两个自由度体系,如图所示,此时的频率方程 为 式中, ,柔度系数为 代入频率方程,可解得 其精确解 ,故此时w1和w2的误差分别为-0.1%和 -3.24%。 All Right
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