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第8章 平面解析几何 第5讲A组基础关1已知椭圆的标准方程为x21,则椭圆的焦点坐标为()A(,0),(,0)B(0,),(0,)C(0,3),(0,3)D(3,0),(3,0)答案C解析椭圆x21的焦点在y轴上,a210,b21,故c2a2b29,c3.所以椭圆的焦点坐标为(0,3),(0,3)2(2018合肥三模)已知椭圆E:1(ab0)经过点A(,0),B(0,3),则椭圆E的离心率为()A.BCD答案A解析由题意得a3,b,所以c2,离心率e.3设椭圆1的左、右焦点分别为F1,F2,点P在椭圆上,且满足9,则|PF1|PF2|的值为()A8B10C12D15答案D解析由椭圆方程1,可得c24,所以|F1F2|2c4,而,所以|,两边同时平方,得|2|22|2,所以|2|2|22161834,根据椭圆定义得|PF1|PF2|2a8,所以342|PF1|PF2|64,所以|PF1|PF2|15.故选D.4(2018武汉调研)已知椭圆C:1(ab0)及点B(0,a),过点B与椭圆相切的直线交x轴的负半轴于点A,F为椭圆的右焦点,则ABF()A60B90C120D150答案B解析由题意知,切线的斜率存在,设切线方程ykxa(k0),与椭圆方程联立,消去y整理得(b2a2k2)x22ka3xa4a2b20,由(2ka3)24(b2a2k2)(a4a2b2)0,得k,从而yxa交x轴于点A,又F(c,0),易知0,故ABF90.5过椭圆1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A,B两点,O为坐标原点,则OAB的面积为()A.BCD答案B解析由题意知椭圆的右焦点F的坐标为(1,0),则直线AB的方程为y2x2.联立解得交点(0,2),SOAB|OF|yAyB|1.故选B.6(2018南宁模拟)已知椭圆1(ab0)的一条弦所在的直线方程是xy50,弦的中点坐标是M(4,1),则椭圆的离心率是()A.BCD答案C解析设直线xy50与椭圆1相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,因为AB的中点M(4,1),所以x1x28,y1y22.易知直线AB的斜率k1.两式相减得,0,所以,所以,于是椭圆的离心率e.故选C.7过椭圆1的中心任意作一条直线交椭圆于P,Q两点,F是椭圆的一个焦点,则PQF周长的最小值是()A14B16C18D20答案C解析如图,设F1为椭圆的左焦点,右焦点为F2,根据椭圆的对称性可知|F1Q|PF2|,|OP|OQ|,所以PQF1的周长为|PF1|F1Q|PQ|PF1|PF2|2|PO|2a2|PO|102|PO|,易知2|OP|的最小值为椭圆的短轴长,即点P,Q为椭圆的上、下顶点时,PQF1即PQF的周长取得最小值为102418.8已知椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,离心率为,且过点P(5,4),则椭圆的标准方程为_答案1解析由题意设椭圆的标准方程为1(ab0)由离心率e可得a25c2,所以b24c2,故椭圆的方程为1,将P(5,4)代入可得c29,故椭圆的方程为1.9设P,Q分别是圆x2(y1)23和椭圆y21上的点,则P,Q两点间的最大距离是_答案解析根据已知条件作出如图所示的图形记圆x2(y1)23的圆心为M,由三角形的性质可得|PQ|PM|MQ|MQ|,设点Q坐标为(x,y),那么y21,所以|QM|2x2(y1)24(1y2)(y1)23y22y5,y1,1,因此|QM|2,即|QM|,所以|PQ|,所以P,Q两点间的最大距离为.10(2018厦门模拟)已知椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P在椭圆上,且PF2垂直于x轴,若直线PF1的斜率为,则该椭圆的离心率为_答案解析因为点P在椭圆上,且PF2垂直于x轴,所以点P的坐标为.又因为直线PF1的斜率为,所以在RtPF1F2中,即.所以b22ac.(a2c2)2ac,(1e2)2e,整理得e22e0,又0e1,解得e.B组能力关1如果椭圆1的弦AB被点M(x0,y0)平分,设直线AB的斜率为k1,直线OM(O为坐标原点)的斜率为k2,则k1k2的值为()A4BC1D答案D解析解法一:设A(x1,y1),B(x2,y2),因为弦AB被点M(x0,y0)平分,所以x1x22x0,y1y22y0.易知k1,k2.两式相减得,0,所以,k1k2.解法二:设直线AB的方程为yk1xm,A(x1,y1),B(x2,y2)代入椭圆方程并整理得,(14k)x28k1mx4m2360,x1x2,又中点M(x0,y0)在直线AB上,所以k1m,从而得弦中点M的坐标为,k2,k1k2.2(2018昆明诊断)椭圆1上的一点P到两焦点的距离的乘积为m,当m取最大值时,点P的坐标是_答案(3,0)或(3,0)解析记椭圆的两个焦点分别为F1,F2,有|PF1|PF2|2a10.则m|PF1|PF2|225,当且仅当|PF1|PF2|5,即点P位于椭圆的短轴的顶点处时,m取得最大值25.点P的坐标为(3,0)或(3,0)3(2018内江三模)设P是椭圆1第一象限弧上任意一点,过P作x轴的平行线与y轴和直线yx分别交于点M,N.过P作y轴的平行线与x轴和直线yx分别交于点R,Q,设O为坐标原点,则OMN和ORQ的面积之和为_答案3解析设P(x0,y0)(0x03,0y0b0)的离心率为,点M在椭圆C上(1)求椭圆C的方程;(2)已知P(2,0)与Q(2,0)为平面内的两个定点,过(1,0)点的直线l与椭圆C交于A,B两点,求四边形APBQ面积的最大值解(1),a2c,椭圆的方程为1,将代入得1,c21.椭圆的方程为1.(2)设l的方程为xmy1,联立消去x,得(3m24)y26my90,设点A(x1,y1),B(x2,y2),有y1y2,y1y2,有|AB|,点P(2,0)到直线l的距离为,点Q(2,0)到直线l的距离为,从而四边形APBQ的面积S(或S|PQ|y1y2|)令t,t1,有S,设函数f(t)3t,f(t)30,所以f(t)在1,)上单调递增,有3t4,故S6,所以当t1,即m0时,四边形APBQ面积的最大值为6.2(2018全国卷)已知斜率为k的直线l与椭圆C:1交于A,B两点线段AB的中点为M(1,m)(m0)(1)证明:k;(2)设F为C的右焦点,P为C上一点,且0.证明:|,|,|成等差数列,并求该数列的公差解(1)证明:设A(x1,y1),B(x2,y2),则1,1.两式相减,并由k得k0.由题设知1,m,于是k.由题设得m0,即0m,故k.(2)由题意得F(1,0)设P(x3,y3),则由(1)及题设得(x31,y3)(x11,y1)(x21,y2)(0,0),x33(x1x2)1,y3(y1y2)2m0.又点
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