《极限四则运算法则》PPT课件.ppt

极限的四则运算法则 复合函数的极限运算法则,第六节 极限的运算法则,由于根据极限的定义, 只能验证某个常数 A 是否为某个函 数(x)的极限, 而不能求出函数(x)的极限. 为了解决极限的 计算问题, 下面介绍极限的运算法则.,一、 极限的四则运算法则,定理,注: 没写极限的过程指同一极限过程.,证明可用定义. 以极限过程为 xx0 的证明(1)为例.,证,因为,即 可以表示为常数与无穷小之和, 即得证.,推论1,常数因子可以提到极限记号外面.,推论2,若(2)中 g(x) = c 时得到,若(2)中(x) = g(x) 时得到,(1)、(2)的推广:,证,求函数极限的方法,I. 求初等函数在定义域内某点的极限, 就是函数在该点的函 数值. 即,例1,解,小结:,解,商的法则不能用,由无穷小与无穷大的关系, 得,例2,II. 求初等函数在定义域外某点的极限, 函数在形式上呈现不定式, 求其极限须利用其它方法消除不定式, 把它转化为另一个在该点有定义的函数的极限.,解,例3,1. 因式分解,解,因为,则极限 不能直接应用商的极限运算性质,分子和分母都含有因式 x -1, 约去这个因式得,练一练,练一练,若 , , a, b 均为常数, 则( ),(1),解 因为,极限和的运算法则不能直接应用, 将,通分得,原式,练一练,2. 分子分母有理化,解,将分子有理化, 得,例4,练一练,解,于是,例4,解,3. 分子分母同乘以或除以一个函数,解 因为,极限 不能直接使用商的极限运算法则, 从分子 和分母约去 x的最高次幂 有,练一练,一般地, 对有理分式函数F(x), 在x 时极限有如下讨论:,分子, 分母同时除以自变量的最高次幂, 然后再求极限.,解,例5,当 时,当 时,练一练,解,于是,解,4. 利用数列求和公式求极限,例6,解,解,先变形再求极限.,练一练,练一练,5. 利用极限性质, 无穷小量性质,例7,解,练一练,其中 是无穷小量, 是有界函数.,其中 是无穷小量, 是有界函数.,6. 解方程法,利用 , 对上述的递推式两边求极限得到,示为递推式:,若 存在, 则令 , 于是,解此方程, 其解即为数列xn的极限.,解,例8,由于,于是,即,若a =2, 则 , 于是,练一练,解法一,由于,于是,即,解法二,于是,二、复合函数的极限运算法则,意义：,(1)也可将此定理中的极限过程改为 x, 或者将 的 极限 a 改为 (即只须外函数极限存在), 结论同样成立.,(2) 此定理表明了满足定理条件的复合函数的极限存在的同 时也说明用变量替换的方法去计算复合函数的极限是可行的,即 与 满足定理条件, 则通过变 换 , 即可把,其理论证明(略). 但须指出以下两点：,求 的问题转换为求 或,例9 求极限,解,故应当考虑左、右极限.,倒代换的应用,例10 试确定常数 a 使,解,令,则,故,因此,解,练一练,解 方法 1,则,令, 原式,方法 2,练一练,求,解法 1,原式 =,解法 2,令,则,原式 =,练一练,解,利用前一极限式可令,再利用后一极限式 , 得,可见,故,思考题,在某个过程中，若 有极限， 无极限