Ch5大数定律及中心极限定理.ppt

一、 Chebyshev不等式,Chebyshev,由此可见方差刻画了随机变量取值的离散程度,例1 一颗骰子连续掷4次，点数总和记为X，试估计,解：,以Xi表示第 i 次的点数(i=1,2,3,4)，则Xi 的分布律为,例1 一颗骰子连续掷4次，点数总和记为X，试估计,解：,以Xi表示第 i 次的点数(i=1,2,3,4)，有,由于,故,且Xi 相互独立,例1 一颗骰子连续掷4次，点数总和记为X，试估计,解：,以Xi表示第 i 次的点数(i=1,2,3,4)，则有,由Chebyshev不等式得,例2 一电网有1万盏路灯，,晚上每盏灯开的概率为0.7.,求同时开的灯数在6800至7200之间的概率。,解 设X 为同时开的灯数,则,由此可得,由Chebyshev不等式可得,二、大数定理,概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的学,科，,而随机现象的规律性在相同的条件下进行大量,重复试验时会呈现某种稳定性.,例如，,在概率的统,计定义中，,曾提到一件事发生的频率具有即事件发,生的频率趋于事件发生的概率，,其中所指的是：,试验的次数无限增大时，,事件发生的频率在某种收,敛意义下逼近某一定数(事件发生的概率)，,最早的大数定理.,当,这就是,二、大数定理,一般的大数定理讨论 n 个随机变量的平均值的稳定,性.,大数定理对上述情况从理论的高度进行了论证本,节先介绍基本的大数定理，,然后，,再介绍另一类基本,的中心极限定理.,大量的随机现象中平均结果的稳定性,大数定律的客观背景,大量抛掷硬币 正面出现频率,字母使用频率,生产过程中的 废品率,还有大量测量值的算术平均值也具有稳定性。,二、 大数定律,在实践中，,不仅事件发生的频率具有稳定性，,稳定性就是本节所要讨论的大数定律的客观背景。,这种,由于大数定律的作用，,大量随机因素的总体作用必然,导致某种不依赖于个别随机事件的结果。,存在，则对任意的 0，有,设随机变量序列,独立同分布，,定理5.1 独立同分布序列的Chebyshev大数定律,且,p是事件A 发生的概率，则对任给的 0，,或,设nA 是n 重Bernoulli试验中事件A 发生的 次数，,定理5.2 Bernoulli大数定律,二、 De Moivre-Laplace中心极限定理,一 、独立同分布序列的中心极限定理,中心极限定理,中心极限定理的客观背景:,的综合影响.,例如：炮弹射击的落点与目标的偏差，就受着许多随机因素的影响.,在实际问题中，常常需要考虑许多随机因素所产生,在任一给定时刻,一个城市的耗电量是大量单独的耗电者需用电量的总和.,在一个蓄水池中的储水量可以看作是极大数量的单独供水池的供水量的总和.,在一个物理实验中的测量误差是由许多不可能观察到的,而可看作是可加的小误差所组成.,前面我们的讨论中讲过正态分布在随机变量的一切可能分布中占有特殊地位。在客观世界中，我们遇到的许多随机现象都是服从或近似服从正态分布的，为什么大量的随机变量都服从正态分布？ 俄国数学家李亚普诺夫()证明了在某些非常一般的充分条件下，独立随机变量的和的分布，当随机变量的个数无限增加时，是趋于正态分布的。 在概率论中，把大量独立的随机变量和的分布以正态分布为极限的这一类定理统称为中心极限定理。,设随机变量X1,X2,Xn,相互独立同分布，且E(Xi)=，D(Xi)=2 (2 0)(i=1,2,)，记随机变量,1、独立同分布的中心极限定理(Lindeberg- Levy),则Yn的分布函数Fn(x)对任意的x(-,+)都有,该定理说明， YnN(0,1),中心极限定理可以解释如下： 如果多个相互独立的随机变量相加, 不管它们是离散的还是连续的或者是任何类型的, 只要它们大小相差并不悬殊，每个随机变量对于总和的作用都很微小, 则加起来以后得到的随机变量, 就近似服从正态分布。 在实际工作中，只要n足够大，便可把独立同分布的随机变量之和当作正态变量。,例1,一盒同型号螺丝钉共有 100 个,已知该型号,的螺丝钉的重量是一个随机变量,期望值是100g,标准差是10g,求一盒螺丝钉的重量超过 10.2kg,的概率.,解,且 Xi 之间独立同分布,于是一盒螺丝钉的重量为,由此,例1,一盒同型号螺丝钉共有 100 个,已知该型号,的螺丝钉的重量是一个随机变量,期望值是100g,标准差是10g,求一盒螺丝钉的重量超过 10.2kg,的概率.,解,一盒螺丝钉的重量为,由中心极限定理有,例2,粮仓内老鼠的数目服从泊松分布, 且仓内无鼠的,概率,求200个仓内老鼠总数超过350只的概率,解:,设第i个粮仓内老鼠数目为Xi ，则,独立且同分布，,由,解得,故,2、 De Moivre-Laplace定理,在n重Bernoulli试验中，每次试验中事件A发生的概率为p(0p1)，记Zn为n次试验中事件A发生的次数，则对任意实数x，有,其中q=1-p,此定理表明，正态分布是二项分布的极限分布。当n充分大时，服从二项分布的随机变量的概率计算可以转化为正态随机变量的概率计算。,对于一列二项分布r.v ，有,近似,近似,棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理的应用,例如,于是当 充分大时，可以认为,近似,的图形为,例3 报童沿街向行人兜售报纸，设每位行人买报,的概率为0.2,且他们是否买报是相互独立的。求报童,向100位行人兜售之后，卖掉1530份报纸的概率。,解 设报童卖掉报纸的份数为X,由中心极限定理知，,例4,某市保险公司开办一年人身保险业务,被保险人,每年需交付保险费 160 元,若一年内发生重大人身事,故,其本人或家属可获 2 万元赔金.已知该市人员一年,发生重大人身事故的概率为0.005，现有5000人参加,此项保险,问保险公司一年内从此项业务所得到的总,收益在 20 万到 40,万元之间的概率是多少?,解,解,记5000 个被保险人中一年内发生重大人身事故,的人数为X，则,由中心极限定理可知，,例4,某市保险公司开办一年人身保险业务,被保险人,每年需交付保险费 160 元,若一年内发生重大人身事,故,其本人或家属可获 2 万元赔金.已知该市人员一年,发生重大人身事故的概率为0.005，现有5000人参加,此