高中数学1.3算法案例素材新人教A版必修3.docx

精致教学理念在数学课堂教学中的运用-以算法案例拓展课（中国剩余定理）为例深圳市龙翔学校高中部数学教师欧阳文丰撰写导言：我校在邓继新教育工作室的领导下，高中部精致班认真贯彻精致教学理念，提倡课堂教学优化教学观念、优化教学目标、优化教学内容、优化教学结构、优化教学方法、优化教学氛围共六个优化思想。本文作者以算法案例拓展课（中国剩余定理）为例，探讨精致教学理念在数学课堂教学中的运用。 一、问题情境 1孙子不知其数问题2孙子问题的现代数学描述（引导学生建立数学模型）“孙子问题”相当于求满足x，y，z为正整数的不定方程组 m的一个正整数解二、探究问题的解决方法 1、 学生活动：尝试集合列举法； 三三数之剩二: 2,5,8,11,14,17,20,23,26,29,32,35,3x+2五五数之剩三: 3,8,13,18,23,28,33,38,43,48,53,58, ,5y+3七七数之剩二: 2,9,16,23,30,37,44,51,58,65,72,79, ,7z+2从上面的列举中得知， 这个孙子问题的最小自然数解是23。 温馨提示：此方法思路的优点是容易想得到，但是缺点是列举繁琐。再者，如果所求解的数是比较大的话，还不容易找得到。 2、现代处理方法（计算机） ：学生自行完成，并相互讨论检查。 流程图 程序语句3、 除了上面的两种方法外，还有其他甚至于简单易行的方法吗？（教师因势利导倡导学生的发散式思维）请看中国古代韩信的解决方法。 我国古代军事家韩信对解这类问题编了这样的歌诀：三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正月半，除百零五便得知。韩信点兵的意思是：一个自然数除以3得到的余数乘以70，除以5得到的余数乘以21，除以7得到的余数乘以15，积相加。如果和大于105，连续减105，直到小于105为止，这样得到的最小自然数，就是所求的结果。 韩信点兵的具体解题思路如下所示：能同时被5和7整除，还被3除余1的最小整数是：5，7 K， 显然K最小是2。 所以5，7 2=70。能同时被3和7整除，还被5除余1的最小整数是：3，7 K， 显然K最小是1。 所以3，7 1=21。能同时被3和5整除，还被7除余1的最小整数是：3，5 K， 显然K最小是1。 所以3，5 1=15。所以， 一个自然数除以3得到的余数乘以70，除以5得到的余数乘以21，除以7得到的余数乘以15，积相加。如果和大于105，连续减105，直到小于105为止，这样得到的最小自然数，就是所求的结果。三、 典型例题学习（以小组为单位，让学生通过合作学习，领会韩信点兵的解题思路。）1、 例1 一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2。求适合这些条件的最小自然数。解：能同时被5和7整除，还被3除余1的最小整数是：5，7 K， 显然K最小是2。 所以5，7 2=70。能同时被3和7整除，还被5除余1的最小整数是：3，7 K， 显然K最小是1。 所以3，7 1=21。能同时被3和5整除，还被7除余1的最小整数是：3，5 K， 显然K最小是1。 所以3，5 1=15。所以， 270+321+215 =233， 233- 3， 5， 7 2=233-1052=23。答：适合这些条件的最小自然数是23。变式练习1： 一筐苹果,如果按5个一堆放, 最后多出3个. 如果按6个一堆放, 最后多出4个. 如果按7个一堆放, 还多出1个. 这筐苹果至少有多少个？解：能同时被6和7整除，还被5除余1的最小整数是：6，7 K， 显然K最小是3。 所以6，7 3=126。能同时被5和7整除，还被6除余1的最小整数是：5，7 K， 显然K最小是5。 所以5，7 5=175。能同时被5和6整除，还被7除余1的最小整数是：5，6 K， 显然K最小是4。 所以5，6 4=120。所以， 3126+4175+1120=1198， 1198- 5， 6， 7 5=1198-2105=148。答：这筐苹果至少有148个。 变式练习2：中国古代还流传一个萧何计粮的歌诀。九宫山上十一泉， 十一泉涌九宫山，山泉汇合翻五滚，去百加个便了然。 试证明萧何计粮的正确性。 解：萧何计粮的含义是：除以9的余数乘以11，除以11的余数乘以9，积相加。 再计算和的5倍，最后去掉百位及以上的数字，添加到个位上后就是所求的最小自然数。能被11整除，还被9除余1的最小整数是：11 K， 显然K最小是5。 所以11 5=55。能被9整除，还被11除余1的最小整数是：9 K， 显然K最小是5。 所以9 5=45。所以，一个自然数除以9得到的余数乘以55，除以11得到的余数乘以45，积相加。去掉百位及以上的数字，添加到个位上的意思是：如果和大于99，连续减99，直到小于99为止，这样得到的最小自然数，就是所求的结果。2、 例2 在10000以内，除以3余2，除以7余3，除以11余4的数有几个？ 解： 能同时被7和11整除，还被3除余1的最小整数是：7，11 K， 显然K最小是2。 所以7，11 2=154。能同时被3和11整除，还被7除余1的最小整数是：3，11 K， 显然K最小是3。 所以3，11 3=99。能同时被3和7整除，还被11除余1的最小整数是：3，7 K， 显然K最小是10。 所以3，7 10=210。所以， 2154+399+4210 =1445， 符合题意的数是：1445- 3， 7， 11 6=59。 因为3， 7， 11=231，所以符合题意的数是以59为首项，公差是231的等差数列。（10000-59）231=438，所以在10000以内符合题意的数共有43+1=44个。 答：在10000以内符合题意的数共有44个。 四、课堂小结 1孙子不知数问题的求解算法中国剩余定理；2现代数学处理方法是利用循环结构实现整数的搜索；3、中国古代韩信点兵的解题思路。 五、 课后练习1、求满足除以5余1，除以7余3，除以8余5的最小的自然数。 2、一个两位数,用它除58余2,除73余3,除85余1,这个两位数是多少？3、在小于1000的自然数中，除以4余3，除以5余2，除以7余4的最大的自然数是几？ 结束语：本节课是以问题情境启发学生认识新的问题，进而导入课题。在探究活动中，采用循序渐进引导学生发散式思维，以学生自主式学习，从多维度思考问题，鼓励学生思想活跃，勇于探索。在教师因势利导的前提下，介绍韩信点兵的歌诀，敦促学生理解韩信点兵的解题思路。在