高中数学第一章常用逻辑用语1.1命题及其关系1.1.2_1.1.3四种命题、四种命题间的相互关系学案.docx

1.1.2四种命题1.1.3四种命题间的相互关系学习目标1.了解命题的原命题、逆命题、否命题与逆否命题.2.理解四种命题之间的关系，会利用互为逆否命题的等价关系判断命题的真假知识点一四种命题的概念思考分析下列四个命题，请指出命题(1)的条件和结论分别与其它三个命题的条件和结论间的关系(1)若，则sinsin；(2)若sinsin，则；(3)若，则sinsin；(4)若sinsin，则.答案命题(1)的条件和结论与命题(2)的条件和结论恰好互换了命题(1)的条件与结论恰好是命题(3)条件的否定和结论的否定命题(1)的条件和结论恰好是命题(4)结论的否定和条件的否定梳理(1)四种命题的概念对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么把这样的两个命题叫做互逆命题，如果恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，那么把这样的两个命题叫做互否命题，如果恰好是另一个命题结论的否定和条件的否定，那么把这样的两个命题叫做互为逆否命题，把第一个叫做原命题时，另三个可分别称为原命题的逆命题、否命题、逆否命题(2)四种命题结构知识点二四种命题之间的相互关系知识点三四种命题的真假性之间的关系思考如果原命题是真命题，那么它的逆命题、否命题、逆否命题一定是真命题吗？答案原命题是真命题，其逆否命题一定是真命题；而逆命题、否命题不一定是真命题梳理(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同真假性；(2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系1任何一个命题都有逆命题、否命题和逆否命题()2两个互逆命题的真假性相同()3四种形式的命题中，真命题的个数为0或2或4.()类型一四种命题的概念命题角度1四种命题的概念例1写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题(1)若xA，则x(AB)；(2)若a，b都是偶数，则ab是偶数；(3)在ABC中，若ab，则AB.考点四种命题题点四种命题概念的理解解(1)逆命题：若x(AB)，则xA.否命题：若xA，则x(AB)逆否命题：若x(AB)，则xA.(2)逆命题：若ab是偶数，则a，b都是偶数否命题：a，b不都是偶数，则ab不是偶数逆否命题：若ab不是偶数，则a，b不都是偶数(3)逆命题：在ABC中，若AB，则ab.否命题：在ABC中，若ab，则AB.逆否命题：在ABC中，若AB，则ab.反思与感悟(1)写命题的四种形式时，首先要找出命题的条件和结论，然后写出命题的条件的否定和结论的否定，再根据四种命题的结构写出所求命题(2)在写命题时，为了使句子更通顺，可以适当地添加一些词语，但不能改变条件和结论跟踪训练1命题“若函数f(x)logax(a0，a1)在其定义域内是减函数，则loga20”的逆否命题是()A若loga20，a1)，则函数f(x)logax(a0，a1)在其定义域内不是减函数B若loga20(a0，a1)，则函数f(x)logax(a0，a1)在其定义域内不是减函数C若loga20，a1)，则函数f(x)logax(a0，a1)在其定义域内是减函数D若loga20(a0，a1)，则函数f(x)logax(a0，a1)在其定义域内是减函数考点四种命题题点四种命题概念的理解答案B解析直接根据逆否命题的定义，将其条件与结论进行否定，再互换，值得注意的是“是减函数”的否定不能写成“是增函数”，而应写成不是减函数命题角度2四种命题的相互关系例2若命题p：“若xy0，则x，y互为相反数”的否命题为q，命题q的逆命题为r，则r与p的逆命题的关系是()A互为逆命题B互为否命题C互为逆否命题D同一命题考点四种命题的相互关系题点四种命题相互关系的应用答案B解析已知命题p：若xy0，则x，y互为相反数命题p的否命题q为：若xy0，则x，y不互为相反数，命题q的逆命题r为：若x，y不互为相反数，则xy0，r是p的逆否命题，r是p的逆命题的否命题，故选B.