理论力学B-动量定理.ppt

动量、动量矩和动能定理从不同的侧面揭示了质点和质点系总体的运动变化与其受力之间的关系，可用以求解质点系动力学问题。 动量、动量矩和动能定理称为动力学普遍定理。 本章将阐明及应用动量定理,第十章 动量定理,质点和质点系的动量/冲量 动量定理 质点系的质心运动定理,（Theory of Momentum）,10-1 动量与冲量,一、动 量 1、动量的定义 （1）质点的动量 质点的质量 m 与速度 v 的乘积 mv 称为该质点的动量。动量是矢量，方向与质点速度方向一致。,单位,物体间机械运动相互传递时产生作用力， 该作用力与物体的速度变化和质量有关。,动量是某瞬时质点机械运动效应 的一种度量，是状态量,10-1 动量与冲量,一、动 量 （2）质点系的动量 质点系内各质点的动量的矢量和称为该质点系的动量。用 p 表示，即有,质点系动量的投影式 在固定直角坐标轴x，y 和 z 上的矢量作投影, 即得,10-1 动量与冲量,一、动 量 （2）质点系的动量,设各质点的质量为常数，用矢径表示速度，则,定义质点系的质量中心（质心 C）的矢径为：,10-1 动量与冲量,质点系动量的简捷求法 质点系的动量,质点系的动量，等于质点系的总质量与质心速度的乘积。 投影到各坐标轴上有,质点系的动量,质点系或刚体的动量是反映质点系或刚体随质心平动的运动量,质点系的动量等于质点系的总质量与质心速度的乘积。对于质量均匀分布的刚体，质心 即为几何中心（形心）,椭圆规机构中，OCACCBl；滑块A和B的质量均为m，曲柄OC和连杆AB的质量忽略不计；曲柄以等角速度绕O轴旋转；在图示位置，角度为任意值。,求：图示位置时，系统的总动量。,例：椭圆规的动量,分析：将滑块A和B看作为两个质点，整个系统即为两个质点所组成的质点系。求这一质点系的动量可以用两种方法：,第一种方法：先计算各个质点 的动量，再求其矢量和。,第二种方法：先确定系统的质 心，以及质心的速度，然后计算 系统的动量。,第一种方法：先计算各个质点的动量，再求其矢量和：,建立Oxy坐标系。在角度为任意值的情形下：,例：椭圆规的动量,解：,第二种方法：先确定系统的质心，以及质心的速度，然后计算系统的动量。,质点系的质心在C处，其速度矢量垂直于OC，其数值为 vC = l,vC = l (sin icos j ),系统的总质量,mC= mA+ mB=2m,系统的总动量,例：椭圆规的动量,p = 2lm (sin icos j ),10-1 动量与冲量,二、冲 量,冲量作用力F与作用时间t的乘积（矢量） 与力矢的方向相同，记作：,（单位为 N.s，量纲与动量相同）,变力的元冲量为：,冲量反映力的作用时间的积累效果，是过程量,变力 F 在 t1t2 时间间隔内的冲量为：,动量定理,10-2 动量定理 质点动量定理 质点系动量定理 质点系动量守恒定律,质点动量定理,或者,微分形式：质点的动量的增量等于作用于质点上的力的元冲量（矢量） ：,积分形式：在某一时间间隔内，质点的动量的变化等于作用于质点上的力在此段时间内的冲量（矢量） ：,质点系动量定理,对于某个质点:,对于质点系（求和）:,外力：外界物体对质点系的作用力。,内力：质点系的质点之间的相互作用力（作用与反作用力）。,由于质点系中的内力等值、反向、成对地出现，相互抵消，内力冲量的矢量和为零，即,质点系动量定理,由此可知，内力不改变质点系的动量，因此：,质点系动量定理,质点系动量定理的微分形式：质点系动量的增量等于作用于质点系上的外力元冲量之矢量和，简写为：,或者：,即：质点系的动量对时间的导数等于作用于质点系上的外力之主矢。,质点系动量定理,质点系动量定理的积分形式：,或者,质点系动量定理的投影形式：,例10-1 电动机外壳固定在水平基础上,定子和外壳的质量为 ,转子质量为 .定子和机壳质心 ,转子质心 ,角速度 为常量.求基础的水平及铅直约束力.,得,解:,由,方向:,动约束力 - 静约束力 = 附加动约束力,本题的附加动约束力为,方向:,电机不转时, , 称静约束力; 电机转动时的约束力称动约束力,上面给出的是动约束力.,例：锻压加工,锻锤重 P=30kN，从高度h=1.5m处自由下落，打击工件使其变形，工件变形的时间 t0=0.01s，求锻锤对工件的平均压力F。