空间向量法解决立体几何问题.ppt

空间向量法解决立体几何问题,数学专题二,专题提纲,二、立体几何问题的类型及解法,1、判断直线、平面间的位置关系； (1)直线与直线的位置关系; (2)直线与平面的位置关系; (3)平面与平面的位置关系; 2、求解空间中的角度； 3、求解空间中的距离。,1、直线的方向向量； 2、平面的法向量。,一、引入两个重要空间向量,一.引入两个重要的空间向量,1.直线的方向向量 把直线上任意两点的向量或与它平行的向量都称为直线的方向向量.如图1,在空间直角坐标系中,由A(x1,y1,z1)与B(x2,y2,z2)确定的直线AB的方向向量是,z,x,y,A,B,2.平面的法向量,如果表示向量n的有向线段所在的直线垂直于平面,称这个向量垂直于平面,记作n,这时向量n叫做平面的法向量.,n,在空间直角坐标系中,如何求平面法向量的坐标呢? 如图2,设a=( x1,y1,z1)、b=(x2,y2,z2)是平面内的两个不共线的非零向量,由直线与平面垂直的判定定理知,若na且nb,则n.换句话说,若na = 0且nb = 0,则n .,a,b,n,求平面的法向量的坐标的步骤,第一步(设):设出平面法向量的坐标为n=(x,y,z). 第二步(列):根据na = 0且nb = 0可列出方程组 第三步(解):把z看作常数,用z表示x、y. 第四步(取):取z为任意一个正数(当然取得越特 殊越好),便得到平面法向量n的坐标.,例1在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是面AC的中心,求面OA1D1的法向量.,A,B,C,D,O,A1,B1,C1,D1,z,x,y,解：以A为原点建立空间直角坐标系O-xyz（如图）,设平面OA1D1的法向量的法向量为n=(x,y,z), 则 O（1，1，0），A1（0，0，2），D1（0，2，2） 由 =（-1，-1，2）， =（-1，1，2） 得 ，解得 取z =1 得平面OA1D1的法向量的坐标n=(2,0,1).,A1,B1,C1,D1,A,B,O,C,D,x,z,y,练习,答案：,二.立体几何问题的类型及解法,1.判定直线、平面间的位置关系 (1)直线与直线的位置关系 不重合的两条直线a,b的方向向量分别为a ,b. 若ab,即a=b,则ab. 若ab,即ab = 0,则ab,a,b,a,b,三、简单应用,练习1：,设直线l，m的方向向量分别为 ， ，根据下列条件判断l，m的位置关系：,例2已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形,C1CB=C1CD=BCD=,求证: C C1BD,A1,B1,C1,D1,C,B,A,D,证明：设 a, b, c, 依题意有| a |=| b |， 于是 a b = c (a b)= ca cb = |c|a|cos|c|b| cos=0 C C1BD,向量法,坐标法,(2)直线与平面的位置关系 直线L的方向向量为a,平面的法向量为n,且L . 若an,即a =n,则 L 若an,即an = 0,则a .,n,a,n,a,L,L,例3棱长都等于2的正三棱柱ABC-A1B1C1, D,E分别是AC,CC1的中点,求证: (I)A1E 平面DBC1; (II)AB1 平面DBC1,A1,C1,B1,A,C,B,E,D,z,x,y,解：以D为原点，DA为x轴，DB为y轴建立空间直角坐标系D-xyz.则 A(-1,0,0), B(0, ,0), E(1,0,1), A1(-1,0,2), B1(0, ,2), C1(1,0,2). 设平面DBC1的法向量为n=(x,y,z),则 解之得 ， 取z = 1得n=(-2,0,1) (I) =- n,从而A1E 平面DBC1 (II) ,而 n =-2+0+2=0 AB1 平面DBC1,F,E,X,Y,Z,F,E,X,Y,Z,三、练习:,1，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P在A1B1上，Q在BC上，且A1P=QB，M、N分别为AB1、PQ的中点。求证：MN/平面ABCD。,z,y,x,o,证明：建立如图所示的空间直角坐标系o-xyz,设正方形边长为2，又设A1P=BQ=2x,则P(2，2x，2)、Q(2-2x，2，0) 故N(2-x, 1+x, 1),而M(2, 1, 1),(3)平面与平面的位置关系 平面的法向量为n1 ,平面的法向量为n2 n1 n1 n2 n2 若n1n2,即n1=n2,则 若n1n2,即n1 n2= 0,则,练习2：,设平面 ， 的法向量分别为 ， ，根据下列条件判断 ， 的位置关系：,F,E,X,Y,Z,正方体ABCD-ABCD 中，E、F分别是CC、BD的中点。 求证：面ADF 面BDE,D(0,0,2),例,设平面DBE的法向量为n1=(x,y,z)得,解得,取y=-1,得平面DBE的法向量为n1=(1,-1,2),同理可得平面ADF的法向量为n2=(0,2,1),n1 n2 = 0-2+2=0,面DBE面ADF,2.