反思与感悟判断四种命题之间四种关系的两种方法(1)利用四种命题的定义判断(2)巧用“逆、否”两字进行判断，如“逆命题”与“逆否命题”中不同有“否”一个字，是互否关系；而“逆命题”与“否命题”中不同有“逆、否”二字，其关系为逆否关系跟踪训练2已知命题p的逆命题是“若实数a，b满足a1且b2，则abbc2，则ab”的逆命题其中是真命题的是_考点四种命题的真假判断题点利用四种命题的关系判断真假答案解析“若xy1，则x，y互为倒数”的逆命题是“若x，y互为倒数，则xy1”，是真命题；“四条边相等的四边形是正方形”的否命题是“四条边不都相等的四边形不是正方形”，是真命题；“梯形不是平行四边形”本身是真命题，所以其逆否命题也是真命题；“若ac2bc2，则ab”的逆命题是“若ab，则ac2bc2”，是假命题故填.反思与感悟要判断四种命题的真假：首先，要熟练掌握四种命题的相互关系，注意它们之间的相互性；其次，利用其他知识判断真假时，一定要对有关知识熟练掌握跟踪训练3下列命题为真命题的是()“正三角形都相似”的逆命题；“若m0，则x22xm0有实根”的逆否命题；“若x是有理数，则x是无理数”的逆否命题ABCD考点四种命题的真假判断题点利用四种命题的关系判断真假答案B解析原命题的逆命题为“若两个三角形相似，则这两个三角形都是正三角形”，故为假命题原命题的逆否命题为“若x22xm0无实根，则m0”方程无实根，判别式44m0，m1，即m0成立，故为真命题原命题的逆否命题为“若x不是无理数，则x不是有理数”x不是无理数，x是有理数又是无理数，x是无理数，不是有理数，故为真命题正确的命题为，故选B.类型三等价命题的应用例4判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2(2a1)xa220的解集非空，则a1”的逆否命题的真假考点四种命题的相互关系题点逆否证法解方法一原命题的逆否命题：已知a，x为实数，若a1，则关于x的不等式x2(2a1)xa220的解集为，判断如下：二次函数yx2(2a1)xa22的开口向上，令x2(2a1)xa220，则(2a1)24(a22)4a7.因为a1，所以4a71，所以原命题为真，故其逆否命题为真引申探究判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2(2a1)xa220的解集为R，则a0的解集为R，且二次函数yx2(2a1)xa22的开口向上，所以(2a1)24(a22)4a70，所以a0，则方程x2xm0有实根”的逆否命题是()A若方程x2xm0有实根，则m0B若方程x2xm0有实根，则m0C若方程x2xm0没有实根，则m0D若方程x2xm0没有实根，则m0考点四种命题题点四种命题概念的理解答案D解析原命题为“若p，则q”，则其逆否命题为“若綈q，则綈p”所求命题为“若方程x2xm0没有实根，则m0”2下命题中为真命题的是()A命题“若a，b都大于0，则ab0”的逆命题B命题“若x1，则x2x20”的否命题C命题“若xy，则x|y|”的逆命题D命题“若tanx，则x”的逆否命题考点四种命题的真假判断题点利用四种命题的关系判断真假答案C解析对于A，命题“若a，b都大于0，则ab0”的逆命题是“若ab0，则a，b都大于0”，是假命题，如a，b都为负数时ab0也成立；对于B，命题“若x1，则x2x20”的否命题是“若x1，则x2x20”，是假命题，如x2；对于C，命题“若xy，则x|y|”的逆命题是“若x|y|，则xy”，是真命题；对于D，命题“若tanx，则x”是假命题，故其逆否命题也是假命题故选C.3给出以下四个命题：若ab0，则a0或b0；若ab，则am2bm2；在ABC中，若sinAsinB，则AB；在一元二次方程ax2bxc0中，若b24ac0，则a0且b0，是假命题；逆否命题：若a0且b0，则ab0，是真命题对于，原命题：若ab，则am2bm2，是假命题；逆命题：若am2bm2，则ab，是真命题；否命题：若ab，则am2bm2，是真命题；逆否命题：若am2bm2，则ab，是假命题对于，原命题：在ABC中，若sinAsinB，则AB，是真命题；逆命题：在ABC中，若AB，则sinAsinB，是真命题；否命题：在ABC中，若sinAsinB，则AB，是真命题；逆否命题：在ABC中，若AB，则sinAsinB，是真命题对于，原命题：在一元二次方程ax2bxc0中，若b24ac0，则方程有实数根，是假命题；逆命题：在一元二次方程ax2bxc0中，若方程有实数根，则b24ac0，是假命题；否命题：在一元二次方程ax2bxc0中，若b24ac0，则方程无实数根，是假命题；逆否命题：在一元二次方程ax2bxc0中，若方程无实数根，则b24ac0，是假命题综上，以上命题中原命题、逆命题、否命题、逆否命题全都是真命题的是.