,解：,锻锤接触工件时刻的速度为,以接触工件时刻的锻锤为对象，由积分形式的动量定理：,（其中末速度 v =0, m=P/g）,=1690kN,讨论： F/P=56.3,质点系动量守恒定律,质点系动量守恒定律,（Conservation of momentum of system of particles）,若作用于质点系的外力主矢恒等于零，质点系的动量保持不变：,若作用于质点系的外力主矢在某一坐标轴上的投影恒等于零，则质点系的动量在该坐标轴上的投影保持不变：,解：1) 取物块和小球为研究对象 2) 其上的重力以及水平面的约束反力均为铅垂方向。此系统水平方向不受外力作用，则沿水平方向动量守恒。,细杆角速度：,即细杆铅垂时，小球相对于物块的 最大的水平速度(向左)：,物块绝对速度为(向右) v,3) 根据动量守恒条件,4) 物块的速度,则 物块有向左的最大速度,小球绝对速度,10-3 质心运动定理,一、质量中心(质心),计算质心位置时，常采用直角坐标的投影形式，即,10-3 质心运动定理,二、质心运动定理,1、定理的表达式,质 点 系 动 量：,质点系动量定理：,即，质点系的总质量与其质心加速度的乘积，等于作用在该质点系所有外力的矢量和(主矢)，这就是质心运动定理,质心运动定理,将质心运动定理与质点动力学基本方程进行类比，可知二者具有相同的形式。即，质点系质心的运动，可看成“质点”的运动，该“质点”集中了质点系全部质量以及质点系的全部外力。,质点系的内力不影响质点系质心的运动。,质心运动定理的投影形式：,直角坐标：,自然坐标：,在爆破山石时，土石碎块向各处飞落，在尚无碎石落地前，所有土石碎块为一质点系，其质心的运动与一个抛射质点的运动相同。 根据质点的运动轨迹，可以在采取定向爆破时，预先估计大部分土石块堆落的地方。,质心运动定理说明：质点系的内力不影响质心的运动，只有外力才能改变质心的运动。,质心运动守恒定律,质心运动守恒定律,若作用于质点系的外力主矢恒等于零，则质心的位置或者静止，或者做匀速直线运动。,若作用于质点系的外力主矢在某个轴上的投影恒等于零，则质心位置在该轴上的投影或者静止，或者做匀速直线运动。,对于刚体或刚体系统，其质心容易确定，应用动量定理时，主要采用质心运动形式质心运动定理。,例10-?：如图所示，在静止的小船上，一人自船头走到船尾，设人的质量为 m2，船的质量为 m1，船长 l，水的阻力不计。求船的位移。,解：人与船组成质点系,因不计水的阻力，故外力在水平轴上的投影之和等于零， 即 。则有,又因系统初瞬时静止，因此质心在水平轴上保持不变。有,取坐标轴如图所示，人在走动前，系统的质心坐标为,人走到船尾时，船移动的距离为s，则质心坐标为,可求得小船移动的位移, 讨论,1、质点系的内力（鞋底与船间摩擦力）虽不能改变质心的运动，但能改变系统中各部分的（人与船）的运动。,2、靠码头的小船会因人上岸而离岸后退，为防止，应在岸上将船拴住。,例10-5 均质曲柄AB长为r,质量为m1,假设受力偶作用以不变的角速度转动,并带动滑槽连杆以及与它固连的活塞D,如图所示.滑槽、连杆、活塞总质量为m2,质心在点C .在活塞上作用一恒力F .不计摩擦及滑块B的质量,求:作用在曲柄轴A处的最大水平约束力Fx .,显然,最大水平约束力为,应用质心运动定理,解得,解:如图所示,求:(1)电机外壳的运动.(2)电机跳起的最小角速度,例 10-6 地面水平,光滑,已知 , , ,初始静止, 常量.,由 ,得,电机在水平方向没有受到外力，且初始静止，因此系统的质心坐标 xc 保持不变。,解:（1）电机在水平方向的运动,解:（2）电机跳起的最小角速度,在上一例题中求得支撑面的铅直反力,铅直反力的最小值为, 思考题,电机是否会跳起？起跳的条件是什么？,电机起跳的条件为：,起跳的最小角速度为：,例 质量为M 的大三角块放在光滑水平面上，其斜面上放一和它相似的小三角块，其质量为m。已知大、小三角块的水平边长各为a与b。试求小三角块由图示位置滑到底时大三角块的位移。,解：取系统分析，受力如图，建立如图坐标。,设大三角块的位移为s ，则,由于SFx(e)0 ，且初始系统静止，所以,解得,例