求空间中的角,例5如图在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是AB的中点,则对角线DB1与CM所成角的余弦值为_.,z,y,B1,C1,D1,A1,C,D,解: 以A为原点建立如图所示的直角坐标系A- xyz, 设正方体的棱长为2,则 M(1,0, 0),C(2,2,0), B1(2, 0, 2),D(0,2 ,0), 于是, cos=,练习,例6正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为a,高为 ，求AC1与侧面ABB1A1所成的角,z,x,y,C1,A1,B1,A,C,B,O,解:建立如图示的直角坐标系,则 A( ,0,0),B(0, ,0) A1( ,0, ). C(- ,0, ) 设面ABB1A1的法向量为n=(x,y,z) 由 得 取y= ,得n=(3, ,0) 而 ,C1,A1,B1,C,A,O,B,x,y,z,答案：C,（3）二面角 设n1 、n2分别是二面角两个半平面、的法向量，由几何知识可知，二面角-L-的大小与法向量n1 、n2夹角相等（选取法向量竖坐标z同号时相等）或互补（选取法向量竖坐标z异号时互补），于是求二面角的大小可转化为求两个平面法向量的夹角，这样可避免了二面角的平面角的作图麻烦.,n1,例7在四棱锥S-ABCD中DAB=ABC=90，侧棱SA底面AC，SA=AB=BC=1，AD=2，求二面角A-SD-C的大小.,解：建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，则 B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），S（0，0，1）. 设平面SCD的法向量n1=(x,y,z),则由 得 n1=(1,1,2). 而面SAD的法向量n2 = (1,0,0). 于是二面角A-SD-C的大小满足 二面角A-SD-C的大小为 .,如图，在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD中，ABC = 90，SA面ABCD，SA = AB = BC = 1， 求面SCD与面SBA所成的二面角的余弦值,练习：,设平面,A,D,B,C,S,例,练习：,（2）解法2：设平面PBD的法向量为：n=(x,y,z), =( 1，0，- ）, x- z=0,且-x-y- z=0,x= z, y=-2 z,令z=1,得： n=( , -2 , 1 ),平面CBD的法向量为 =(0，0 ， ）,又,二面角P-BD-C的大小为：arccos 1/4,解法二：,设平面PAD的法向量为：n=(x,y,z),解得：,取x=1,得n1=( 1 ,2,- ),同理：可得平面PAB的法向量为n2=( ,0,1), n1 n2= +0+ =0,平面PAD平面PBD,3.求解空间中的距离,(1)异面直线间的距离 两条异面直线间的距离也不必寻找公垂线段,只需利用向量的正射影性质直接计算. 如图,设两条异面直线a、b的公 垂线的方向向量为n, 这时分别在 a、b上任取A、B两点,则向量在n 上的正射影长就是两条异面直线 a、b的距离. 即两异面直线间的距离等于两异面直线上分别任取两点的向量和公垂线方向向量的数量积的绝对值与公垂线的方向向量模的比值.,n,a,b,A,B,例8在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,求异面直线AC1与BD间的距离.,z,x,y,A,B,C,D,D1,C1,B1,A1,解:建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,则 A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),C1(1,1,1), 设异面直线AC1与BD的公垂线的方向向量n=(x,y,z),则由 ,得 n=(-1,-1,2). , 异面直线AC1与BD间的距离,(2)点到平面的距离 A为平面外一点(如图), n为平面的法向量,过A作平面的斜线AB及垂线AH. = = . 于是，点到平面的距离等于平面内外两点的向量和平面的法向量的数量积的绝对值与平面的法向量模的比值.,n,A,B,H,例9 在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1= ,AC=BC=1,ACB=90, 求B1到面A1BC的距离.,z,x,y,C,C1,A1,B1,A,B,解:以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz ,则 C(0,0,0),A1(1,0, ),B(0,1,0),B1(0,1, ). 设面A1BC的法向量n=(x,y,z),由 得 n=(- ,0,1). , 或 , 或 , 可见,选择平面内外两点的向量时,与平面内的点选择无关.,会求了点到平面的距离,直线到平面、平面到平面间的距离都可转化为求点到平面的距离来求. 例10四棱锥P-ABCD的底面ACBD是菱形,AB= 4, ABC=60, 侧棱PA底面AC且PA= 4,E是PA的中点,求PC与平面PED间的距离.,z,y,P,B,E,A,D,C,F,解:以A为原点、AB为x轴、ACD中CD边上的高AF为y轴、AP为z轴建立空间直角坐标系,则F 为CD的中点,于是 A(0,0,0) , B(4,0,0), F(0,2 ,0), C(2, 2 ,0), D(-2, 2 ,0), P(0,0,4), E(0,0,2). 设面BED的法向量n=(x,y,z)