故选C.4下列命题中：若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形；若一个四边形对角互补，则它内接于圆；正方形的四条边相等；圆内接四边形对角互补；对角不互补的四边形不内接于圆；若一个四边形的四条边相等，则它是正方形其中互为逆命题的有_；互为否命题的有_；互为逆否命题的有_考点四种命题的相互关系题点四种命题相互关系的应用答案和，和和，和和，和解析命题可改写为“若一个四边形是正方形，则它的四条边相等”；命题可改写为“若一个四边形是圆内接四边形，则它的对角互补”；命题可改写为“若一个四边形的对角不互补，则它不内接于圆”，再依据四种命题间的关系便不难判断5已知命题“若m1xm1，则1x2”的逆命题为真命题，则m的取值范围是_考点四种命题的相互关系题点四种命题相互关系的应用答案1,2解析命题：“若m1xm1，则1x2”的逆命题为“若1x2，则m1xm1”，该逆命题为真命题，由得1m2.1写四种命题可以按以下步骤进行：(1)找出命题的条件p和结论q.(2)写出条件p的否定綈p和结论q的否定綈q.(3)按照四种命题的结构写出所有命题2判断命题的真假可以根据互为逆否命题的命题真假性相同来判断，这也是反证法的理论基础一、选择题1已知a，bR，命题“若ab1，则a2b2”的否命题是()A若a2b2，则ab1B若ab1，则a2b2C若ab1，则a2b2D若a2b2，则ab1考点四种命题题点四种命题概念的理解答案C解析“ab1”，“a2b2”的否定分别是“ab1”，“a2b2”，故否命题为“若ab1，则a2b2”2命题“若(綈p)，则q”的逆否命题为()A若p，则(綈q) B若(綈q)，则(綈p)C若(綈q)，则pD若q，则p考点四种命题题点四种命题概念的理解答案C3命题“对角线相等的四边形是矩形”是命题“矩形的对角线相等”的()A逆命题B否命题C逆否命题D无关命题考点四种命题的相互关系题点四种命题相互关系的应用答案A4若命题p的否命题为q，命题p的逆否命题为r，则q与r的关系是()A互逆命题B互否命题C互为逆否命题D以上都不正确考点四种命题的相互关系题点四种命题相互关系的应用答案A解析设p为“若A，则B”，那么q为“若綈A，则綈B”，r为“若綈B，则綈A”故q与r为互逆命题5有下列四个命题：“若xy0，则x，y互为相反数”的逆命题；“全等三角形的面积相等”的否命题；“若q1，则x22xq0有实根”的逆否命题；“不等边三角形的三个内角相等”的逆命题其中真命题为()ABCD考点四种命题的真假判断题点利用四种命题的关系判断真假答案C解析命题：“若x，y互为相反数，则xy0”是真命题；命题：可考虑其逆命题“面积相等的三角形是全等三角形”，是假命题，因此命题是假命题；命题：“若q1，则x22xq0有实根”是真命题，则其逆否命题也为真命题；命题是假命题6已知命题“若a，b，c成等比数列，则b2ac”，在它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是()A0B1C2D3考点四种命题的真假判断题点利用四种命题的关系判断真假答案B解析命题“若a，b，c成等比数列，则b2ac”是真命题，故其逆否命题是真命题该命题的逆命题为“若b2ac，则a，b，c成等比数列”是假命题，故其否命题也是假命题，故选B.7若命题p的否命题为r，命题r的逆命题为s，p的逆命题为t，则s是t的()A逆否命题B逆命题C否命题D原命题考点四种命题的相互关系题点四种命题相互关系的应用答案C解析特例：p：ABC中，若AB，则ab；r：ABC中，若AB，则ab；s：ABC中，若ab，则AB；t：ABC中，若ab，则AB.8设原命题：若ab2，则a，b中至少有一个不小于1，则原命题与其逆命题的真假情况是()A原命题真，逆命题假B原命题假，逆命题真C原命题与逆命题均为真命题D原命题与逆命题均为假命题考点四种命题的真假判断题点利用四种命题的关系判断真假答案A解析因为原命题“若ab2，则a，b中至少有一个不小于1”的逆否命题为“若a，b都小于1，则ab1且b1，则ab2”的否命题其中真命题的序号是_考点四种命题的真假判断题点利用四种命题的关系判断真假答案解析显然为真；为假；对于中，原命题“若x是有理数，则x是无理数”为假命题，所以其逆否命题为假命题；对于中，“若a1且b1，则ab2”的否命题是“若a1或b1，则ab2”为假命题12命题“如果a22abb2ab20，那么ab1”的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是_考点四种命题的真假判断题点利用四种命题的关系判断真假答案1解析a22abb2ab20化简得(ab1)(ab2)0，即ab1且ab2.命题“如果a22abb2ab20，那么ab1”的逆命题为“如果ab1，那么a22abb2ab20”，为假命题