2019届高考数学专题十六利用空间向量求夹角精准培优专练理.docx

培优点十六 利用空间向量求夹角1利用面面垂直建系例1：在如图所示的多面体中，平面平面，四边形为边长为2的菱形，为直角梯形，四边形为平行四边形，且，（1）若，分别为，的中点，求证：平面；（2）若，与平面所成角的正弦值为，求二面角的余弦值【答案】（1）见解析；（2）【解析】（1）连接，四边形为菱形，平面平面，平面平面，平面，平面又平面，平面分别为，的中点，平面（2）设，由（1）得平面，由，得，过点作，与的延长线交于点，取的中点，连接，如图所示，又，为等边三角形，又平面平面，平面平面，平面，故平面为平行四边形，平面又，平面，平面平面由（1），得平面，平面，平面，是与平面所成角，平面，平面，平面平面，解得在梯形中，易证，分别以，的正方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系则，由，及，得，设平面的一个法向量为，由得，令，得设平面的一个法向量为，由得，令，得，又二面角是钝角，二面角的余弦值是2线段上的动点问题例2：如图，在中，沿将翻折到的位置，使平面平面（1）求证：平面；（2）若在线段上有一点满足，且二面角的大小为，求的值【答案】（1）见解析；（2）【解析】（1）中，由余弦定理，可得，作于点，平面平面，平面平面，平面平面，又，平面又平面，又，平面（2）由（1）知，两两垂直，以为原点，以方向为轴正方向建立如图所示空间直角坐标系，则，设，则由，设平面的一个法向量为，则由，取平面的一个法向量可取，3翻折类问题例3：如图1，在边长为2的正方形中，为中点，分别将，沿，所在直线折叠，使点与点重合于点，如图2在三棱锥中，为中点（1）求证：；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）求二面角的大小【答案】（1）见解析；（2）；（3）【解析】（1）在正方形中，为中点，在三棱锥中，平面平面，（2）取中点，连接，取中点，连接过点作的平行线平面，为的中点，如图所示，建立空间直角坐标系，为的中点，平面，平面，平面平面平面平面，平面，平面平面的法向量设直线与平面所成角为，则直线与平面所成角的正弦值为（3）由（2）知，设平面的法向量为，则有即，令，则，即由题知二面角为锐角，它的大小为一、单选题1如图，在所有棱长均为的直三棱柱中，分别为，的中点，则异面直线，所成角的余弦值为（ ）ABCD【答案】C【解析】设的中点，以，为，轴建立坐标系，则，则，设与成的角为，则，故选C2在三棱柱中，底面是边长为1的正三角形，侧棱底面，点在棱上，且，若与平面所成的角为，则的值是（ ）ABCD【答案】D【解析】如图，建立空间直角坐标系，易求点平面的一个法向量是，则故选D3如图，圆锥的底面直径，高，为底面圆周上的一点，则空间中两条直线与所成的角为（ ）ABCD【答案】B【解析】取中点，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，圆锥的底面直径，高，为底面圆周上的一点，可得，则，设空间两条直线与所成的角为，即直线与所成的角为，故选B4已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，平面平面，是的中点，是的中点，则直线与平面所成角的正弦值是（ ）ABCD【答案】D【解析】由题可知，则，是的中点，设平面的法向量，直线与平面所成角为，则可取，故选D5如图，在直三棱柱中，点与分别是和的中点，点与分别是和上的动点若，则线段长度的最小值为（ ）ABCD【答案】A【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，则，则，由于，故，当时，线段长度取得最小值，且最小值为故选A6如图，点分别在空间直角坐标系的三条坐标轴上，平面的法向量为，设二面角的大小为，则（ ）ABCD【答案】C【解析】由题意可知，平面的一个法向量为：，由空间向量的结论可得：故选C7如图所示，五面体中，正的边长为1，平面，且设与平面所成的角为，若，则当取最大值时，平面与平面所成角的正切值为（ ）AB1CD【答案】C【解析】如图所示，建立如图所示的空间直角坐标系，则，取的中点，则，则平面的一个法向量为，由题意，又由，解得，的最大值为，当时，设平面的法向量为，则，取，由平面的法向量为，设平面和平面所成的角为，则，故选C8已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面内的射影为的中心，则与底面所成角的正弦值等于（ ）ABCD【答案】B【解析】如图，设在平面内的射影为，以为坐标原点，、分别为轴、轴建立空间直角坐标系如图设边长为1，则，又平面的法向量为设与底面所成角为，则故直线与底面所成角的正弦值为故选B9如图，四棱锥中，平面，底面为直角梯形，点在棱上，且，则平面与平面的夹角的余弦值为（ ）ABCD【答案】B【解析】以为坐标原点，以、所在直线为、轴，建立空间直角坐标系，则，设平面的一个法向量为，则，取，得，平面的法向量为，平面与平面的夹角的余弦值为故选B10在正方体中，直线与平面所成角的余弦值为（ ）ABCD【答案】C【解析】分别以，为，轴建立如图所示空间直角坐标系：设正方体的棱长为1，可得，设是平面的一个法向量，即，取，得，平面的一个法向量为，设直线与平面所成角为，；，即直线与平面所成角的余弦值是故选C11已知四边形，现将沿折起，使二面角的大小在内，则直线与所成角的余弦值取值范围是（ ）ABCD【答案】A【解析】取中点，连结，且，是二面角的平面角，以为原点，为轴，为轴，过点作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系，设二面角的平面角为，则，连、，则，设、的夹角为，则，故，故选A12正方体中，点在上运动（包括端点），则与所成角的取值范围是（ ）ABCD【答案】D【解析】以点为原点，、所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，点坐标为，则，设、的夹角为，则，当时，取最大值，当时，取最小值，与所成角的取值范围是故选D二、填空题13如图，在直三棱柱中，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为_【答案】【解析】在直三棱柱中，是的中点，以为原点，为轴，为轴，过作的垂线为轴，建立空间直角坐标系，则，设异面直线与所成角为，则异面直线与所成角的余弦值为14已知四棱锥的底面是菱形，平面，且，点是棱的中点，在棱上，若，则直线与平面所成角的正弦值为_【答案】【解析】以点建立如图所示的空间直角坐标系，设菱形的边长为2，则， ，平面的一个法向量为，则，即直线与平面所成角的正弦值为15设，是直线，是平面，向量在上，向量在上，则，所成二面角中较小的一个的余弦值为_【答案】【解析】由题意，向量在上，向量在上，所成二面角中较小的一个余弦值为，故答案为16在四棱锥中，底面为平行四边形，平面，则当变化时，直线与平面所成角的取值范围是_【答案】【解析】如图建立空间直角坐标系，得，设平面的法向量，得，又，则三、解答题17如图所示：四棱锥，底面为四边形，平面平面，（1）求证：平面；（2）若四边形中，是否在上存在一点，使得直线与平面所成的角的正弦值为，若存在，求的值，若不存在，请说明理由【答案】（1）见解析；（2）存在，【解析】（1）设，连接，为中点又，平面平面，平面平面平面，而平面在中，由余弦定理得，而平面（2）过作垂线记为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系：，设，设平面法向量为，取，设与平面所成角为，解，18如图，在斜三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，（1）求证：平面